基于遺傳算法的低冗余超圖影響力最大化

中圖分類號：TP301.5；N94 文獻標識碼：A

Abstract： The influence maximization problem in hypergraphs has wide-ranging applications across various fields. Existing methods either inadequately address the redundancy of influence between nodes or only rely on a single metric for initial node ranking， which may fail to accurately capture the true propagation values of nodes. To simultaneously consider both influence redundancy between nodes and the actual propagation values of nodes，this paper proposes a Low Redundant Hypergraph based on the Genetic Algorithm （LR-HGA），which takes into account these two aspects in the selection and crossover operations of genetic algorithm. Experimental results on six real hypergraph networks using the SI propagation model defined on hypergraphs show that the seed set obtained by this algorithm generally has a wider influence spread compared to state-of-the-art benchmark algorithms.

Keywords： hypergraphs； influence maximization （IM）；influence redundancy； genetic algorithm（GA）

0 引言

由節點和鏈接組成的復雜網絡可以用來描述現實生活中的許多復雜系統，如蛋白質網絡、交通網絡、生物網絡等。而從網絡中挖掘具有實際價值的信息一直是復雜網絡中研究的主要問題之一，如影響力最大化[1、鏈路預測[2]及網絡瓦解[3-4]的研究等。其中，網絡中的影響力最大化問題（IMP）[5]是一個具有實際意義的問題，如在商品推薦和疾病控制等方面都具有廣泛應用，其目的是在網絡中找到一組最具影響力的節點，即在特定傳播模型下

有更廣的傳播范圍。

現有的大多數對影響力最大化問題的研究主要集中在普通網絡上，但大量研究已經表明現實世界的復雜網絡中也普遍存在高階相互作用[6-7]，即不只有成對個體間的交互，也會存在兩者以上個體之間的交互，不能將網絡直接抽象為只有成對交互的普通網絡，比如多個作家共同完成一篇論文的合著網絡[8，其中節點表示作者，每條超邊表示一篇論文，此時普通網絡中的一條邊只能表示兩個作者之間的合作關系，無法捕捉論文中所有作者間的交互關系，再如社會群體之間相互交流的社交網絡[9]等。此外，盡管有些研究是在普通網絡中考慮多個節點的相互作用[10]，但這仍對交互的節點數有限制。因此，超圖被提出用于描述高階相互作用，其由節點和可以包含任意多個節點的超邊組成，超邊用于表示兩個及以上節點之間的高階相互作用。

超圖中的影響力最大化問題[11]的應用也非常廣泛，如在合著網絡中，如何從一個領域中選擇一些作者作為一場學術會議的匯報者使該領域不同分支的研究內容能夠得到更廣的傳播;再如在社交網絡中，節點表示個體，每條超邊表示一個社會群體，如何從中選出一些個體使得信息能夠在不同群體中有更廣的傳播范圍等等。因此超圖中的影響力最大化問題具有重要意義。

已有的對超圖中影響力最大化問題的研究，主要包括對普通網絡上已有指標的推廣，如介數中心性[12]和特征向量中心性[13]等指標，這些直接從普通網絡推廣而來的方法存在很大的局限性，因為并未考慮超圖本身獨特的拓撲特性。因此，基于超圖本身的一些影響力最大化算法被提出。貪婪算法是其中的一類方法，比如 Zhu等[14]首先研究了社交網絡上的影響力最大化問題，其將群體的高階相互作用影響建模為加權有向超邊，并提出了一種保持近似的D-SSA的算法。Antelmi等[15]提出了一種基于貪婪的啟發式策略來解決超圖中的最小目標集選擇問題，該算法是對普通網絡中線性閾值模型的推廣，其本質是對傳播過程中不重要的節點或超邊進行迭代剪枝。然而，這些貪婪方法很容易陷入局部最優，且時間花費極高。還有一類是啟發式算法，如Xie等[16設計了一種超自適應度剪枝算法（HADP），其核心思想是迭代選擇影響重疊較小的節點作為種子。然而，該算法通過度來考慮節點間的影響冗余，但在超圖中這并不夠準確。同時，度在超圖中無法準確刻畫節點的實際傳播值。

基于此，Xie 等[1又提出了一種元啟發式算法——超遺傳算法（HGA），該算法同時考慮網絡的結構特征和傳播動力學來尋找最優種子集。雖然這一算法在交叉操作和適應度函數中考慮了節點的傳播值，但忽略了節點間存在影響冗余這一效應。因此，本文提出了一種基于遺傳算法的低冗余超圖影響力最大化算法（LR-HGA），該算法將對節點間的影響冗余和節點的實際傳播值的充分考慮融入到遺傳算法的選擇操作和交叉操作中，以尋找全局最優解。最后，在6個真實超圖網絡基于超圖上的 SI傳播模型[16]進行實驗，結果表明，與基線方法相比，所提方法整體上能夠得到傳播范圍更廣的種子集。

