復雜網絡的無模型自適應牽制控制

中圖分類號：TB13；TP18 文獻標識碼：A

Abstract：For the difficulties modeling and designing proper controllers for complex network control problems，a model free adaptive control based pinning scheme is proposed to control complex network with unknown and nonlinear coupled relationship in this paper. Firstly，a dynamical linearization model is built based on input/output data selected pinning node，then a distributed pinning scheme is proposed under minimum variance estimation criterion. This scheme is a data-driven control method because it is designed only with I/O data pined nodes instead network model. The stability analysis for the synchronization error is based on the reduction theorem，contraction mapping method and virtual control. The simulation results demonstrate that the proposed pinning scheme can drive all nodes in network to synchronization states by only control the pinned nodes in network.

Keywords： complex network; pinning control; model-free adaptive control; kuramoto network

0 引言

復雜網絡廣泛存在于真實世界中，諸如互聯網[1]，電力網絡[2]，社會系統[3]等。同步作為復雜網絡中的一種普遍現象，自發現以來已經得到了廣泛的研究。然而多數網絡無法僅僅依賴于自身節點之間的相互作用實現同步，因此，針對這些網絡，需要設計合適的分布式控制器來驅使全體節點達到同步狀態。由于復雜網絡中節點數量多，且受限于控制成本，控制復雜網絡中的每一個節點是一種代價高昂且可能是不可實現的控制方案。已有的研究表明，網絡整體的行為往往受關鍵少數節點支配。因此，文獻[4]提出了牽制控制思想，其主旨是通過控制少數節點以實現復雜網絡的同步。

牽制控制自提出以來已經得到了廣泛的研究。通過采用牽制網絡中少數節點的控制策略，汪小帆等[4完成了對無標度網絡的同步控制。李翔等[5]進一步提出了“虛擬控制\"這一概念以解釋牽制控制。近年來，有關牽制控制的研究還進一步拓展到了有向復雜網絡6」，時滯網絡[等方面，然而，這些研究中使用的控制器均是基于狀態反饋方法設計的[8-12]。對于基于模型的網絡牽制控制方法，由于復雜網絡節點數量眾多，網絡拓撲結構復雜，因而建模困難。即使系統模型精確已知，但由于模型復雜，也難以直接使用[13-14]。這些困難阻礙了基于模型的復雜網絡同步控制方法的發展。

隨著現代傳感器技術和網絡通信技術的進步，系統運行中的大量狀態數據都能被實時采集，這些數據中包含著被控對象的全部有用信息[15]，因此，人們提出了數據驅動控制方法，該方法僅僅使用數據來設計控制器，避免了基于模型設計控制器的種種困難[16]。數據驅動的復雜網絡調控方案，是當前復雜網絡控制研究的前沿方向之一。文獻[17]提出了基于RBFNN（Radial basis function neural network）的網絡投影同步控制方案。文獻[18]給出了基于RHONN（Recurrent High-Order Neural Networks）辨識網絡動力學的牽制控制方案。這些方法均通過預先設計神經網絡結構，通過訓練在線辨識出節點動力學的神經元網絡模型來設計牽制控制器。

一九九四年，侯忠生教授提出了無模型自適應控制[15]（Model Free Adaptive Control，MFAC）。該方法通過定義偽偏導數（Pseudo Partial Derivative，PPD）這一新概念，設計了一種全新的針對離散時間非線性系統的動態線性化方法，其控制系統的實現僅僅取決于受控未知非線性系統中在線獲得的輸人輸出（Input/Output，I/O）數據，是一種數據驅動控制方法。MFAC具有設計結構簡單，無需建模，易于部署到實際系統等優點，已經得到了廣泛的應用。

