矩陣半張量積與數(shù)學

中圖分類號：0151.21 文獻標識碼：A

（中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院，北京100190）

Semi-tensor Product of Matrices and Mathematics

CHENG Daizhan (Academy of Mathematics and Systems Science，Chinese Academy of Sciences，Beijing lOol9o，China)

Abstract: After a brief review on the history of semi-tensor product (STP) of matrices，this survey paper introduces general definitions of STP and semi-tensor addition (STA），and the exploring researches on the mathematical essence of STP and STA，including three major branches: Modern Algebra，Geometry，and Analysis. The STP and STA，as cross-dimensional operators， enhance certain developments in classical mathematics，which is basically of fixed dimensions. As a survey paper， it mainly introduces fundamental concepts and basic results with few predictions. We hope to show such a fact that since the STP breaks the dimension barrier of matrix product， it will inevitably cause impact on the classical mathematics，which is of fixed dimensions.

Keywords: axiomatic semi-tensor product of matrices； super-group; universal manifold; superring；super-vector space; super-Lie group; super-Lie algebra

1 歷史的回顧

自從 2001年矩陣半張量積概念首次正式提出[1]，至今已歷 25年。這四分之一世紀見證了矩陣半張量積從理論到應用的飛速發(fā)展。粗略地說，最初的矩陣半張量積是將普通矩陣乘法從維數(shù)受限的經(jīng)典矩陣乘法推廣到任意維數(shù)的情況[2]。它最初是為解決電力系統(tǒng)微分幾何控制的計算機數(shù)值算法而提出的，文獻[3]較詳細地介紹了這方面的進展。這一時期矩陣半張量積的研究，還僅限于國內(nèi)的少數(shù)學者。

從2008開始、矩陣半張量積被成功應用于邏輯系統(tǒng)，特別是布爾網(wǎng)絡的分析與控制中。它使矩陣半張量積的理論與方法得到很大的發(fā)展，包括國際學術界的重視和參與。例如，海外學者關于矩陣半張量積的綜述介紹文章[4-5]，日本學者 Akutsu 在其專著[6]中用一章介紹矩陣半張量積，羅馬尼亞學者 Vlad 在其專著[7]中用一個附錄介紹矩陣半張量積理論，并給了高度評價。根據(jù)網(wǎng)上（Webof Science)報告，關于矩陣半張量積的大量文章的作者來自意大利、以色列、日本、美國、英國、德國、澳大利亞等約80個國家或地區(qū)，國內(nèi)作者來自清華大學、北京大學、山東大學、復旦大學、上海交通大學、哈爾賓工業(yè)大學、東南大學、中南大學、同濟大學、南開大學、西北工業(yè)大學、西安交通大學等約200所高校及科研單位。僅發(fā)表的專著就有［2]、[3]、[8]-［20]等。

矩陣半張量積的生命力主要來自它的廣泛應用。這包括：1)布爾網(wǎng)絡及其控制，見綜述[21]及其參考文獻；2)有限博弈，見綜述[22]及其參考文獻；3)工程應用，見綜述[23]及其參考文獻；4)有限自動機，見綜述[24]及其參考文獻;5)變維數(shù)動態(tài)系統(tǒng)[1]；6)編碼[25]；7)信號的壓縮感知[26]等等。

伴隨著理論研究的深入以及應用的不同需求，許多不同形式的矩陣半張量積被不斷引入。同時，為了適應泛維數(shù)系統(tǒng)設計的要求，還引入了半張量和這一概念。隨著這些新概念的引進，以及研究對像從簡單的矩陣運算到泛維數(shù)動態(tài)系統(tǒng)、超矩陣等的拓展，矩陣半張量積理論逐步發(fā)展成為一個泛維數(shù)數(shù)學理論。這個理論包括：1)泛維內(nèi)積空間;2)泛維數(shù)歐氏空間與泛維數(shù)流形;3)泛維代數(shù)(超群、超環(huán)、超模)等。

