從教材到生活，解鎖不等式的應用密碼

不等式是刻畫現實世界不等關系的重要模型。一元一次不等式（組）雖是最簡單的不等式（組），卻在日常生活中有著廣泛的應用，是解決生活問題的有效工具。同學們可以類比一元一次方程來學習，既要關注兩者的聯系，又要清楚它們的區別。下面精選幾例深入剖析，希望同學們能進一步體會數學與生活的緊密聯系，感悟不等式的無窮魅力。

一、決策類問題

例1甲、乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過200元后，超出200元的部分按 90% 收費；在乙商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按 95% 收費。當小紅在同一商場累計購物超過200元時，在哪家商場的實際花費少？

【分析】設小紅在同一商場累計購物x 元 （xgt;200） ，可以用含 x 的代數式分別表示在甲、乙兩商場的花費。根據“哪家商場的實際花費少”，故涉及在兩個商場花費的大小比較，需分情況逐一討論。

解：設小紅在同一商場累計花費 x 元，其中 xgt;200 O

所以在甲商場花費 200+（x-200）× 90%=0.9x+20

在乙商場花費 0.95x+5 。① 當 0.9x+20lt;0.95x+5 時，解得 xgt;300 ：② 當 0.9x+20gt;0.95x+5 時，解得 200

綜上所述，當小紅花費超過300元時，到甲商場花費少；當小紅花費大于200元而小于300元時，到乙商場花費少；當小紅花費等于300元時，到兩家商場花費一樣多。

【點評】本題利用不等式的相關知識幫助我們作出決策，增長精打細算的智慧。

二、分配類問題

例2把一批書分給小朋友，每人4本，則余9本；每人6本，則最后一個小朋友分到了書，但不足3本。那么這批書有多少本？

【分析】本題中人數未知，書本數目也未知。但不管哪種分配方式，人數不變，書本總數也不變。設共有 x 個小朋友，則這批書共有 （4x+9） 本，根據“每人6本，則最后一個小朋友分到了書，但不足3本”，用 x 的代數式表示最后一個小朋友得到的本數為 4x+9-6（x-1） ，抓住關鍵詞（分到、不足）可列出不等式組，解之即可得出 x 的取值范圍，再結合 x 為正整數得出結論。

解：設共有 x 個小朋友，則這批書共有 （4x+9） 本。由題意，得 。解得 O又因為 x 為正整數，所以 x=7 。所以 4x+9=37 （本）。答：這批書有37本。

【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用。同學們要認真審題，找顯性的關鍵詞，也要善于挖掘隱含的信息，設出適當的未知數，用含未知數的代數式表示相關量，再根據不等關系列出不等式（組），根據實際問題找出符合條件的解，從而解決問題

三、方案類問題

例3春節前夕，某商店從廠家購進 A，B 兩種禮盒，已知 A，B 兩種禮盒的單價比為 3：4 ，單價和為210元，該商店購進這兩種禮盒恰好用去9900元

（1）A，B 兩種禮盒的單價分別是多 少元？ （2）若購進A種禮盒最多36個， B 種 禮盒的數量不超過 A 種禮盒數量的2倍， 則有幾種進貨方案？

（3）根據市場行情，銷售一個A種禮盒可獲利12元，銷售一個 B 種禮盒可獲利18元。為奉獻愛心，該店主決定每售出一個 B 種禮盒，為愛心公益基金捐款m 元，每個 A 種禮盒的利潤不變。要使禮盒全部售出后所有方案獲利相同， m 值是多少？此時店主獲利多少元？

【分析】（1）利用 A，B 兩種禮盒的單價比為3：4，單價和為210元，建立方程即可。2）“幾種進貨方案\"即購進A種多少個， B 種多少個。抓住題中“最多”“不超過”可以列出兩個不等式，那如何表示A 種 ?^B 種禮盒的個數呢？借助“恰好用去9900元”，得到兩種禮盒費用之間的相等關系，不妨設 B 種禮盒 x 個，則能用含x 的代數式表示A種禮盒的個數，進而得出一元一次不等式組。在確保“兩種禮盒的個數都是整數\"的前提下，篩選出符合條件的解，進而得出方案數。（3）用含 x 和 m 的代數式表示出店主所獲利潤，根據所有方案獲利相同可知與 x 的取值無關，從而求出 m 的值。

解：（1）設 A 種禮盒單價為 3k 元，則B 種禮盒單價為 4k 元

所以 3k+4k=210 解得 k=30 O

所以 A 種禮盒單價為 3×30=90 （元），B 種禮盒單價為 4×30=120 （元）

（2）設購進 B 種禮盒 x 個，則購進 A 種 禮盒 個，化簡得 根據題意，得 解得 55.5?x?60 。 因為 x 與 都為正整數，所 以 x=57 或 60 。

方案一： A 種禮盒30個， B 種禮盒60 個；方案二： A 種禮盒34個， B 種禮盒 57個。

（3）設該商店獲利 w 元，由（2）可知 化簡，得 w= （2-m）x+1320 。

若使所有方案都獲利相同，則 2-m= 0，得 m=2 。此時店主獲利1320元

【點評】第（1）題的答案至關重要，該題算錯會影響后面問題的解決，所以同學們要舍得花時間進行檢驗。在用一元一次不等式組解決問題的過程中，我們通常設一個未知數，用含該未知數的代數式表示另一個未知量。至于設哪個未知量，我們要嘗試比較哪種更簡潔。此題若設A種禮盒 x 個，則 B 種禮盒的個數表示起來要復雜一些，不便于計算。接著根據不等式組得到取值范圍后，我們不僅要考慮實際問題中的 x 要取正整數，同時不要忽略用含 x 的代數式表示的其他量也需取正整數，從而得到特定的解。多種方案下，有時還會提出要求選擇出最佳方案，同學們要根據條件分別計算結果，再比較，從中擇優選取。

同學們，方程和不等式都是我們解決實際問題的有力武器。希望大家認真挖掘實際問題中的數量關系，用準模型，為今后解決更多復雜的問題筑牢根基，真正掌握數學知識在生活中的應用密碼。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳實驗中學）