然而到目前為止，尚未見到基于MFAC方法的復雜網絡牽制控制工作。考慮到復雜網絡牽制控制中存在建模困難、控制器設計困難等挑戰，本文提出了基于 MFAC 的復雜網絡牽制同步控制方案。本文主要貢獻：1）與基于模型的復雜網絡牽制控制方案相比，基于MFAC的牽制控制器設計不需要已知網絡的動力學模型，無需辨識網絡的拓撲結構和節點動力學，是一種數據驅動的牽制控制方法;2）不同于神經網絡控制以及已有的數據驅動復雜網絡控制方法[19]，MFAC作為一種在線運行的控制算法，無需任何預訓練過程，其控制器結構簡單，計算耗時少，因此其實時性好且參數選取方便;3）誤差收斂性分析中，首先對牽制節點使用簡約定理處理其受到的耦合效應，將牽制節點轉化為單個非線性系統。然后使用壓縮映射方法分析MFAC對牽制節點的控制誤差收斂性，最后針對不受控節點的誤差收斂性則采用虛擬控制方法加以證明，從而證明網絡全體節點的同步誤差收斂性。

1基礎知識與問題描述

帶有 n 個節點的受控復雜網絡可以用下述模型描述[20]：

其中， x_i 是第 i 個節點的狀態， f：RR 是連續函數， f 滿足Lipschitz條件，即存在正常數 ，使得 ?a，b∈R ，有|f（a）-f（b）|?L_f|a-b| 。 cgt;0 是節點之間的耦合強度， W=（w_ij）_λn×n 是網絡的鄰接矩陣， w_ii=0 。當網絡節點i到j之間存在連接邊時，wi=1，否則wi=0。節點i的度定義為deg（i）=∑w 。 H 是連續的非線性函數，用于表示節點間的耦合關系，滿足 H（0）=0 ，且當 y∈R 時， H（-y）=-H（y） 。 H 滿足Lipschitz條件。（204號 u_i（k） 是控制輸入。當控制第 i 個節點時， δ_i=1 ，否則 δ_i=0 。當網絡（1）中有 llt;_n 個節點受控時，將網絡中受控的 l 個節點經過重新排序，編號變為前 ξ_l 個節點 i=1，…，l 。

牽制控制的目標是通過對網絡中的部分節點施加控制，使得網絡中的所有節點均達到同步狀態，即：

其中， s（k） 是同步流形，滿足 s（k+1）=f（s（k）） 。目標 s（k） 可以是孤立運行的節點，平衡點或者混沌軌道。

2無模型自適應控制理論簡介

本節介紹緊格式動態線性化（Compact Form Dynamic Linearization，CFDL）方法下的 MFAC控制器設計過

程。考慮如下單入單出離散非線性系統：

x_i（k）=g[x_i（k），…，x_i（k-L_x），u_i（k），…，u_i（k-L_u）]

其中， g 為未知的非線性函數， x_i（k）∈R 與 u_i（k）∈R 對應于 k 時刻的系統輸出與輸入。 L_x 和 對應于系統輸人與輸出未知階數。

2.1 動態線性化

假設1系統（3）對控制輸入 u_i（k） 的偏導數是連續的。

假設2系統（3）滿足廣義Lipschitz條件，即若控制輸人 Δu_i（k） 非零，則有 ∣Δx_i（k+1）∣?b∣Δu_i（k）∣ ，其中 Δx_i （20（20號 （k+1）=x_i（k+1）-x_i（k） 為前后時刻的輸出變化增量，其中 Δu_i（k+1）=u_i（k+1）-u_i（k） 為前后時刻的控制器控制輸入變化量， b 是一個正的常數。

引理1動態線性化[15]：未知非線性系統（3）滿足假設1和假設2時，當 的情況下，時變參數 ?_i（k）∈R 必存在，其被稱為偽偏導數（pseudo partial derivative，PPD），且使得網絡受控節點模型可轉化為如下CFDL輸人輸出關系模型：

Δx_i（k+1）=?_i（k）Δu_i（k）

其中， ?_i（k） 為一個有界時變參數，滿足 ∣?_i（k）∣?b 。

注1緊格式動態線性化方法反映的是數據輸入與輸出增量之間的實時動態關系，是對未知非線性系統的一個精確表達。建立該動態線性化數據模型的目的是為了用于設計控制器。對于傳統的非線性系統線性化方法，例如泰勒展開等，要求受控系統的模型精確已知，其省略了高階項的線性化后的表述是一種近似的線性化關系。基于擬合模型的線性化方法，例如正交逼近或神經元網絡逼近則需要考慮設計復雜的基函數或構建復雜的神經網絡結構，這使得需要調節的參數數量龐大，控制器設計困難。此外，在控制器設計時，假設1是對受控一般非線性系統的常見約束條件[15]。假設2限制了被控系統輸出輸入之間數量關系變化率的幅值，許多現實中的物理系統滿足該條件[21-25]。