雖然關于矩陣半張量積的不同應用的綜述文章及相關論著已經(jīng)不少，但尚未見到對矩陣半張量積導致的數(shù)學理論的進展的綜述。本文的目的是對基于矩陣半張量積的泛維數(shù)數(shù)學做一個簡明的介紹。本文的其余部分結構為：第二節(jié)介紹矩陣半張量積和矩陣半張量和的公理化的定義，同時回顧了目前常用的一些不同的矩陣半張量積和矩陣半張量和。第三節(jié)討論泛維數(shù)歐氏空間的跨維向量空間結構，以及基于跨維數(shù)內(nèi)積與距離的拓撲空間結構。第四節(jié)給出泛維數(shù)空間的超流形結構。與普通流形不同，超流形的每一點都有可數(shù)個不同維數(shù)的切空間。第五節(jié)研討超代數(shù)結構，包括超群、超環(huán)、超李群、超李代數(shù)等新的代數(shù)概念。它們與經(jīng)典結構不同，例如，超群是有一族單位元的“群”。第六節(jié)是小結。

2泛維數(shù)矩陣及向量運算

2.1矩陣半張量積

矩陣半張量積的基本思想是要把普通的矩陣乘法推廣到任意兩個矩陣。自矩陣半張量積提出之后，由于各種不同的需求，出現(xiàn)了許多不同的定義。記

M:=?_m=1^∞?_n=1^∞M_m×n

則一般的矩陣半張量積可定義為：

定義1設 A∈M_m×n B∈M_?×μ ，一個二元算子 ，稱為矩陣-矩陣半張量積，如果它滿足1)如果 n=p ，則

AB=AB

2)結合律

3)分配律

目前常用的矩陣半張量積列舉如下：

例1設 A∈M_m×n t=lcm(n，p) 為 n 與 Σ_P 的最小公倍數(shù)。

1)左半張量積

At/n)(B?I_t/p)

其中， ⑧ 為Kronecker積。這是最常用的矩陣半張量積，通常不加說明的矩陣半張量積指的就是這種矩陣半張量積。2)右半張量積

3)第二類左半張量積

其中 J_s=1_s×s∈M_s×s 為所有元素均為1的方陣。

4)第二類右半張量積

5)保維數(shù)左半張量積

A×B:=(A?1_t/n^T)(B?1_t/p)

其中， 1_s∈R^s 為所有元素均為1的方陣。

6）保維數(shù)右半張量積

矩陣乘向量可以看作向量空間上的一個線性變換，因此，矩陣與向量的乘積應該是一個向量。把向量當作特殊矩陣，則經(jīng)典的矩陣乘法保證矩陣與向量的乘積為向量。矩陣半張量積未必能保證這一點。實際上，例1中只有 5)和6)可以做到這一點。這種矩陣-矩陣半張量積蘊涵了矩陣-向量半張量積。當矩陣-矩陣半張量積不能蘊涵矩陣-向量半張量積時，則需要單獨定義矩陣-向量半張量積。

記

R^∞:=?_n=1^∞Rⁿ

定義2設 A∈M，x∈R^∞ ，一個二元算子 ?:M×R^∞R^∞ ，稱為矩陣-向量半張量積，如果它滿足1)設 A∈M_m×n x∈R^t ，當 n=t 時

2）

下面給出最常用的矩陣-向量半張量積。

例2設 A∈M_m×n B∈M_p×q t=lcm(n，p) 為 Ω_n 與 p 的最小公倍數(shù)。

1)一型矩陣-向量左半張量積：

AX:=(A?I_t/n)(x?1_t/p)

