數(shù)學(xué)的三個(gè)世界

第12章 定義 命題 證明

領(lǐng)銜人：（正高級(jí)教師、江蘇省特級(jí)教師）組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省太倉(cāng)市名師工作室

數(shù)學(xué)概念、命題與推理共同構(gòu)筑起數(shù)學(xué)思維的邏輯大廈。概念需要定義，命題需要證明。通過(guò)定義和證明，我們學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題，養(yǎng)成“重證據(jù)、有條理\"的思維習(xí)慣。英國(guó)數(shù)學(xué)家戴維·韜爾提出“數(shù)學(xué)的三個(gè)世界\"理論，為理解數(shù)學(xué)認(rèn)知的深層機(jī)制提供了方向。通過(guò)這三個(gè)世界，我們不僅能探索命題的真?zhèn)芜吔纾茉谧C明與反駁的過(guò)程中，鍛造出兼具嚴(yán)密性與創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

在操作中感知，進(jìn)入具體化世界

在語(yǔ)文的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)過(guò)各種各樣的句式，以下幾句話分別屬于哪種句式？

① 今天天氣好嗎？② 祝福祖國(guó)繁榮富強(qiáng)！③ 我們都是中國(guó)人。④ 你怎么這么厲害！⑤ 李白是宋朝人。

⑥ 請(qǐng)勿踐踏草坪⑦ 小貓和小狗都是哺乳動(dòng)物

通過(guò)語(yǔ)文的學(xué)習(xí)，我們能判斷出： ① 是疑問(wèn)句， ②④ 是感嘆句， ③⑤⑦ 是陳述句， ⑥ 是祈使句。那么，在句子 ③⑤⑦ 中，哪些是真話，哪些是假話呢？根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)， ③⑦ 是真話， ⑤ 是假話。

我們將語(yǔ)文知識(shí)遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，研究分析下列語(yǔ)句的特點(diǎn)：

① 如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們的和為 180^° 。② 作∠AOB的平分線 oc 專③a 的相反數(shù)為 -a 嗎？④ 如果 ∠AOB=90^° ，那么 AO⊥BO ○⑤ 直角都相等。⑥ 相等的角都是直角，其中 ①④⑤⑥ 是陳述句，并且可以判斷真假。

在探究中體驗(yàn)，進(jìn)入概念化世界

可以判斷真假的陳述句就叫作命題，一個(gè)命題要么為真，要么為假，二者必居其一。例如，如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們的和為 180^° 。這句話中條件為“兩個(gè)角互補(bǔ)”，結(jié)論為“它們的和為 180^° ”根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該條件成立時(shí)，結(jié)論一定成立，因此這個(gè)命題是真命題。又如，相等的角都是直角。這句話可改寫為：如果有幾個(gè)角相等，那么它們都是直角。其中，條件為“有幾個(gè)角相等”，結(jié)論為“它們都是直角”。很明顯，當(dāng)條件成立時(shí)，結(jié)論不一定成立，因此這個(gè)命題是假命題。

命題由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成，所有的命題均可以寫成“如果…，那么…”的形式。“如果”后面的就是條件，“那么”后面的就是結(jié)論。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，邏輯推理不僅是構(gòu)建知識(shí)體系的命脈，更是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的核心動(dòng)力。那些經(jīng)過(guò)系統(tǒng)論證并被嚴(yán)格證明為真的命題，被稱為定理。定理誕生的背后是嚴(yán)格的證明體系，每一個(gè)環(huán)節(jié)都需經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲與驗(yàn)證，確保邏輯鏈條的絕對(duì)嚴(yán)密性。這種追求不僅彰顯著數(shù)學(xué)作為“科學(xué)皇后”的理性之美，更將人類思維推向了精確性與抽象性的巔峰。

在圖式中概括，進(jìn)入形式化世界

如圖1，在等腰三角形ABC中，證明：等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合（三線合一）

證法：作 AD 平分 ∠BAC ，則 ∠BAD= ∠CAD 。根據(jù)題意，得 AB=AC，AD=AD 。在 ΔABD 和△ACD中， ∴ΔABD?ΔACD（SAS） ∴BD=CD ∠ADB=∠ADC=90^° ： AD 是 ΔABC 底邊上的高線、中線以及頂角平分線。

當(dāng)我們以數(shù)學(xué)的眼光審視世界，便會(huì)發(fā)現(xiàn)日常思維中暗藏的邏輯漏洞；當(dāng)我們用證明的標(biāo)準(zhǔn)衡量論斷，便能識(shí)破諸多似是而非的偽命題。這種思維訓(xùn)練賦予我們的，不僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，更是穿透現(xiàn)象迷霧、直擊本質(zhì)的核心素養(yǎng)。讓我們?cè)跀?shù)學(xué)探索的道路上，既做真理的發(fā)現(xiàn)者，更當(dāng)理性的守護(hù)者，用邏輯之光照亮認(rèn)知的星空，成為真正“講道理\"的智者。

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）