數學的三個世界

第12章 定義 命題 證明

領銜人：（正高級教師、江蘇省特級教師）組稿團隊：江蘇省太倉市名師工作室

數學概念、命題與推理共同構筑起數學思維的邏輯大廈。概念需要定義，命題需要證明。通過定義和證明，我們學會有邏輯地思考問題，養成“重證據、有條理\"的思維習慣。英國數學家戴維·韜爾提出“數學的三個世界\"理論，為理解數學認知的深層機制提供了方向。通過這三個世界，我們不僅能探索命題的真偽邊界，更能在證明與反駁的過程中，鍛造出兼具嚴密性與創造性的數學思維品質。

在操作中感知，進入具體化世界

在語文的學習中，我們學過各種各樣的句式，以下幾句話分別屬于哪種句式？

① 今天天氣好嗎？② 祝福祖國繁榮富強！③ 我們都是中國人。④ 你怎么這么厲害！⑤ 李白是宋朝人。

⑥ 請勿踐踏草坪⑦ 小貓和小狗都是哺乳動物

通過語文的學習，我們能判斷出： ① 是疑問句， ②④ 是感嘆句， ③⑤⑦ 是陳述句， ⑥ 是祈使句。那么，在句子 ③⑤⑦ 中，哪些是真話，哪些是假話呢？根據我們的經驗， ③⑦ 是真話， ⑤ 是假話。

我們將語文知識遷移到數學中來，研究分析下列語句的特點：

① 如果兩個角互補，那么它們的和為 180^° 。② 作∠AOB的平分線 oc 專③a 的相反數為 -a 嗎？④ 如果 ∠AOB=90^° ，那么 AO⊥BO ○⑤ 直角都相等。⑥ 相等的角都是直角，其中 ①④⑤⑥ 是陳述句，并且可以判斷真假。

在探究中體驗，進入概念化世界

可以判斷真假的陳述句就叫作命題，一個命題要么為真，要么為假，二者必居其一。例如，如果兩個角互補，那么它們的和為 180^° 。這句話中條件為“兩個角互補”，結論為“它們的和為 180^° ”根據所學的知識，我們發現，當該條件成立時，結論一定成立，因此這個命題是真命題。又如，相等的角都是直角。這句話可改寫為：如果有幾個角相等，那么它們都是直角。其中，條件為“有幾個角相等”，結論為“它們都是直角”。很明顯，當條件成立時，結論不一定成立，因此這個命題是假命題。

命題由條件和結論兩部分構成，所有的命題均可以寫成“如果…，那么…”的形式。“如果”后面的就是條件，“那么”后面的就是結論。在數學領域，邏輯推理不僅是構建知識體系的命脈，更是推動數學發展的核心動力。那些經過系統論證并被嚴格證明為真的命題，被稱為定理。定理誕生的背后是嚴格的證明體系，每一個環節都需經過反復推敲與驗證，確保邏輯鏈條的絕對嚴密性。這種追求不僅彰顯著數學作為“科學皇后”的理性之美，更將人類思維推向了精確性與抽象性的巔峰。

在圖式中概括，進入形式化世界

如圖1，在等腰三角形ABC中，證明：等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合（三線合一）

證法：作 AD 平分 ∠BAC ，則 ∠BAD= ∠CAD 。根據題意，得 AB=AC，AD=AD 。在 ΔABD 和△ACD中， ∴ΔABD?ΔACD（SAS） ∴BD=CD ∠ADB=∠ADC=90^° ： AD 是 ΔABC 底邊上的高線、中線以及頂角平分線。

當我們以數學的眼光審視世界，便會發現日常思維中暗藏的邏輯漏洞；當我們用證明的標準衡量論斷，便能識破諸多似是而非的偽命題。這種思維訓練賦予我們的，不僅是解決數學問題的能力，更是穿透現象迷霧、直擊本質的核心素養。讓我們在數學探索的道路上，既做真理的發現者，更當理性的守護者，用邏輯之光照亮認知的星空，成為真正“講道理\"的智者。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）