其中， ⑧ 為Kronecker積。這是最常用的矩陣-向量半張量積，通常不加說明的矩陣-向量半張量積指的就是這種矩陣-向量半張量積。

2)一型矩陣-向量右半張量積：

3)二型矩陣-向量左半張量積：

其中 J_s=1_s×s∈M_m×n 為所有元素均為1的方陣。

4)二型矩陣-向量右半張量積：

2.2 矩陣半張量和

定義3一個向量空間是一個集合 V 加上一個二元算子 + ，和一個數(shù)乘·： R×VV ，滿足1) (V，+) 是一個阿貝爾群，即

(x+y)+z=x+(y+z)，x，y，z∈V;x+y=y+x

存在唯一的 0∈V ，使得 0+x=x+0=x . ?x∈V ，對每個 x∈V 存在唯一的 -x∈V ，使得 x+(-x)=0 。2)數(shù)乘滿足

(ab)λ_X=a(bλ)，aλ，b∈R，x∈V

(a+b)x=ax+bx

a(x+y)=ax+ay，y∈V

1?x=x

注 1^[27] 如果 V 滿足向量空間所有其他條件，但是零不唯一，則稱為一個偽向量空間。如果一個“距離空間\"零不唯一，則稱為一個偽距離空間。文獻[27]中介紹了許多此類空間在力學中的應用。

定義4設 W 是一個矩陣集合或向量集合。如果存在加法 + ，使得

1)W在這個加法與普通數(shù)乘下成為一個偽向量空間。

2)當 A?B∈W 為同維元素時， + 與普通矩陣(或向量)加法相同，即

則稱 + 為半張量和（STA）。

例3向量半張量和。設 x，y∈R^∞ ，記 x∈R^m，y∈Rⁿ，t=lcm(m，n) 。

_1)x 與 的左半張量和定義為

2)x 與 的右半張量和定義為

矩陣半張量和。

記 M₁:={A∈M|A 為方陣}。設 A，B∈M₁ ，記 A∈M_m×m B∈M_n×n 。

1)A 與 的左半張量和定義為

2)A 與 的右半張量和定義為

A±_?B:=(A?I_?/m)±(B?I_?/n)

A±_rB:=(I_t/m?A)±(I_t/n?B)

下面介紹一個通用的矩陣半張量和，它可用于任何兩個矩陣(含向量）。記

設 A B∈M ，記 A∈M_m×n B∈M_?×q ×_q，s=lcm(m，p)，t=lcm(n，q)， 0

1)A 與 的左半張量和定義為

2)A 與 的右半張量和定義為

A±_rB:=(±_s/m×t/n?A)±(±_s/p×t/q?B)

3 泛維數(shù)歐氏空間

3.1 泛維距離

已知 R^∞ 是一個偽向量空間，為了它能成為一個歐氏空間，需要賦予它拓撲結構。定義5考察 R^∞ ，設 x∈R^m?R^∞，y∈Rⁿ?R^∞，t=lcm(m，n)° （204號

1)(左)內(nèi)積

右邊 ??，?? 為 R^t 上的普通內(nèi)積。

2)模

3)距離

注2:1)除了左內(nèi)積，也可以定義右內(nèi)積。為方便，本節(jié)及此后僅介紹左系統(tǒng)。對應的右系統(tǒng)有許多類似或不同的性質(zhì)。2)式(29)中的差是半張量差。3)因 R^∞ 為偽向量空間，定義中的內(nèi)積、范數(shù)、距離應為偽內(nèi)積、偽范數(shù)、偽距離。

定義6考察 R^∞ 上的拓撲結構：

1)設每個 Rⁿ 上的拓撲結構保持其原來的經(jīng)典歐氏空間拓撲。設每個 Rⁿ 都是 R^∞ 上獨立的塊（既開又閉的子集)。這樣得到的拓撲稱為自然拓撲，記作 T_n 。2)R^∞ 上由 d_ν 導出的拓撲，稱為距離拓撲，記作 T_d 。

3.2 商空間

定義7設 x，y∈R^∞ 。 x 與 稱為等價的，記作 xy ，如果 d_Γν(x，y)=0 。記

命題1下面的幾個說法是等價的：

Φ_1)......... 。2)d_ν(x，y)=0

3)x-y∈o 。4)存在 1_a 和 1_β ，使得

x?1_a=y?1_β

定義8定義拓撲空間 (R^∞，T_n )的商空間

Ω:=(R^∞，T_n)/

定義9設 。定義

1)

