旋轉巧加輔助線 以不變應萬變

旋轉是中考數學的高頻考點，中考數學中很多題都可以利用旋轉添加輔助線來解決，常用的旋轉輔助線添加技巧有：（1）連接旋轉前后的對應點，構造等腰三角形或構造旋轉后的新圖形與原圖形之間的公共邊或公共角；（2）旋轉背景下的矩形或者正方形問題通常作垂線；（3）若旋轉角度不固定，則通常先找到旋轉軌跡，再結合題中特殊條件找到符合題意的瞬間狀態進行解答.

例1如圖1，在 ΔABC 中， ，點 D 是 AC 的中點，連接 BD ，將 ΔBCD 繞點 B 旋轉，得到 ΔBEF. 連接CF ，當 CF//AB 時，求 CF 的長.

分析：當點 F 在點 C 的右側時，作 BG⊥CF 于點 G ，根據旋轉的 圖1性質可知 ΔDCB?ΔFEB ，根據勾股定理可以求得 BD 的值，然后再根據平行線的性質和勾股定理、銳角三角函數求得 CG 和 GF 的值，從而可以求得 CF 的值;當點 F 在點C 的左側時，同理可以求得 CF 的值.

解：點 F 的位置有兩種情況.

① 當點 F 在點 C 的右側時，作 BG⊥CF 于點 G ，如圖2所示.： ，點 D 是 AC 的中點，（204號 （24（204 由旋轉的性質可知 ΔDCB?ΔFEB ，（204 ∵CFNAB，∴∠BCG=∠ABC=45^°，∴ΔBCG 是等腰直角三角形，∴CG=2，BG=2. （204號

② 當點 F 在點 C 的左側時（如圖2中的點 F^′ ），同理可得，

： CF 的長為 或

點評：本題的難點是找到點 F 的位置，依據旋轉性質可知 BF=BD ，因此點 F 的軌跡是以點 B 為圓心，以 BD 長為半徑的圓.依據已知條件 CF//AB 可作出點 F 所在的直線，圓與直線的交點即為點 F 的具體位置.

例2如圖3，在矩形 ABCD 中，點 P 在 BC 邊上， 連接 PA ，將 PA 繞點 P 順時針旋轉 90^° 得到 PA^′ ，連接 CA^′ ，若 ，求 BP 的長.

分析：過點 A^′ 作 A^′H⊥BC 于點 H ，如圖4.根據旋轉的性質得到 PA=PA^′ ，再證明 ΔABP?ΔPHA^′ 得到PB=A^′H，PH=AB=5. 設 PB=x ，則 A^′H=x，CH=4- x ，然后在 RtΔA^′CH 中利用勾股定理得到 x²+（4- ，解方程求出 x 即可.

解：過點 A^′ 作 A^′H⊥BC 于點 H ，如圖4.

：四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=9，∠B=90^°.

：將 PA 繞點 P 順時針旋轉 90^° 得到 PA^′

?.PA=PA^′

∵∠PAB+∠APB=90^°，∠APB+∠A^′PH=90^°， ∴∠PAB=∠A^′PH. （204號

在 ΔABP 和 ΔPHA^′ 中，

∴ΔABP?ΔPHA^′（AAS），

∴PB=A^′H，PH=AB=5

設 PB=x ，則 A^′H=x，CH=4-x.

在 RtΔA^′CH 中，

解得 x₁=x₂=2 ，即 BP 的長為2.

點評：本題屬于線段繞點旋轉，由于背景圖形是矩形，且旋轉角度是 90^° ，因此輔助線以垂線為主.

例3在平面直角坐標系中，已知 ，將點 N 繞原點 o 逆時針旋轉45^° 得到 N^′ ，求點 N^′ 的坐標，

分析：如圖5，過點 N 作 NA⊥x 軸于點 A ，過點 N^′ 作 N^′B⊥x 軸于點 B ，交 ON 于點

C ，過點 N^′ 作 N^′D⊥ON 于點 D ，根據勾股定理求出 ON 的長，再根據旋轉的性質得出 的長，由 ∠NON^′=45^° 得出 ΔODN^′ 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 OD，N^′D 的長.設 BC=a ，根據tan 用含 a 的式子表示出 ?OB ， 的長，即可求出 a 的值.在 RtΔCDN^′ 中，由勾股定理求得 N^′C 的長，即可得到N^′B 的長，從而得到點 N^′ 的坐標.

解：如圖5，過點 N 作 NA⊥x 軸于點 A ，過點 N^′ 作 N^′B⊥x 軸于點 B ，交 ON 于點 C ，過點 N^′ 作 N^′D⊥ON 于點 D

在 RtΔOAN 中，由勾股定理得 在 RtΔOAN 中， ，：.tan 即 （20設 BC=a ，則 OB=2a 由勾股定理得 由旋轉的性質得 ， ∠NON^′=45^° ∴ΔODN^′ 是等腰直角三角形.由勾股定理得 ，（2 ： ∴∠N^′DO=∠N^′BO=90^°，∠N^′CD=∠BCO，∴∠DN^′C=∠BOC， ：tan 即 （20號： a=1 ，即 在 RtΔCDN^′ 中，由勾股定理得 ，（20 ∴N^′B=N^′C+BC=5+1=6， ：點 N^′ 的坐標為（2，6）.

點評：本題背景是平面直角坐標系，屬于旋轉后求點坐標，求解時要想到向坐標軸作垂線.因為旋轉角度是 45^° ，屬于特殊角度，故而聯想等腰直角三角形，由于0N的長度已知，因此嘗試以 ON 為邊構造等腰直角三角形.

總結：旋轉輔助線的添加口訣為“連接旋轉兩對應，旋轉圓上找交點，平行垂直加 等腰，構造全等或相似”.

（作者單位：沈陽市渾南區第五初級中學）