1 相關理論基礎

1.1 超圖定義

超圖可用于編碼節點間的高階相互作用。超圖 H=（V，E） 中的節點集為 V={v₁，v₂，…，v_n} ，超邊集為 E= {e₁，e₂，…，e_m} ，其中每條超邊可以包含任意多個節點。超圖關聯矩陣可表示為 H=（h_ij）_n×m ，用于刻畫節點與超邊之間的所屬關系，即，若節點 v_i 在超邊 e_j 中，則 ，否則 。超圖鄰接矩陣可表示為 A=（a_ij）_n×n ，用于表示任意兩節點間共同所在超邊的數量，即 a_?ij 表示節點 v_j 和 v_j 共同所屬超邊的數量， a_ii 表示節點 v_i 所屬的超邊數，即節點 v_i 的超度，表示為 d^H（v_i） 。節點 v_i 的度表示為 d（v_i） ，是指節點 v_i 的鄰居數，即與 v_i 在至少同一條超邊中節點的個數。

1.2 超圖中的影響力最大化問題描述

對于一個給定的超圖 H=（V，E） ，超圖中的影響力最大化問題旨在在網絡中尋找一個固定節點數為 K 的種子集S，使其在特定的傳播模型 M 下通過種子集 s 最終傳播的節點數量 σ_M（S） 最大化。故超圖上的影響力最大化問題可定義為

1.3 針對超圖的SI傳播模型

為評估不同算法獲得的種子集的傳播范圍，本文使用基于超圖上定義的SI傳播模型[16進行實驗。在該模型中每個節點處于感染態和易感染態兩種狀態中的一種，一個易感染態節點會被其處于感染態的鄰居以感染率所感染。其模型的具體過程如下：1）初始時，種子集中的所有節點均處于感染態，其余節點均處于易感染態;2）在每個時間步，對于每個處于感染態的節點，隨機選擇一條其所在的超邊，超邊中的每個易感染節點都會以的概率

被感染;3）重復第2）步，直至達到特定時間步 T 。

2基于遺傳算法的非冗余超圖影響力最大化

本文提出的LR-HGA算法是一個基于遺傳算法考慮節點間影響冗余的超圖影響力最大化方法，具體實現過程如圖1所示：首先進行種群初始化操作，然后迭代執行選擇操作、交叉操作、變異操作和種群融合操作。記錄每次迭代過程中的最優適應度值及對應的個體，當上一步的最優適應度值與當前步的最優適應度值相同時，迭代達到收斂，此時迭代終止，返回最終的最優個體作為所要尋找的種子節點集。每個操作的具體過程將會在2.1至2.5節詳細介紹。為充分刻畫節點間的影響冗余，本文提出節點的傳播標簽的概念。在交叉獲得優良子代的操作中，結合節點的實際傳播值和節點間的影響冗余保留個體中更優的節點集，主要思想是利用節點的傳播標簽，將部分傳播值較高但與其余節點間的影響冗余很大的節點替換成傳播值較低但與其余節點間的影響冗余較低的節點。此外，也在評價個體優劣的適應度函數中加入影響冗余項來減弱種子節點間的影響冗余。

節點的實際傳播值和傳播標簽以及個體適應度函數的定義如下：

定義1（節點的實際傳播值 σ（v） ）：在特定傳播模型下，僅節點 υ 處于感染態，其余節點均處于易感態，在一定時間步 T 下，重復運行一定的次數 R 后，得到的處于感染態節點 v 數量的平均值作為節點 Δ_v 的實際傳播值 σ（v） ，其定義為

其中， σ^r（v） 表示第 r 次運行時節點 v 的傳播值。

定義2（節點的傳播標簽 ）：僅節點 v 處于感染態下，運行 R 次后，得到每次運行的感染態節點集，對所有感染態節點按其出現的次數進行逆序排序，取出前 σ_（v） 個，作為節點的傳播標簽labels（v）。這個定義更加準確地刻畫了節點間的影響冗余，一定程度上反映了每個節點的傳播軌跡。

定義3（適應度函數）：為考慮個體種子節點間的影響冗余的程度，本文在定義個體適應度函數時考慮單節點影響值的同時也會考慮個體節點間的相對分散程度。對于一個個體 P_i ，其適應度值定義為