2.2牽制控制算法設計

考慮下述控制輸人指標函數：

J[u_i（k）]=∣x_i^*（k+1）-x_i（k+1）∣²+λ_i∣u_i（k）-u_i（k-1）∣²

其中， λgt;0 為權重因子，期望軌線為 x_i^*（k+1）=s（k+1） 。

將式（4）帶人指標函數（5）中，對 u_i（k） 求導，可得控制輸人求解算法[15]：

其中， ρ_i∈（0，1] 的加入是為了使算法具有一般性。

式（5）中的未知偽偏導數 ?_i（k） ，使用如下指標函數估計其值 ?_i（k） ：

其中， μ_i 同樣為可調權重因子。類似地，將式（7）對 ?_i（k） 求極值，所得到的PPD估計迭代算法：

其中， η_i∈（0，1] 是使得估計算法更具有一般性的步長因子。

綜合控制算法（6）和（8），可得到對離散時間情形下單入單出（single input single output，SISO）的非線性系統的CFDL-MFAC牽制控制方案：

?_i（k）=?_i（1） ，當 |?_i（k）|?? 或 sign（?_i（k））≠sign（?_i（1）） 時

其中，式（11）是重置算法，其作用為保證參數估計算法能夠保障穩定性收斂性要求。 i=1，…，l 為網絡中施加控

制的l個節點。控制方案中牽制控制節點的選取與網絡的結構、節點自身的動力學、以及節點相互之間的耦合關系有關。因此，針對不同網絡，其牽制節點選取方法也不盡相同。常見的牽制節點選取策略包括最大度節點選取[4]，控制節點排序方法等[26-27]。

為了對牽制控制的穩定性進行分析，此處首先介紹簡約定理。引人該引理的目的是對受控節點的耦合效應進行等效處理：

引理2簡約定理[20]：若復雜網絡（1）滿足如下兩個條件：1）節點動力學的統計學行為（狀態的頻率分布）保持不變。2）網絡中大部分節點應當是相互連通的。則網絡（1）中受控節點的耦合作用項 H 之和滿足如下關系[20]：

其中， 為節點 i 的人度， α 是耦合關系函數 H 的系數， 是單個節點動力學的物理測度。

V 是式中積分項的原函數，用于表示節 i 點受到鄰居節點的總等效耦合效應。 C 為積分常數。

式（12）表示了節點 i 受到的與其它節點的累計交互效應，因此（1）中的受控節點可等效為如下形式[20]：

其中， F 是將式（13）看作非線性函數時的等價表示函數。

注2簡約定理的引入是進行牽制控制穩定性分析的關鍵。對于條件1），若網絡中的耦合是弱耦合[20]，則能夠有效保證節點的狀態分布能夠不因節點間相互作用或者外部噪聲發生改變。對于條件2），諸如無標度網絡等拓撲結構，均能滿足其對節點連接關系的要求。由于（1）是（14）的特例，因此當式（14）滿足假設2時，（1）中的函數f 以及耦合關系函數 H 必然要滿足Lipschitz條件，否則假設2不成立。

引理3向量基本不等式[21]：設 ，則有

X^TPX?r_PX^TX

其中， P 為 n 階實對稱矩陣， r_P 為 P 的譜半徑。

假設3假設牽制節點等效動力學（14）是能控的，即存在有界輸入信號 u_i^* （k）∈R ，使得（14）能被該輸人信號控制收斂到有界的期望輸出。

假設4當牽制節點對應的系統控制輸入 u_i（k）≠0 時（其中時刻 k 是任意的），取一個小正數 ε ，則應滿足 ?_i（k）gt; ε 或者 ?_i（k）lt;-εlt;0 ，即牽制節點對應動態線性化模型中的偽偏導數的符號保持不變。