2)

命題2式（32）、（33)是定義好的（即不依賴代表元選擇）。并且，在式(32）、（33)下 Ω 是一個向量空間。定義10設 。定義

2)

命題3式(34)-（36)是定義好的。并且，在式(34)下 Ω 是一個內(nèi)積空間；在式（35）下 Ω 是一個賦范空間；在式(36)下 Ω 是一個距離空間。

:理1在式(32)-(36)下，

1)Ω 是第二可數(shù)的拓撲空間。

2)Ω 是Hausdorff空間。

3)Ω 是可分空間[28]。

4)Ω 是一個拓撲向量空間[29]5)Ω 不是Hilbert空間，也不是Banach空間，（因為不完備)[30]。

6)Ω 拓撲同胚于 (R^∞，T_d) ，即， Ω?(R^∞，T_d ）

注3：1)圖1比較了 (R^∞，T_nσ) 與 Ω 。實際上， Ω 是將 R^m 與 Rⁿ 粘接到一起，接合點為 R^s ，這里 s=m∧n 為最大公約數(shù)， Ω^m 與 Ωⁿ 均嵌人與 Ω^m∨v V 等同于 lcm ，是最小公倍數(shù)。不難看出， Ω 是單連通的。

2)Ω 的一個基底是[31]

3)令 ，則 Ωⁿ 為 Ω 的 n 維子空間。

4)Ωⁿ?Rⁿ 。為同構的拓撲向量空間。

例4

(R^∞，T_n)vs(R^∞，T_d)?Ω

下面的例子表明： Ω 具有歐氏空間的性質(zhì)。

則

例5考察 ΔABC?Ω （見圖2），這里，

利用公式

等，可得

同時，可計算

a=0.2360;b=0.195;c=0.5196

則得

A=35.172 2°;B=86. 134 0°;C=58. 693 4°°

于是，可以直接檢驗正弦定理：

同樣可驗證余弦定理等。

3.3 泛維空間投影

定義11設 ξ∈Rⁿ，ξ 到 R^m 的投影為

命題4設 ξ∈Rⁿ ·ξ 到 R^m 的投影，記作 π_mⁿ(ξ) ，定義為

其中，

π_mⁿ(ξ):=Π_mⁿξ

并且， 與 R^m 正交，即，

?ξ-π_mⁿ(ξ)，η?_ν=0，?η∈R^m

圖3顯示了這個投影。

注4:1)這個投影形式上與歐氏空間內(nèi)的投影相似，但本質(zhì)上是不同的。例如在經(jīng)典歐氏空間中，考慮 x∈R⁵ 向其四維子空間投影。得到 y∈R⁴ 。那么， z=x-y⊥y 。這似乎很像跨維空間投影。但其實，這個 z∈R⁵ 。而在跨維空間投影中， R⁴ 不是 R⁵ 的子空間，而且，差向量 z∈R²⁰ 。 2)R^∞ 中的任何一個直角三角形，如圖2中的ΔOAB ，均滿足勾股定理。這是 Ω （或 (R^°，T_d) )具有歐氏空間幾何結構的例證。3)這個投影有許多實際應用，包括圖象處理，分類及其他人工智能問題[32-33]。

4超流形

4.1 1 Ω 上的坐標系

定義12 設 x∈R^∞

_1)x 稱為可約的，如果存在 1_s s>1 使得

x=x₁?1_s

否則， x 不可約。

2)設 。那么 可表示為

其中， x₁ 不可約，且 x_i=x₁?1_i 。

定義13 定義纖維叢[28]：

其中，

設 ，則 的切空間為

見圖4。

本文考慮 的坐標鄰域。設 x₁ 到 Ω^s 的投影點為 x₀ ，距離 d_?(x₁，x₀)= h 。那么 的球鄰域 與 Ω^s 相交，當且僅當， R?h 。并且，交出的是一個球B_r(x₀)?Ω^s ，這里 。如圖5所示。

