兩類耦合超圖網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計研究

中圖分類號：TP273；O231.5文獻標識碼：A

Abstract：This paper investigates the node state estimation of hypergraphs. First， the network model of hypergraphs with pairwise and triplet interactions is built. Second， considering the presence and absence of diffusive coupling，the observer networks are established，and the error dynamical networks are constructed for the two types of hypergraph network models，respectively. Then，using the Lyapunov stability theory， the asymptotic stability of the two types of error dynamical networks is proved and suficient conditions for state estimation are derived. Finally， the accuracy and effectiveness of the proposed method are verified by numerical simulations. The results indicate the applicability of our method in accurately estimating states within the diffusively coupled and non-diffusively coupled hypergraphs，thereby advancing our capabilities in estimating and controlling higher-order complex networks.

Keywords： hypergraphs； state estimation; Lyapunov stability theory; error dynamical network; linear matrix inequalities

0 引言

在過去二十年里，復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)廣泛用于描述相互關(guān)聯(lián)的實際系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)，包括電網(wǎng)[1]、交通網(wǎng)絡(luò)[2]、生態(tài)系統(tǒng)[3等。獲取復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的狀態(tài)信息是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學的一項重要研究任務(wù)。在實際工程系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點狀態(tài)信息直接反映了網(wǎng)絡(luò)的運行狀況，對于監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)行為、及時識別網(wǎng)絡(luò)故障以及有效調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)具有至關(guān)重要的作用[4-5]。例如，在多智能體系統(tǒng)中，每個智能體需要獲取其他智能體的位置、速度等狀態(tài)信息，以實現(xiàn)一致性目標[4]。在電力網(wǎng)絡(luò)中，需要對發(fā)電廠和變電站等關(guān)鍵節(jié)點進行監(jiān)控，進而實行有效調(diào)度，提高供電效率[5]。因此，復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計問題在實際工程應(yīng)用中具有重要意義。

近年來，有關(guān)狀態(tài)估計的大多數(shù)文獻研究對象都集中在由常規(guī)連接（即兩體相互作用）構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上[6-9]。Farza等[6]針對一類包含多種物理模型的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，提出了一種簡單的觀測器。Targui等[7提出了一種用于級聯(lián)主動隊列通信網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點狀態(tài)估計的觀測器。對于原網(wǎng)絡(luò)和觀測器網(wǎng)絡(luò)之間的傳輸信道存在隨機噪聲的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，研究人員分別提出了積分觀測器[8]和最大似然估計方法[9來測量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的狀態(tài)。上述研究均關(guān)注成對耦合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計。

人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中的網(wǎng)絡(luò)往往存在高階相互作用[10」，而傳統(tǒng)的成對耦合方式不足以描述這種復(fù)雜的連接形式。例如，在科學出版物中的合著網(wǎng)絡(luò)中，科學家A，B，C甚至更多共同撰寫一篇論文的情況十分普遍[10]。隨著人們對高階網(wǎng)絡(luò)研究的逐漸深人，將其分為兩種具體的形式：超圖和單純復(fù)形，單純復(fù)形可視為超圖的特例。目前研究人員對于超圖網(wǎng)絡(luò)的研究成果已較為豐富[11-13]。研究人員在文獻[11]中提出了基于自適應(yīng)同步的單純復(fù)形部分拓撲識別方法。隨后，Li等[12]拓展了這一方法，研究了多鏈路超圖的拓撲識別問題。Li等[13]還通過自適應(yīng)牽制控制實現(xiàn)了多向超圖的完全同步。由上述文獻可知，針對超圖網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中在同步、可控性以及拓撲辨識等方面，而關(guān)于超圖網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計研究還未見報道。