注3假設3是控制器可解出且能工作的一個必要條件，即要求對于網絡中節點，其是輸出能控的。假設4與基于模型的控制算法例如自適應控制中對控制方向已知的假設類似[28-29]。

3穩定性分析

MFAC牽制控制方案的同步誤差收斂性證明過程分為兩部分，首先基于非線性系統（14），證明其在MFAC控制下的誤差收斂，然后證明在受控節點誤差收斂后，網絡中其余不受控節點也能同步到期望值。

定理1對滿足簡約定理中條件1）、2）的網絡，復雜網絡（14）滿足假設1－4，應用CFDL-MFAC控制方案（10-12），則存在正數 ，當 λ_igt;λ_i（min） 時，有

1）與受控節點相對應非線性系統的輸出跟蹤誤差滿足單調收斂，且 。

2）閉環系統輸入輸出序列 u_i（k），x_i（k） 是有界的（BoundedInputBoundedOutput，BIBO）。

證明：請參考文獻[15]或[22]。

由定理1，知 ξ_l 個受控節點可通過 MFAC牽制到控制目標，此時網絡（1）轉換為如下形式[5]：

x_i（k+1）=s（k+1），i=1，2，…，l

此時，可將牽制節點對網絡中其它節點的耦合作用看作虛擬控制器[5]，并可定義虛擬控制輸人為 （204號 [s（k）-x_i（k）] ，其中 ，因此全體不受控節點可組成網絡（16），且其受到虛擬控制器的作用。

記節點 i（i=l+1，…，n） 的同步誤差為 e_i（k）=x_i（k）-s（k） ，記網絡中全體非受控節點誤差向量為e（k）=[e_l+1（k），…，e_n（k）] 。將式（16）兩側分別減去 s（k+1）=f[s（k）] 的兩邊，可得到式子：

其中， 0

由于網絡耦合函數 H 滿足Lipschitz條件，即存在正常數 L_h ，使得 ?a，b∈R 滿足

∣H（a）-H（b）∣h∣a-b∣

利用微分中值定理有

其中， h_ij（k）∈R 表示 i，j 節點之間的等效耦合效應系數，且有界。

利用式（19），（17）可轉換為如下形式：

定義矩陣：

定義 所有特征值絕對值的最大值為 β 。

全體未受牽制控制的節點的誤差可改寫為

其中，

定理2對于全體不受控節點組成的網絡（16），當 （1+c）L_f²+（c+c²）β²lt;1 時，其節點均能夠在虛擬控制器的作用下同步到期望值。

證明：選取Lyapunov函數為 V（k）=e^T（k）e^（k） ，并對其作差分：

由引理（3），式（22）轉換為

當 （1+c）L_f²+（c+c²）β²lt;1 時， ΔV（k+1）lt;0 ，由Lyapunov穩定性理論可知，當 時， e（k）-0 ，此時全體非受控節點也被牽制同步到期望值。

4仿真分析

為驗證提出的MFAC牽制控制策略的有效性，本節中考慮受控網絡不同，期望為時變和非時變軌道的情形，并與狀態反饋牽制控制方法[5]進行比較。在復雜網絡（1）中，狀態反饋牽制控制的控制器設計如下：

u_i（k）=K_i[s（k）-x_i（k）]

其中， K_i 是牽制節點 i 的反饋增益，在仿真實驗中，狀態反饋增益按照[30]中方法選取。

例1kuramoto 網絡是一種廣泛存在于現實世界中的帶有非線性耦合的網絡模型，例如電網和許多物理系統均可由其表示[31]。網絡中的節點為互相耦合的振蕩子，且節點具有如下形式：

其中， θ_i（t） 是振子 i 的相位， ω_i 是振子的固有角頻率，單位為rad/s。 c 為耦合強度， a_ij 是網絡鄰接矩陣 A 中的元素。需要注意的是，對MFAC方法，該系統模型僅僅用來生成 I/O 數據而不是用來設計控制器。