注 5:Ω 稱為一個泛維歐氏空間。它一方面具有歐氏空間的性質(zhì)，另一方面它又是泛維數(shù)的。它的每一點都有可數(shù)個不同維數(shù)的坐標。它與經(jīng)典的固定維數(shù)的歐氏空間有共性，又有與之完全不同的特性。

4.2泛維歐氏空間與超流形

定義14一個第二可數(shù)的Hausdorff空間 M 稱為一個泛維數(shù) C^∞ 流形，如果下列條件成立。

1)存在開復蓋 {O_λ，λ∈Λ} ，使得

?_λ∈ΛO_λ=M

2)對每一個 O_λ 存在 U_λ?Ω ，使得 O_λ 與 U_λ 同胚。即，

3)設對某個 Ω_n∈Z₊ ：

E_n:=Ωⁿ?Ψ(U?V)≠??F_n:=Ωⁿ?Φ(U?V)≠? 則

為 C^∞ ，映射。

圖6是泛維流形的示意圖。

注6：需要在泛維流形上定義全部流形結構，包括1)光滑函數(shù)；2)向量場；3)余向量場;4)分布；5)張量場;6)黎曼距離等。關鍵是等價類中所有點的一致性。具體構造與性質(zhì)見[11]、[20]和[34]。

5 代數(shù)與超代數(shù)結構

5.1 非方矩陣的環(huán)結構

回憶保維數(shù)矩陣半張量積（9）。以下的性質(zhì)揭示了其本質(zhì)。

命題5考察保維數(shù)矩陣半張量積（9）。設 A∈M_m×m B∈M_p×q t=lcm(n，p) 。則

A×B=AΨ_n×pB

其中，

ψ_n×p=(I_n?1_t/n^T)(I_p?1_t/p)

稱為 n×p 階橋矩陣。

下面回憶一下代數(shù)中的一些初等概念[35]

定義15設 G≠? ， ? ： 為一二元算子。

1)如果

則稱 (G，?) 為半群。

2)如果 (G，?) 為半群，且存在單位元 e∈G ，使得

a?e=e?a=a，?a∈G

則稱 (G，?) 為幺半群。

3)如果 (G，?) 為么半群，且每個元素 a∈G 都存在 a^-1∈G ，稱為 的逆元，使得

a?a^-1=a^-1?a=e

則稱 (G，?) 為群。

4)如果 (G，?) 為群，且任意兩個元素 a，b∈G 都滿足

a?b=b?a

則稱 (G，?) 為阿貝爾群(或交換群）。

設 ， ? 1 為兩個二元算子。

1) (R，+，*) 稱為一個環(huán)，如果它滿足：（1) (R，+) 為一個阿貝爾群；(2) (R，?α) 為一個半群；(3)加乘滿足分配律，即，

(a+b)×c=a×c+b×c

a*(b+c)=a*b+a*ca，b，c∈R

2)設 (R，+，?Θ) 為一個環(huán)，如果 (R，?θ) 是一個幺半群，則稱 (R，+，?Θ) 為一個幺環(huán)。

3)設 (R，+，?Θ) 為一個環(huán)，如果 (R，?θ) 是一個交換半群，則稱 (R，+，?Δ) 為一交換環(huán)。

注意到，如果 Aδ，B∈M_m×n 。則 A×B∈M_m×n 。于是，不難理解以下結論。

定理2 R_m×n:=(M_m×n，+，×) 是一個環(huán)。這個環(huán)沒有單位元。一個自然的想法就是人為地添加一個單位元，記作 I_m×n 。它滿足

