生活中的相等與不相等 數學中的方程與不等式

第11章 一元一次不等式

領銜人：（正高級教師、江蘇省特級教師）組稿團隊：江蘇省無錫市初中數學名師工作室

在生活中，如果我們遇到兩個量，它們之間的數量關系只有兩種可能，要么相等，要么不相等。放到數學中去看，如果相等，就構成等式；如果不相等，就構成不等式。如果等式中含有未知數，就構成了方程，如前面學過的一元一次方程、二元一次方程（組）等;如果不等式中也含有未知數，就構成了不等式，如本章研究的內容一一元一次不等式。可見，方程與不等式有著千絲萬縷的聯系，它們都是刻畫生活中數量關系的模型，具有廣泛的應用性。在學習本章節時，我們只有將知識點建立在“一元一次方程\"和“二元一次方程（組）\"的基礎之上，才能深入理解并掌握“一元一次不等式”。“不等式”是初中代數在“數”“式”“方程\"基礎上的第四個主題學習內容，學透本章必須抓住以下三點。

理清本章知識脈絡

本章主要學習如下三塊內容，一是不等式的概念；二是不等式的基本性質；三是在此基礎上，學習一元一次不等式（組）的概念、解法和應用。對于不等式的概念，它是與等式概念相對應的。用等號 （=） 表示數量之間關系的式子叫作等式，用不等號 （gt;.lt;.?.?） 表示數量之間關系的式子叫作不等式。要對等式作變形，需要學習等式的性質。同樣，要對不等式作變形，必須學習不等式的性質。不等式的基本性質與等式的基本性質一樣，也是兩條。

當在式子兩邊同時加上（或減去）同一個數或整式時，等式仍然成立，不等式的不等號方向不變；在式子兩邊同時乘（或除以）同一個正數或負數時，等式仍然成立，但不等式需要分類討論：乘（或除以）同一個正數時不等號方向不變，乘（或除以）同一個負數時不等號的方向改變。這一點“大不同\"要引起同學們的足夠重視。從不等式到一元一次不等式，是從一般到特殊，對于一元一次不等式（組）的研究，跟一元一次方程、二元一次方程（組）一樣，都是按照概念 $$ 解法 $$ 應用的路徑展開學習。這樣就完成了數學從生活中來，研究數學，最后又回到生活中去解決真實問題的宏觀思路。本章的知識脈絡具體如下。

類比學習核心知識

對于本章核心知識的研究，我們可以通過類比一元一次方程的研究方式進行。上面已經介紹了一般的等式（方程）與不等式的關系，而一元一次方程與一元一次不等式是方程、不等式中最簡單的特殊情形。我們學習一元一次方程按照“概念、解法、應用\"的路徑展開，學習一元一次不等式也是如此。對于概念，都是按照“只含有一個未知數，并且未知數的次數是1\"來定義；對于解，都是按照“能使式子成立的未知數的值\"來定義；對于解方程與解不等式，都是按照“求解（解集）的過程\"來定義；對于具體解法，都是按照“去分母、去括號、移項、合并同類項、將未知數的系數化為1\"五步進行。上面是一元一次方程與一元一次不等式相同的地方，可以簡單理解為“四同”。不同的地方有兩個，一是一元一次方程要有解，通常是唯一確定的數值；而一元一次不等式有解，但不唯一，這些解組成了不等式的解集。二是在解法五步中的最后一步，將未知數的系數化為1時，如果方程未知數系數是負數，等號不變，如果不等式的未知項系數是負數，不等號要改變方向。這點的不同與等式、不等式的基本性質2完全一致。上面兩個不同可以簡單理解為“二不同”。本章的核心知識類比如下。

看透知識背后邏輯

初中代數關于不等式的研究，只有這唯一的一章內容。為什么不跟一元一次方程一樣，沿著相同的宏觀方向進行拓展呢？因為在生活中，我們總希望得到的結論是從“無限”到“有限”，從“有限\"到“唯一”，這樣有助于我們真正解決問題。數學也是如此。一般的一元一次方程有解就唯一，所以就向二元一次方程方向拓展，發現二元一次方程不僅有解，而且有無數個解，于是就研究二元一次方程組，發現它有解就唯一，同理進一步推廣向三元一次方程組。不等式卻不同。我們研究一元一次不等式后發現，它的解是無數個，組成了一元一次不等式的解集。因此，我們在應用時，只能通過求特解變成有限，再通過最大或最小等更特殊情形變成唯一。當擴充成一元一次不等式組后，我們發現，它要么無解，要么還是一個解集，所以再去研究二元一次不等式（組）意義不大，當然這里還涉及如何消元的難題。到了初高中銜接階段，我們還是需要去研究一元二次不等式的情況，這個等同學們學到時再去進一步體會。綜上，我們可以得到方程、不等式單元之間的研究邏輯如下。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）