由一道多元不等式引發(fā)的思考

七年級下學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了如何用二元一次方程來解決含有多個未知量的等量關(guān)系的問題，在這個基礎(chǔ)上我又開啟了“一元一次不等式\"的學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)的過程中，我驚奇地發(fā)現(xiàn)，很多不等式的問題需要借助等量關(guān)系來解決。

【原題呈現(xiàn)】我們把關(guān)于 x，y 的二元一次方程 ax+by+c=0 的系數(shù) 稱為該方程的伴隨數(shù)，記作 （a，b，c） 。例如：二元一次方程 5x-y+3=0 的伴隨數(shù)是（5，-1，3）。

已知關(guān)于、y的二元一次方程的伴隨數(shù)是（3，m，n）。若{=?3， 是該方程的一組解，且滿足 m+ngt;7 ，求代數(shù)式 3m+4n 的值的范圍。

【分析】我通過伴隨數(shù)的定義，得到關(guān)于 x，y 的二元一次方程 3x+my+n=0（m≠0） ，接著代人方程的解得到關(guān)于 m_?n 的等量關(guān)系 2m+n=9（m≠0），m，n 同時又滿足不等式 m+ ngt;7 ，要求 3m+4n 的范圍。

做到這里，我的思緒停頓了：取值范圍是需要用不等式來解決的，但要求的 3m+4n 含有兩個未知數(shù) m_?n ，而二元不等式不在我們學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，該怎么解決呢？

我聯(lián)想到了在學(xué)習(xí)解二元一次方程時，老師用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的方法實現(xiàn)了消元，把二元一次方程轉(zhuǎn)化為了一元一次方程。那么，我能不能在這道題中用同樣的方法來處理呢？

厲法一消元化歸一二元轉(zhuǎn)化為一元

利用方程 2m+n=9 ，可以轉(zhuǎn)換為 n=9-2m ，代人不等式消元得到只含有 m 的一元一次不等式 m+9-2mgt;7 ，解不等式得到 mlt;2 ，再根據(jù)前面的 m≠0 ，就有了 m 的范圍。求出m 的范圍后，要求 3m+4n 的范圍也是如此，繼續(xù)消元轉(zhuǎn)化得 3m+4n=3m+4（9-2m）=36- 5m 。只含字母 m 后，利用已求出的 Σ_m 的范圍 mlt;2 且 m≠0 ，得到 36-5mgt;26 且 36-5m≠ 36，即 3m+4ngt;26 且 3m+4n=36 。

【方法小結(jié)】求含有多個未知數(shù)的代數(shù)式的取值范圍，需要通過題目中的等量關(guān)系，用一個字母的代數(shù)式來表示另一個字母，從而代人消元，把多元問題轉(zhuǎn)化成學(xué)過的一元一次不等式來解決。

我迫不及待地把自己的所思所想和同學(xué)分享，結(jié)果發(fā)現(xiàn)大家對這道題有很多不一樣的想法。于是，我們找到老師，經(jīng)過交流探討，把收集到的解法分類整理如下：

方法二：反客為主一一已知轉(zhuǎn)化為未知

同學(xué) a 前半部分想法與我一致，利用消元將二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，求出了 Ω_m 的范圍，接下來在求代數(shù)式 3m+4n 的范圍時，設(shè) W=3m+4n ，把 3m+4n 看成一個整體，問題就變成了已知 m 的范圍，求 W 的范圍。而 W=3m+4n=3m+4（9-2m）=36-5m ，則 （20 （20，關(guān)于 m 的不等式組 就可以替換成關(guān)于W的一元一次不等式組。解關(guān)于W的一元一次不等式組 我們同樣可以得到 Wgt;26 且 W≠36 。

【方法小結(jié)】利用等式把目標(biāo)未知字母 W 用已知范圍的字母 m 來表示，反客為主，將要求的問題轉(zhuǎn)換為已知的條件來解決。

方法三：特殊取巧一—局部轉(zhuǎn)化為整體

同學(xué) b 的想法比較特殊，他發(fā)現(xiàn)從已知條件出發(fā)，設(shè) A=2m+n=9，B=m+ngt;7 因為m≠0 ，所以 B=（2m+n）-m=9-m≠9 所以 Bgt;7 且 B≠9 而 3m+4n 恰巧可以用 A，B 來表示，3m+4n=5（m+n）-（2m+n）=5B-A=5B-9 ，所以只需要利用 B 的范圍，就可以得到 3m+ 4ngt;26 且 3m+4n=36 。

【方法小結(jié)】把二元不等式和等式分別看成一個整體，特殊之處在于要求的目標(biāo)恰巧可以用這兩個整體來表示，整體代人后就可以求解了。但需注意這種方法具有特殊性，并不適用于解決所有這類問題。

通過這道題的不同求解方法，我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識從來不是一座座孤島，學(xué)過的等式的知識可以為解答不等式的問題開啟一扇門，學(xué)過的數(shù)學(xué)思想方法可以為探索未知的新領(lǐng)域架起一座橋梁。小伙伴們，探索數(shù)學(xué)的世界真是太有意思了，期待下一次的奇妙之旅！

教師點評

小作者從一個問題出發(fā)，開啟了一趟不等式與等式結(jié)合的探索之旅，通過運(yùn)用學(xué)過的不同的數(shù)學(xué)思想方法，將一個問題總結(jié)出了多個解法。數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為關(guān)鍵的一把鑰匙，只要牢牢地握住它，就能打開數(shù)學(xué)世界千千萬萬扇充滿神秘色彩的大門。屈原曾說：“路曼曼其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。”希望同學(xué)們今后都能對新問題保持自主探索的學(xué)習(xí)精神，掌握舉一反三的學(xué)習(xí)能力，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，解決現(xiàn)實問題。

（指導(dǎo)教師：浦舒玥