I_m×n×A=A×I_m×n=A，?A∈M_m×n

這樣， ?R_m×n 就可以擴充成一個么環(huán)。

定義16定義 其中，

容易證明， 是一個環(huán)，它稱為 R_m×n 的擴環(huán)。

設 A∈M_m×n ，定義

利用式(52)，則非方矩陣的多項式可定義。設 p(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+?+ax+a₀ A∈M_m×n 。則

設 A∈M_m×n 。定義 Π_A:=Aψ_n×m∈M_m×m ，這里 ψ_n×m 為橋矩陣。那么，對非方矩陣可以得到類似于方陣的凱策-哈密頓定理。

定理3 (廣義凱策一哈密頓定理)設 A∈M_m×n 。 π_s 的特征多項式為 ρ(x)=x^m+a_m-1x^m-1+?+ax+a₀ 。則

A^m+1+a_m-1A^m+?+a₀A=0

定義17 稱為可逆的，如果存在 使得 A×B=B×A=I_m×n （20 稱為 A 的逆。

注7：更多內(nèi)容包括（見[34])：

1)當 m=n 定義17退化為普通定義。因此，定義17是方陣可逆性的自然推廣。

2)需要檢驗非方矩陣可逆性及求逆公式[34]

3)定義李括號

[A，B]_×:=A×B-B×A，A，B∈M_m×no

則

gl(m×n，R):=(M_m×n，[?，?]_X)

為一李代數(shù)，稱非方一般線性代數(shù)

4)定義

則

GL(m×n，R):=(O_m×n，×)

為一李群，稱非方一般線性群。

5)GL (m×n )的李代數(shù)為g ?l(m×n) 。

5.2 超群與超環(huán)

記 O_n 為 n×n 可逆矩陣集合?？疾?

O:=?_n=1^∞O_n

熟知，在普通矩陣乘法 (×) 下 (O_n，×) 是一個群。當普通矩陣乘法被泛維數(shù)的矩陣半張量積 (

我們需要格的概念。

定義 18一個偏序集 稱為一個格，如果對任何兩個元素 λ，μ∈Λ 存在一個共同最小上界，記作 sup(λ，μ) （或λV_μ )，和一個共同最大下界，記作 inf(λ，μ) （或 λ∧μ ）

一個格可以用一個Hasse 圖來表示。Hasse 圖中沒有水平邊，一對結點(代表元素)如果有邊聯(lián)接，則居于上方的結點大于居于下方的結點。圖7左邊是一個格。例如圖7中， aVb=c 或 a∧b=d 等。右邊不是一個格，因為 aVb 或 a∧b 都不存在。

下面的例子給出兩個格，它們在后面討論中會用到。

例61)考察正整數(shù)集 Z⁺ 。定義秩如下：如果 a≠b 并且 a∣b ，即 a 為 b 的真因子，則稱 Δ_a 比 b 小，記作 a

a∨b=lcm(a，b);a∧b=gcd(a，b)

于是 (Z⁺，?) 是一個格。這個格稱為一維因子格，簡記為 MD-1 格。

2)考察 z⁺×z⁺ 。定義秩如下：如果 (a，c)≠(b，d) ，并且， a∣b，c∣d ，則(a，c)?(b，d) 。于是可知

(a，c)∨(b，d)=(lcm(a，b)，lcm(c，d))

(a，c)Λ(b，d)=(gcd(a，b)，gcd(c，d))

并且 (Z⁺×Z⁺ ， ?) 是一個格。這個格稱為二維因子格，簡記為 MD-2 格。類似地，我們可以定義 k 維因子格，簡記為 MD-k 格 (k?3) ）。

定義19考察半群 g=(G，*) 。 e?G 稱為 G 的一個單位元集，如果

1)

