用分類討論思想探討特殊四邊形

當一個數學問題在一定的題設下，其結論并不唯一時，就需要對其進行分類討論.分類討論問題是中考數學的熱點，下面介紹分類討論思想在解特殊四邊形問題中的應用.

知識梳理

特殊四邊形問題需要分類討論，主要有以下3個原因：

（1）特殊四邊形種類多，每個類型都有其獨特的性質和判定條件；（2）當問題條件指向不唯一時，需要分類討論；（3）涉及四邊形的幾何變換（如平移、旋轉、對稱等）和位置關系（如相鄰、相交、平行等）時，由于變換和位置關系的多樣性，需要進行分類討論.

典例分析

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC 的平分線交 AD 于點 E，∠BCD 的平分線交 AD 于點 F. 若動點 P 以 1cm/s 的速度從點 B 出發，沿 BC 向終點 C 運動；與此同時，動點 Q 以 2cm/s 的速度從點 C 出發，沿 CB 向終點 B 運動.當其中一點到達終點時，另一點也將停止運動.當點 P 運動 時，以點 P，Q，E，F 為頂點的四邊形是平行四邊形.

思路點撥：由平行四邊形的性質得 AB=CD=8cm，AD=BC=12cm，AD/BC ，又可知 AB=AE=8cm，CD=DF=8cm ，得 EF=4cm 當 PQ=EF 時，以點 P，Q，E，F 為頂點的四邊形是平行四邊形，設點 P 運動時間為 ts 業

① 當四邊形 PQEF 為平行四邊形時， 12-t-2t=4 ，解得 中② 當四邊形QPEF為平行四邊形時， 2t+t-12=4 ，解得 綜上所述，點 P 運動時間為 s或 S.

例2正方形ABCD中，分別以點 δ_C，D 為圓心， CD 長為半徑畫弧，兩弧交于點 P 則 ∠APB 的度數是

思路點撥： ① 如圖2，當點 P 在正方形 ABCD 內時， ΔDPC 為等邊三角形， ΔADP 和 ΔBCP 為頂角等于 30^° 的等腰三角形，則 ∠APB=180^°-∠ABP- ∠BAP=180^°-15^°-15^°=150^°;

② 如圖2，當點 P 在正方形ABCD外時，同理可得∠APB=180^°-∠ABP-∠BAP=180^°-75^°-75^°= 30^°

綜上所述， ∠APB 的度數是 150^° 或 30^°

例3若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們就把這條對角線叫作這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫作和諧四邊形.在四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90^°，AC 是四邊形ABCD的和諧線，則 ∠BCD=

思路點撥：首先根據題意畫出圖形，然后由 AC 是四邊形ABCD的和諧線，可以得出 ΔACD 是等腰三角形，分圖3、圖4、圖5三種情況進行討論，然后運用等邊三角形的性質、正方形的性質和含 30^° 角的直角三角形性質就可以求出 ∠BCD 的度數.

∠BCD 的度數是 135^° 或 90^° 或 45^°

拓展訓練

1.在平行四邊形ABCD中， BC 邊上的高為 4，AB=5 ， ，則平行四邊形ABCD的面積是

2.如圖6，正方形 ABCD 邊長為6，點 E 是線段 BC 上一點，且 BE=2 ，點 F 是直線 CD 上一動點，以 EF 為邊作正方形EFGH（E，F，G，H 逆時針排列），連接 HA ，直線 HA 與直線 CD 交于點 P. 若點 A，H，P 中的任意一點到其余兩點距離相等，則 EF 的長為

3.如圖7，在矩形ABCD中， AB=5cm，BC=2cm，M，N 兩點分別從 A，B 兩點以2cm/s 和 1cm/s 的速度在矩形 ABCD 邊上沿逆時針方向運動，其中有一點運動到點 D 即停止，當運動時間為 s時， ΔMBN 為等腰三角形.

4.如圖8，在平面直角坐標系中，已知點 A 的坐標為（9，0），點 C 的坐標為（3， ），四邊形OABC是平行四邊形，點 _D，E 分別在邊 OA，BC 上，且 動點 P，Q 在平行四邊形 OABC 的一組鄰邊上，以點 D，E，P，Q 為頂點的四邊形是平行四邊形時，其面積為

參考答案：1.20或4（分兩種情況： BC 邊上的高在平行四邊形的內部和外部）

或 或 （分三種情況： ①AH=AP ②AH=HP ③AP=PH）

3. 或 或 （分四種情況： ① 點 M 在 AB 上，點 N 在 BC 上； ② 點 M 在 BC 上，點 N 在 CD 上； ③ 點 M，N 都在 ΔC，D 上，此種情況不符合題意，舍去； ④ 點 M 在 AB 上，點 N 在 CD 上）.

或 或 （過點 C 作 CH⊥OA 于點 H ，根據 A，C 兩點坐標可得 _D，H 重合，動點 P，Q 在平行四邊形 OABC 的一組鄰邊上，以點 D，E，P，Q 為頂點的四邊形是平行四邊形時，有以下3種情況： ① 如圖9，點 P 在 上，點 Q 在 BC 上，且點 P 與點 o 重合， DE 是對角線； ② 如圖10，點 Q 在 上，點 P 在 OA 上，且點 C 與點 Q 重合； ③ 如圖11，點 Q 在 OA 上，點 P 在 AB 上，且點 P 與點 B 重合）.

（作者單位：大連市西崗區教師進修學校附屬學校）