為了描述節(jié)點之間的相互作用，主要包括擴散耦合和非擴散耦合兩種形式。擴散耦合常用于描述如信息或能量在網(wǎng)絡(luò)中的擴散過程。這類模型在車輛編隊、電子網(wǎng)絡(luò)、傳感器網(wǎng)絡(luò)的同步以及社交網(wǎng)絡(luò)中的觀點動力學等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[14]。然而，在許多實際網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間的耦合函數(shù)通常呈現(xiàn)非線性特征，而不僅僅是簡單的擴散關(guān)系。例如，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，突觸耦合和自突觸形式的化學傳遞普遍存在，其耦合機制通常通過突觸后電壓和突觸前信號的乘積來建模[15]。基于此，本文針對超圖網(wǎng)絡(luò)模型，分別考慮擴散耦合的特殊形式與非擴散耦合的一般形式兩種情況。

綜合上述討論，本文針對超圖網(wǎng)絡(luò)，提出一種狀態(tài)估計方法，實現(xiàn)對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)的估計。首先本文構(gòu)建了超圖網(wǎng)絡(luò)的動力學方程。然后，按是否考慮擴散耦合形式分別建立一個節(jié)點動力學和網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)與原超圖網(wǎng)絡(luò)相同的觀測器網(wǎng)絡(luò)，同時得到誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)。進一步地，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的漸近穩(wěn)定性，并求解了觀測器的增益矩陣。最后，通過數(shù)值模擬驗證了對于兩種耦合方式的超圖網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)估計方法的有效性。

1 超圖網(wǎng)絡(luò)模型

式（1）描述了超圖網(wǎng)絡(luò)的動力學方程[16]：

其中， ，x_i（t）=（x_i1（t），x_i2（t），…，x_in（t））^T∈Rⁿ 是節(jié)點 i 在時刻 t 的狀態(tài)向量 （i=1，2，…，N） 。超圖網(wǎng)絡(luò)的最大階數(shù)為 S，y_i（t）∈R^m 為節(jié)點 i 的輸出函數(shù)。非線性函數(shù) f_i（?）∈C[Rⁿ，Rⁿ] 用來描述節(jié)點 i 的動力學函數(shù)；b_k∈R_≥0 和 g^（k）（?）∈C[R^（k+1）n，Rⁿ]（k=1，2，…，S） 分別是 k 階耦合強度和相互作用函數(shù) （k+1 個節(jié)點的相互作用）。超圖網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)由鄰接張量 決定，它的定義如下：如果存在 k 階超邊，那么 a_ij1…jk^（k）= 1，否則為 0 。 為每個節(jié)點的輸出矩陣。為了簡單起見，本文針對最大階數(shù) S=2 的情況，即超圖網(wǎng)絡(luò)存在成對和三體相互作用，以說明本超圖網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)估計方法的有效性，2階超圖網(wǎng)絡(luò)的動力學方程：

2擴散耦合形式

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究中，對于動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，廣泛采用具有自然耦合函數(shù)的廣義擴散相互作用[17-18]，因此，先將擴散耦合作為節(jié)點的耦合函數(shù)：

其中， h^（1） ： . h^（2） ： 為2階超圖網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合函數(shù)，定義2階超圖網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣：

將（3）和（4）代入超圖網(wǎng)絡(luò)（2）中得到：

2.1 狀態(tài)觀測器設(shè)計

本文針對超圖網(wǎng)絡(luò)（5），基于外部同步原理，設(shè)計了具有以下形式的狀態(tài)觀測器網(wǎng)絡(luò)：

其中， 為節(jié)點 i 的狀態(tài)觀測值； 表示節(jié)點 i 的輸出觀測值， K_i 為擴散耦合形式的超圖網(wǎng)絡(luò)觀測器增益矩陣；在實際系統(tǒng)中，狀態(tài) x_i 通常是不可直接觀測到的，只知道系統(tǒng)的輸出信息 y_i ，本設(shè)計正是利用輸出信息 y_i 來進行狀態(tài)估計。

在闡述主要定理之前，需要介紹一些假設(shè)和引理。

假設(shè) I^[11] 存在一個有界集 ，使得 x_i（t）∈S（i=1，2，…，N） 在 t?0 成立。

假設(shè) 2^[11] 非線性函數(shù) f_i（?），i=1，2，…，N ，以及 h^?（1）（?），h^?（2）（?） 是 Lipschitz 連續(xù)的，即對于任意 ν₁，ν₂ ，ν₃，ν₄∈S ，有以下不等式成立：