g?e=e?g，?g∈G，?e∈e

2)單位元的指標集具有格結構 ，即

e={e_λ|λ∈Λ}

并且，

e_λ?e_μ=e_λ∨μ，λ，μ∈Λ

3)對每個 g∈G 存在唯一 使得

e_λ?g=g?e_λ=g

當且僅當， λ<λ_g ，（含 λ=λ_g ）。

定義20 考察半群 G=(G，?) 。

1)g=(G，?) 稱為一個超么半群，如果它具有一個單位元集 e?G 。

2)一個超么半群 G=(G，?，e) 稱為一個超群，如果對每個 g∈G ，都存在一個 g^-1∈G 使得

g*g^-1=g^-1*g=e_g

并且，如果 a?b=b?a，?a，b∈G ，則它稱為阿貝爾超群。

例7回憶(58)中的 O 。不難驗證它是一個超群。其單位元集為 e=I_n∣n=1，2，? 。其上的格結構為 MD-1 即 。其余的驗證留給讀者。

注8：超群定義的嚴格化為由矩陣半張量積、半張量和帶來的泛維數(shù)代數(shù)結構提供了一個嚴瑾的框架。例如1)定義3給出向量空間的嚴格定義。只要將該定義中“ (V，+) 為阿貝爾群\"改為“ (V，+) 為阿貝爾超群”，即可得到偽向量空間的嚴格定義。2)定義15給出環(huán)的嚴格定義。只要將該定義中“ (R，+) 為阿貝爾群”改為“ (R，+) 為阿貝爾超群”，即可得到超環(huán)的定義。3)類似地，還可以構造許多泛維數(shù)的代數(shù)結構，如超模，超一般線性群、超一般線性代數(shù)等[34]。

5.3 泛矩陣超環(huán)

泛矩陣超環(huán)要讓所有的矩陣(包括向量)像數(shù)一樣隨便做加法，乘法，以及加乘分配，只是乘法不滿足交換律。定義 21考察 M 。設 A∈M_m×n?M，B∈M_p×q?M ，且 s=lcm(m，p) . 。

定義

1)加法[19]

2)乘法

定理4 是一個超環(huán)，這里加乘分別由(63)及(64)定義。其加法超群的單位元集為

e={0_m×n∣m，n∈Z₊}

其上的格結構為 MD-2 。

注9：1)集合 g 稱為一個超李代數(shù)，如果 (1)g 是一個超(或偽)向量空間;(2)存在李符號 [?，?] ，滿足反對稱，雙線性及Jacobi等式[36]。2)集合 G 稱為一個超李群，如果 (1)G 是一個超流形；(2) (G，?) 為一個超群；(3)乘積與逆均為解析函數(shù)。

注10:1)設

記 A∈M_m×n B∈M_?×q 。定義

則 為一超環(huán)。

2)設

gl(R):=?_m=1n=1^∞?^∞gl(m×n，R)

定義

則 (gl(R)，[?Ω，?] )為一超李代數(shù)。

3)設

GL(R):=?_m=1^∞?_n=1^∞GL(m×n，R)

則 為一超李群。

6結論

經(jīng)典的數(shù)學理論，無論是代數(shù)、幾何或分析，都是以固定維數(shù)為基礎的。由于矩陣半張量積及半張量和的引入，它們的跨維數(shù)性質(zhì)使得經(jīng)典數(shù)學理論難以刻畫其性質(zhì)。因此，需要發(fā)展出一套新的泛維數(shù)數(shù)學結構來描述和有效地研究它們。本文概述了目前在這方面的大致進展。希望能給讀者一個梗概。當然，這短短一篇綜述無法覆蓋全部內(nèi)容，更不可能描述細節(jié)和展示許多困難的證明。這方面的工作還處于初始階段，希望有更多的學者有興趣加入我們的工作。

從理論的角度看，超矩陣的研究很可能成為矩陣半張量積理論的一新生成點[37-38]。從應用角度看，人工智能，特別是像轉化器這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡，充滿了多線性的矩陣運算，應是矩陣半張量積及半張量和的新的用武之地[39]。六卷本的《矩陣半張量積講義》[12-15.20]可望提供一個較全面的參考。

僅以此文獻給我的師長與忘年交摯友張嗣瀛先生。

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(責任編輯 耿金花)