耦合強度為 。對網絡模型采用前向歐拉方法進行離散化，離散步長為 T=0. 05s 。仿真分為如下3種情形：情形1，考慮帶有10個節點的環形kuramoto網絡，研究期望軌道為非時變和時變的情形，并與狀態反饋牽制控制方案進行對比；情形2，在情形1的基礎上，進一步研究MFAC對時變期望軌跡的跟蹤控制能力；情形3，使用MFAC對具有無標度結構的kuramoto網絡進行扌情形1考慮帶有如圖1所示的環形結構的網絡，牽制控制的目標為使全體節點達到期望軌線 s（k）=π 各節點初始狀態分布于 [0，2π] 。在網絡中選取節點1作為牽制控制節點，MFAC控制器參數為 μ₁=20，ρ₁=1，λ₁=30 ?_i（0）=23 。狀態反饋方法反饋增益為 K₁=30 。仿真結果如圖2。從圖1中可以看出，在MFAC牽制控制下，網絡中所有節點均同步到了期望軌線 s（k）=π 。且同步所需時間與狀態反饋方法相近。

情形2考慮時變期望軌跡 。各節點初始狀態分布于 [0，2π] 。選取1，5，10號節點作為牽制節點，MFAC控制器參數選取為 η_i=1，μ_i=12，ρ_i=1，λ_i=21，?_i（0）=23，i=1，5，10 。仿真結果如圖4所示，可見MFAC能有效牽制網絡同步到時變的期望軌線。

情形3本例進一步考慮帶有無標度網絡結構[32的kuramoto 網絡。無標度網絡模型可通過如下過程生成：網絡中最初確定有 m₀ 個節點，后續逐步向網絡中每次添加一個新節點，新加入的節點與網絡中的已有舊節點產生m（mlt;_m0 ）條連接邊，新連邊與網絡中所有舊節點同時地依照概率 p 連接，其中 Σ_P 與網絡中舊節點的度成正比，最終生成帶有 N 個節點的網絡。由無標度網絡的形成過程可知，網絡中僅有少數節點具有較大的度，大多數節點的度較小。大量研究表明，電網、社會、金融等網絡系統從連接結構上看，均屬于無標度網絡[33]。本仿真的無標度網絡中 m₀=3，m=1 ，總節點數 N=100 。針對無標度網絡的度分布特點，為了使用較少的節點對網絡進行控制，牽制節點選取策略采取牽制度較大節點的方法[5]。對網絡中度較大的前25個節點（ 25% ）節點加以控制。控制目標為使全體節點被牽制到期望軌道 s（k）=π 。網絡中各節點初始狀態分布于 [0，2π] 區間上。MFAC控制器參數為 η_i=1，μ_i=30，ρ_i=1，λ_i=21 ，仿真結果如圖5。可見對無標度網絡，MFAC牽制控制方法能牽制全體節點同步到期望軌道。

例2考慮構造如下帶有余數型復雜時變動力學的離散復雜網絡：

其中， 是對 k 整除 n 后取余函數，耦合強度 c=0.4 。網絡結構為如圖1所示環形結構，期望軌線為（204號 s（k）=1.57 。牽制節點為 3，5，7，9，10 。各節點初始值分布于[O-7]區間內。MFAC控制器參數為 η_i=1，μ_i= 30，ρ_i=1，λ_i=21，?_i（0）=67，（i=3，5，7，9，10） 。狀態反饋增益為 K_i=0.5 。MFAC、狀態反饋方法仿真結果分別如圖6，7。對比可見對于帶有復雜時變動力學的網絡（26），MFAC由于在線估計了網絡的動力學，因此其控制效果要優于狀態反饋方法。

5 結論

本文針對復雜網絡的牽制控制問題，設計了基于MFAC的牽制控制方案。該方案僅利用復雜網絡的I/O數據即可實現其牽制控制，是一種數據驅動控制方法，相比較于基于模型的控制方法，它不需要建立被控對象的數學模型，其控制效果不受未建模動力學的影響。且控制方案是分布式的，控制算法中單一控制器僅有一個需要在線整定的參數，計算能力要求低，易于部署。仿真數例驗證了MFAC方法可實現對不同復雜網絡的牽制控制。未來工作將會進一步推廣到設計基于偏格式動態線性化（PFDL）以及全格式動態線性化（FFDL）數據模型的MFAC牽制控制方法。

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