其中， |?| 表示歐式范數(shù)， ，L_1i，L₂，L₃，L₄ 是正常數(shù)。

引理1[19] 對于任意的向量 x∈Rⁿ，y∈Rⁿ ，有以下不等式成立：

2x^Ty?x^Tx+y^Ty

引理2（Schur定理[20]）對于一個給定的對稱矩陣 ，其中， ，以下3個條件等價： ：（1）Slt;0;（2）S₁₁lt;0，S₂₂-S₂₁S₁₁^-1S₁₂lt;0;（3）S₂₂lt;0，S₁₁-S₁₂S₂₂^-1S₂₁lt;0

2.2 主要結(jié)果

基于設(shè)計的觀測器網(wǎng)絡(luò)，推導(dǎo)了狀態(tài)估計問題的充分條件，實現(xiàn)了超圖網(wǎng)絡(luò)（5）的狀態(tài)估計目標。首先定義狀態(tài)估計誤差 ，然后得到輸出誤差 以及誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)為

定理1若假設(shè)1和假設(shè)2成立，當存在一個矩陣 P=P^Tgt;0 ，矩陣 Q_i（i=1，2，…，N） ，使得以下矩陣不等式成立，

那么，誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)（7）是漸近穩(wěn)定的，即狀態(tài)觀測值 接近網(wǎng)絡(luò)的真實狀態(tài) x_i ，所設(shè)計的狀態(tài)觀測器（6）將實現(xiàn)對超圖網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點狀態(tài)的估計。其中， 小 I_N= diag（Im..， NI），S4=b（L+L4）∑（D21）τ，Q;=PK;， ? 表示克羅內(nèi)克積， I_m 是 Ω_m 維單位矩陣 （m 是節(jié)點動力學的維j=1數(shù)）。

證明：構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù)：

易見上述李雅普諾夫函數(shù) V?0 ，對其求導(dǎo)得：

根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)2以及引理1可得：

令 D^（1）= ，則公式（11）可以化簡為：

化簡公式（12）可得

由公式（13）可知，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，當以下矩陣不等式成立時，

誤差漸近穩(wěn)定，即觀測誤差 e_i 將收斂至原點，實現(xiàn)對超圖網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)的估計。為了方便求解該線性矩陣不等式（LMI），利用引理2，可將其轉(zhuǎn)化為

證明完畢。

3非擴散耦合形式

3.1狀態(tài)觀測器設(shè)計

在上述分析中，考慮了耦合函數(shù)的一種特殊形式，下面針對非擴散耦合形式的超圖網(wǎng)絡(luò)（如公式（2）所示），所

提狀態(tài)觀測器設(shè)計原理仍然適用。

假設(shè) 3^[11] 非線性函數(shù)和 是Lipschitz 連續(xù)的，即對于任意 x_i，y_i∈S i=1，2，3 ，有以下不等式成立：

下面針對一般耦合形式的超圖網(wǎng)絡(luò)模型（2），設(shè)計如下狀態(tài)觀測器：

其中， 是節(jié)點 i 狀態(tài)觀測值， 表示節(jié)點 i 的輸出觀測值，與2.1節(jié)同理， K_i^′ 為一般耦合形式的超圖網(wǎng)絡(luò)觀測器增益矩陣。

3.2 主要結(jié)果

與2.2節(jié)同理，首先定義狀態(tài)估計誤差 ，然后得到輸出誤差 以及誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)為