其中， K（K-1）/2∑∈gt;。丨E（ua）∩E（u）丨表示個體P；中節點間平均共同所在超邊數，一定程度上刻畫了個體的節點間的相對分散程度， -e^-αX 用于減弱個體中節點間影響冗余的程度。 E（v_a） 表示節點 v_a 所在的超邊， K 表示種子集中的節點個數， α 是一個可調參數，當 α=0 時，則是未考慮個體種子節點間影響冗余的情況，其詳細分析在實驗結果的敏感性分析中體現。

2.1 種群初始化操作

見圖1中的A圖，隨機構造一個含有 個個體的初始種群 P ，種群中每個個體 P_i 的大小為 K ，即每個個體中含有 K 個節點，并計算種群中每個個體的適應度值 F（P_i） 。

2.2 選擇操作

見圖1中的B圖，從上一步迭代得到的種群中根據精英策略選擇適應度值最高的 N_? 前個個體構成本步迭代所需的新種群 P^′ 。

2.3 交叉操作

見圖1中的C圖。以交叉概率 p 隨機選擇種群 P^′ 中的個體作為父代，以 1-p_c 的概率隨機選擇種群 P^′ 中的個體作為子代。將得到的父代種群中的個體進行兩兩組合，得到一個個體對集合，然后遍歷每個個體對 Pair_i ，對其執行以下操作：

將個體對中的兩個個體合并去重得到一個新的節點集 V_i ，并根據節點的實際傳播值 σ（v） 對 V_i 中的節點逆序排序，選出前 K 個節點作為一個初始子代個體，剩余未選擇的節點集記為 ，現將個體 P_i^inchild 中的??_h?K 個節點替換成 V_u 中的節點（每次至少替換一個節點），本文取 ?_h=0.2 。具體替換方式是迭代執行以下的刪除節點和添加節點過程，直至替換的節點數達到 p_h?K∣ （20

刪除節點：計算 P_i^inchild 中每個節點 v_a 與其余 K-1 個節點的影響重疊值 Q_υa ，其定義為

該定義中的分子部分表示每個種子節點與其他節點間的影響冗余程度，為同時考慮節點自身的傳播值，又除以其自身的傳播標簽集的大小。當一個種子節點與其余種子節點間的重疊標簽很多，自身傳播值很小時，該節點更可能被刪除。從 P_i^inchild 中刪除 O_va 最大的節點，同時將刪除的節點添加到 V_u 中。若有節點有相同的影響重疊值，則刪除實際傳播值最小的節點。

添加節點：計算 V_u 中每個節點的得分值 R_vb ，其定義為

R_vb=∣labels（v_b）.∣?（1-O_vb）=∣labels（v_b）∣-∣?_{vc∈Pi^neabid}（labels（v_b）?labels（v_c））∣∣

該定義表示一個節點當與當前種子節點間的重疊標簽很少，且自身傳播值很大時，則更可能被添加。具體添加方式是選出 R_vb 最大的節點添加到 P_i^inchild 中，同時將添加的節點從 V_u 中刪除。若有節點有相同的 R_vb ，則添加實際傳播值最大的點。

公式（4）和（5）在一定程度上刻畫了節點間的影響冗余程度。將添加和刪除節點的過程迭代執行 p_h?K 次最終得到一個新的子代個體記為 P_i^child 。然后將每個個體對得到的 P_i^child 添加到子代種群中，得到最終的子代種群Pchildren

2.4 變異操作

見圖1中的D圖，對子代種群 P_i^children 中每個個體中的每個節點以變異概率進行變異。注意，保證變異后的節點不重復。將變異后的子代種群記為 P^mut 。

2.5 種群融合

見圖1中的E圖，將選擇階段的種群 P^′ 、交叉階段的父代種群 P^parents 以及變異階段的子代種群 P^mut 合并同時去掉重復的個體，最終構成一個新的種群 P^new 作為下次迭代的種群進入選擇階段，并計算 P^new 中每個個體的適應度值，記錄最優適應度值及對應個體。

3 實驗分析

3.1 實驗數據集

HADP 算法[16]指出，考慮節點間影響冗余的動機是節點分布越稠密，節點間的影響冗余就越大。因此，為驗證所提算法的有效性，本文選擇了六個具有不同稠密程度的真實超圖數據集，其中數據集 iAF1260b^[18] 和iJO1366[18]相對很稀疏，數據集 Algebra[19]和 Restaurant-Rev[20]相對較為稠密，而數據集 Geometry[20]和 senate-committees[21]相對很稠密。表1展示了六個真實超圖網絡的拓撲特征。其中 ∣V∣，∣E∣ 分別為超圖的節點數和超邊， ?K? 表示超圖的平均度， ?K^H? 表示超圖的平均超度， ?C^E? 表示超邊大小的平均值， ?d? 表示超圖的團展開圖的平均最短路徑長度。

