由一道多元不等式引發的思考

七年級下學期，我們學習了如何用二元一次方程來解決含有多個未知量的等量關系的問題，在這個基礎上我又開啟了“一元一次不等式\"的學習。在學習的過程中，我驚奇地發現，很多不等式的問題需要借助等量關系來解決。

【原題呈現】我們把關于 x，y 的二元一次方程 ax+by+c=0 的系數 稱為該方程的伴隨數，記作 （a，b，c） 。例如：二元一次方程 5x-y+3=0 的伴隨數是（5，-1，3）。

已知關于、y的二元一次方程的伴隨數是（3，m，n）。若{=?3， 是該方程的一組解，且滿足 m+ngt;7 ，求代數式 3m+4n 的值的范圍。

【分析】我通過伴隨數的定義，得到關于 x，y 的二元一次方程 3x+my+n=0（m≠0） ，接著代人方程的解得到關于 m_?n 的等量關系 2m+n=9（m≠0），m，n 同時又滿足不等式 m+ ngt;7 ，要求 3m+4n 的范圍。

做到這里，我的思緒停頓了：取值范圍是需要用不等式來解決的，但要求的 3m+4n 含有兩個未知數 m_?n ，而二元不等式不在我們學習范圍內，該怎么解決呢？

我聯想到了在學習解二元一次方程時，老師用一個未知數表示另一個未知數的方法實現了消元，把二元一次方程轉化為了一元一次方程。那么，我能不能在這道題中用同樣的方法來處理呢？

厲法一消元化歸一二元轉化為一元

利用方程 2m+n=9 ，可以轉換為 n=9-2m ，代人不等式消元得到只含有 m 的一元一次不等式 m+9-2mgt;7 ，解不等式得到 mlt;2 ，再根據前面的 m≠0 ，就有了 m 的范圍。求出m 的范圍后，要求 3m+4n 的范圍也是如此，繼續消元轉化得 3m+4n=3m+4（9-2m）=36- 5m 。只含字母 m 后，利用已求出的 Σ_m 的范圍 mlt;2 且 m≠0 ，得到 36-5mgt;26 且 36-5m≠ 36，即 3m+4ngt;26 且 3m+4n=36 。

【方法小結】求含有多個未知數的代數式的取值范圍，需要通過題目中的等量關系，用一個字母的代數式來表示另一個字母，從而代人消元，把多元問題轉化成學過的一元一次不等式來解決。

我迫不及待地把自己的所思所想和同學分享，結果發現大家對這道題有很多不一樣的想法。于是，我們找到老師，經過交流探討，把收集到的解法分類整理如下：

方法二：反客為主一一已知轉化為未知

同學 a 前半部分想法與我一致，利用消元將二元不等式轉化為一元不等式，求出了 Ω_m 的范圍，接下來在求代數式 3m+4n 的范圍時，設 W=3m+4n ，把 3m+4n 看成一個整體，問題就變成了已知 m 的范圍，求 W 的范圍。而 W=3m+4n=3m+4（9-2m）=36-5m ，則 （20 （20，關于 m 的不等式組 就可以替換成關于W的一元一次不等式組。解關于W的一元一次不等式組 我們同樣可以得到 Wgt;26 且 W≠36 。

【方法小結】利用等式把目標未知字母 W 用已知范圍的字母 m 來表示，反客為主，將要求的問題轉換為已知的條件來解決。

方法三：特殊取巧一—局部轉化為整體

同學 b 的想法比較特殊，他發現從已知條件出發，設 A=2m+n=9，B=m+ngt;7 因為m≠0 ，所以 B=（2m+n）-m=9-m≠9 所以 Bgt;7 且 B≠9 而 3m+4n 恰巧可以用 A，B 來表示，3m+4n=5（m+n）-（2m+n）=5B-A=5B-9 ，所以只需要利用 B 的范圍，就可以得到 3m+ 4ngt;26 且 3m+4n=36 。

【方法小結】把二元不等式和等式分別看成一個整體，特殊之處在于要求的目標恰巧可以用這兩個整體來表示，整體代人后就可以求解了。但需注意這種方法具有特殊性，并不適用于解決所有這類問題。

通過這道題的不同求解方法，我發現數學知識從來不是一座座孤島，學過的等式的知識可以為解答不等式的問題開啟一扇門，學過的數學思想方法可以為探索未知的新領域架起一座橋梁。小伙伴們，探索數學的世界真是太有意思了，期待下一次的奇妙之旅！

教師點評

小作者從一個問題出發，開啟了一趟不等式與等式結合的探索之旅，通過運用學過的不同的數學思想方法，將一個問題總結出了多個解法。數學的思想方法是數學學習中尤為關鍵的一把鑰匙，只要牢牢地握住它，就能打開數學世界千千萬萬扇充滿神秘色彩的大門。屈原曾說：“路曼曼其修遠兮，吾將上下而求索。”希望同學們今后都能對新問題保持自主探索的學習精神，掌握舉一反三的學習能力，用數學的思維思考現實世界，解決現實問題。

（指導教師：浦舒玥