推論1若假設(shè)1和假設(shè)3成立，當存在一個矩陣 P=P^Tgt;0 ，矩陣 M_i（i=1，2，…，N） ，使得以下矩陣不等式成立：

那么，誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)（16）是漸近穩(wěn)定的，即狀態(tài)觀測值 接近網(wǎng)絡(luò)的真實狀態(tài) x_i ，所設(shè)計的狀態(tài)觀測器將實現(xiàn)對一般超圖網(wǎng)絡(luò)（2）中節(jié)點狀態(tài)的估計。其中 ） I_N= diag（Im， 4=N（20號 M_i=PK_i^′ ⑧ 表示克羅內(nèi)克積， I_n 是 Σ_m 維單位矩陣 （m 是節(jié)點動力學的維數(shù)）。

證明：構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù)：

對其求導(dǎo)，采用與2.2證明類似的方法，得到：

由公式（19）可知，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，當以下矩陣不等式成立時，

Ψ+2GammaU₁+2U₂Γ+3ΓU₃+3U₄Γlt;0

誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)（16）是漸近穩(wěn)定的，即觀測誤差將收斂至原點，實現(xiàn)對超圖節(jié)點狀態(tài)的估計。與2.2節(jié)同理，為了方便求解該線性矩陣不等式（LMI），利用引理2，可將其轉(zhuǎn)化為

證明完畢。

4數(shù)值仿真

本節(jié)利用含有10個節(jié)點以及5個2階超邊的超圖網(wǎng)絡(luò)（見圖1），驗證第2、3節(jié)中提出的狀態(tài)估計方法的有效性。其中綠色連邊表示成對相互作用，陰影三角形表示三體相互作用。

本文選用Lorenz典型混沌系統(tǒng)作為節(jié)點動力學，如式（20）所示。其中 _a，b，c 為系統(tǒng)參數(shù)，當 a=10，b=28 3，系統(tǒng)（20）是混沌的[，18]。超圖網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)設(shè)置如下：耦合強度為 b₁=b₂=0.1 ，輸出矩陣為 C=[1，0，0] 。此外，內(nèi)耦合函數(shù)選擇 ，h^（2）（x_i，x_j）=（x_i1²x_j1，0，0）^? 。

f（x）=（bx_i1-x_i2-x_i1x_i3）

根據(jù)定理1，本文使用YALMIPtoolbox求解線性矩陣不等式，可以得到觀測器增益：

前面為考慮內(nèi)耦合函數(shù)為擴散耦合形式的仿真過程，下面將不考慮擴散耦合形式。選擇內(nèi)耦合函數(shù)為：g^（1）（x_i，x_j）=（x_j1-x_i1，0，0）^T，g^（2）（x_i，x_j，x_k）=（x_j1²x_k1-x_i1³，0，0）^T 超圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及節(jié)點動力學保持不變，利用所提出的方法估計節(jié)點各狀態(tài)分量。根據(jù)推論1，本文使用YALMIP toolbox求解線性矩陣不等式，可以得到了合適的觀測器增益。

擴散耦合超圖網(wǎng)絡(luò)與非擴散耦合超圖網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)估計仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。由仿真結(jié)果可知，原網(wǎng)絡(luò)與狀態(tài)觀測器網(wǎng)絡(luò)之間的狀態(tài)誤差逐漸收斂至零并一直保持不變，證明了所設(shè)計的狀態(tài)觀測器可有效地對兩種耦合超圖網(wǎng)絡(luò)中未知的節(jié)點狀態(tài)進行估計。

5結(jié)論

本文研究了超圖網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計問題。首先，提出了一般超圖網(wǎng)絡(luò)模型，不失一般性以2階超圖網(wǎng)絡(luò)闡述研究。然后，針對是否考慮擴散耦合形式的兩種超圖網(wǎng)絡(luò)模型，分別構(gòu)建了合適的觀測器網(wǎng)絡(luò)，并得到了兩類誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)。然后，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，分別證明了誤差動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，確保了狀態(tài)估計方法的準確性。最后，通過數(shù)值模擬證明了所提方法的有效性。未來將針對時變或隨機超圖網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計一種狀態(tài)估計方法以精確估計超圖網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)。此外，將考慮分布式和自適應(yīng)控制，以解決具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)和龐大數(shù)據(jù)規(guī)模的超圖網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計問題。

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（責任編輯 李進）