3.2 對比算法

度中心性DD：基于節點的度 d（v_i） 排序選擇前 K 個節點作為種子節點構成種子集S。

超度中心性HDD：和度中心性類似，是基于節點的超度 d^H（v_i） 選擇種子集。

超反向影響采樣算法 HRIS：是普通網絡中為解決影響力最大化問題所提的反向影響采樣 RIS 算法[22]的推廣。對于一個超圖 H=（V，E） ，以 1-λ 的概率刪除每條超邊，得到一個新的子超圖 H^′=（V^′，E^′） ，隨機選擇子超圖 H^′ 中的一個節點 v_i ，定義一個 v_i 的一個HRR節點集，指在 H^′ 中，節點 v_i 能夠到達的節點集。重復 步可以得到 個HRR集，然后將在 個HRR集中出現頻次最多的節點 v_t 添加到種子集中，然后刪除包含 v_t 的HRR集，迭代選擇 K 個。

超集體影響力算法HCI1和HCI2：是普通網絡中集體影響力CI算法[23]的推廣。其中球 Ball（v_i…l） 表示從節點 v_i 通過最短路徑長度為 l 的路徑能到達的節點集， ?Ball（v_i，l） 則為 v_i 的 l- 跳鄰居集，每個節點 v_i 的超集體影響力可表示為

其中， d^H（v_i） 表示節點 v_i 的超度， l 表示所考慮的鄰居的階數。對每個節點按HyperCI得分排序，選出最大 K 的前個節點構成種子集 s 。HCI1和HCI2分別是只考慮 和 l=2 的算法。

超自適應度剪枝算法 HADP^[16] ：其思想是迭代選擇重疊影響較小的節點作為種子。首先選擇超圖中度最大的節點加入種子集，再對已被選為種子的鄰居進行懲罰，即在上一輪得到的度的基礎上減去節點的在 s 中的鄰居的數量，進而迭代選擇新的種子節點。

超遺傳算法 HGA[17]：是一種受生物進化的啟發而設計的元啟發式算法。通過設計選擇、交叉和變異三種算子同時考慮超圖的結構特征和擴散動力學尋找近似最優種子集。

3.3 實驗結果分析

本文使用基于超圖定義的SI傳播模型模擬信息在超圖中的傳播過程，以衡量不同算法得到的種子集S的影響力覆蓋范圍，用 σ_SI（S） 表示。為盡量減少因傳播模型的隨機性造成的誤差，所有實驗結果均至少獨立執行500次模擬取平均傳播值。

圖2顯示了在兩組不同傳播模型參數設置下八種不同算法得到的種子集的傳播范圍隨種子集大小 K 的變化情況。其中遺傳算法中的參數設置為種群大小 N_P=100 ，變異概率 ?_c=0.2 ，交叉概率 ?_m=0.9 ，最大演變步數MAXstep =15 。適應度函數中的冗余參數設置為 α=0.8 。算法HRIS中的參數設置為 。從圖中可以看出：本文提出的LR-HGA算法在六個超圖網絡中整體上優于其他基線算法。當種子數較少時，LR-HGA和HGA算法的傳播范圍均優于HADP算法；而當種子數較多時，如超過25時，HGA算法的性能反而會低于 HADP 算法，而LR-HGA算法仍是最優的，這說明對單節點的實際傳播值和種子節點間的影響冗余的充分考慮是必要的，此時只保證種子集中的單個節點的實際影響值最大，或只用無法充分刻畫節點間影響冗余的度折扣方式，都無法保證整個種子集的傳播范圍達到最優，而同時考慮節點自身傳播值和能夠充分刻畫節點間影響冗余的LR-HGA算法則能夠同時保證這兩點，所以即使在種子數較大時也能夠保證有很好的效果。此外，從表1中可以看出iAF1260b和iJO1366 是兩個較為稀疏的網絡，因此在種子數較少如在1到10左右時種子節點間的影響冗余應該是非常低的，但所提的LR-HGA算法可能有些過度考慮影響冗余，因此此時相比于過度考慮，不考慮影響冗余的 HGA算法效果反而是更好的。但當種子數較多，如超過10個種子時，節點間存在的影響冗余較大，此時對于影響冗余的考慮是必要的，因此仍是所提的LR-HGA算法效果是最優的。

