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數學的三個世界

2025-07-12 00:00:00析睿朱建良
初中生世界·七年級 2025年8期
關鍵詞:思維數學

第12章 定義 命題 證明

領銜人:(正高級教師、江蘇省特級教師)組稿團隊:江蘇省太倉市名師工作室

數學概念、命題與推理共同構筑起數學思維的邏輯大廈。概念需要定義,命題需要證明。通過定義和證明,我們學會有邏輯地思考問題,養成“重證據、有條理\"的思維習慣。英國數學家戴維·韜爾提出“數學的三個世界\"理論,為理解數學認知的深層機制提供了方向。通過這三個世界,我們不僅能探索命題的真偽邊界,更能在證明與反駁的過程中,鍛造出兼具嚴密性與創造性的數學思維品質。

在操作中感知,進入具體化世界

在語文的學習中,我們學過各種各樣的句式,以下幾句話分別屬于哪種句式?

① 今天天氣好嗎?② 祝福祖國繁榮富強!③ 我們都是中國人。④ 你怎么這么厲害!⑤ 李白是宋朝人。

⑥ 請勿踐踏草坪⑦ 小貓和小狗都是哺乳動物

通過語文的學習,我們能判斷出: ① 是疑問句, ②④ 是感嘆句, ③⑤⑦ 是陳述句, ⑥ 是祈使句。那么,在句子 ③⑤⑦ 中,哪些是真話,哪些是假話呢?根據我們的經驗, ③⑦ 是真話, ⑤ 是假話。

我們將語文知識遷移到數學中來,研究分析下列語句的特點:

① 如果兩個角互補,那么它們的和為 180° 。② 作∠AOB的平分線 oc 專③a 的相反數為 -a 嗎?④ 如果 ∠AOB=90° ,那么 AO⊥BO ○⑤ 直角都相等。⑥ 相等的角都是直角,其中 ①④⑤⑥ 是陳述句,并且可以判斷真假。

在探究中體驗,進入概念化世界

可以判斷真假的陳述句就叫作命題,一個命題要么為真,要么為假,二者必居其一。例如,如果兩個角互補,那么它們的和為 180° 。這句話中條件為“兩個角互補”,結論為“它們的和為 180° ”根據所學的知識,我們發現,當該條件成立時,結論一定成立,因此這個命題是真命題。又如,相等的角都是直角。這句話可改寫為:如果有幾個角相等,那么它們都是直角。其中,條件為“有幾個角相等”,結論為“它們都是直角”。很明顯,當條件成立時,結論不一定成立,因此這個命題是假命題。

命題由條件和結論兩部分構成,所有的命題均可以寫成“如果…,那么…”的形式。“如果”后面的就是條件,“那么”后面的就是結論。在數學領域,邏輯推理不僅是構建知識體系的命脈,更是推動數學發展的核心動力。那些經過系統論證并被嚴格證明為真的命題,被稱為定理。定理誕生的背后是嚴格的證明體系,每一個環節都需經過反復推敲與驗證,確保邏輯鏈條的絕對嚴密性。這種追求不僅彰顯著數學作為“科學皇后”的理性之美,更將人類思維推向了精確性與抽象性的巔峰。

在圖式中概括,進入形式化世界

如圖1,在等腰三角形ABC中,證明:等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合(三線合一)

圖1

證法:作 AD 平分 ∠BAC ,則 ∠BAD= ∠CAD 。根據題意,得 AB=AC,AD=AD 。在 ΔABD 和△ACD中, ∴ΔABD?ΔACD(SAS) ∴BD=CD ∠ADB=∠ADC=90° : AD 是 ΔABC 底邊上的高線、中線以及頂角平分線。

當我們以數學的眼光審視世界,便會發現日常思維中暗藏的邏輯漏洞;當我們用證明的標準衡量論斷,便能識破諸多似是而非的偽命題。這種思維訓練賦予我們的,不僅是解決數學問題的能力,更是穿透現象迷霧、直擊本質的核心素養。讓我們在數學探索的道路上,既做真理的發現者,更當理性的守護者,用邏輯之光照亮認知的星空,成為真正“講道理\"的智者。

(作者單位:江蘇省太倉市第一中學)

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