為進一步說明所提LR-HGA算法可以整體上獲得傳播范圍更廣的種子集的原因，提出種子集中節點的平均傳播范圍 ?σ_M（v）?_s ，以及在超圖的團展開圖下種子集的節點間的平均最短路徑長度 ?d?_s 。其中 ∣S∣ 表示種子集中的節點數， d_uv 表示節點 v 和 u 之間在團展開圖下的最短路徑長度， ?d?_s 反映了種子節點間的分散程度，越大則表示節點分布越分散。

以數據集Geometry為例，如圖3所示，左右兩圖分別表示在基于超圖上的SI傳播模型下，模型時間步為 T= 25，感染率為 β=0.01 ，不同種子數下不同算法得到的種子集節點的平均最短路徑長度 ?d?_s 和平均傳播范圍?σ_SI（γ）?_S 。從圖中可以看出，盡管HGA算法的種子節點的平均傳播值最大，但其對應的平均最短路徑很小，即種子節點的分布相對較為密集;以減少影響重疊為主要思想的HADP算法雖然種子節點間的平均最短路徑相對較大，即節點分布相對分散，但對應的種子節點的平均傳播值較小。而所提的LR-HGA算法在節點自身的傳播值和種子節點間的平均最短路徑之間達到了很好的平衡，既能保證種子節點的平均傳播值較高又能保證種子節點間的分布非常分散。

3.4參數敏感性分析

對于算法的最大迭代步數的設置，由于本文使用的選擇策略是精英策略，算法會很快達到收斂，故為平衡算法性能和時間復雜度，本文固定最大演變步數MAXstep =15 。此外，為研究算法中參數對算法性能的影響，本文進一步分析交叉 概率 ?_c 和變異概率 p_m 兩個參數的影響。如圖4，通過觀察在兩個拓撲性質（指度與超度均相差較大）不同的超圖網絡Geometry和iAF1260b上，固定種子數 K=15 ，傳播模型時間步 T=25 ，感染率為 β=0.01 ，算法在不同交叉概率 ?_c 和變異概率 p_m 下的傳播范圍，可以看出：當 p_c?0.7，p_m?0.3 時，對不同拓撲性質的網絡均具有較好的性能，為平衡算法在具有不同拓撲性質的網絡上的性能，本文取 p_c=0，9，p_m=0.2 。

另外，為研究LR-HGA算法中冗余參數的取值問題，本文對該參數進行了敏感性分析，其中固定種子數 K= 20，時間步 T=25 ，感染率 β=0.01 。不同的超圖網絡有不同的稠密性，當網絡較稠密時，節點的度和超度都較大，節點間的影響冗余程度也就更大；反之，若網絡較為稀疏時，節點間的影響冗余程度就會更小，此時對節點間的影響重疊減弱程度也就會更小。因此，本文觀察 α 在[0，1]之間LR-HGA算法的性能，具體結果如圖5，可以看出：當 α=0 時則是沒有冗余削弱的情況，此時對所有數據集算法性能都是最差的，這也說明了考慮節點間影響冗余的必要性。根據實驗結果，本文對不同數據集統一取 α=0.8 。

4結語

本文針對超圖中的影響力最大化問題提出了一種基于遺傳算法的考慮節點間影響冗余的超圖影響力最大化方法，該算法將節點間存在影響冗余這一效應融入在遺傳算法的選擇操作和交叉操作中，具體來說，交叉操作中通過對父代個體對合并，選出傳播值最大的前 K 個，然后再通過計算每個節點與其余 K-1 個節點間的影響重疊度之和，迭代將 _Ph?K| 個值最大的節點替換成傳播值相對較高同時影響重疊較低的節點。我們通過在交叉產生子代過程中，將部分實際傳播值較小且與種子間重疊標簽較多的節點替換為實際傳播值較大且與種子間重疊標簽較少的節點，從而減少子代節點間的影響冗余，加快遺傳算法的收斂速度。此外，在適應度函數中加入一個以種子節點間平均所在超邊數為指數的項，以此來刻畫節點間的影響冗余程度，進一步降低個體節點間的影響冗余。通過在6個真實超圖數據集上的實驗，結果表明此算法整體上可以得到傳播更廣的最優種子集。在未來的工作中，可以設計更符合真實超圖網絡的傳播模型，并針對超圖傳播模型提出更優的近似種子集傳播范圍的適應度函數，以取代蒙特卡羅模擬過程，減少算法的時間復雜度。本文所提算法為研究超圖影響力最大化問題提供了一種新的思路，并為謠言遏制和疾病預防等現實場景問題提供一定的理論依據。

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（責任編輯 李進）