數(shù)學(xué)研究者為了增加畫面感和趣味性,突出\"將軍飲馬\"這一數(shù)學(xué)模型源于社會(huì)生活,是千萬(wàn)將士軍旅生涯的縮影,是對(duì)軍人生活日常的生動(dòng)寫照、形象表達(dá)和謳歌.在我國(guó)常把唐朝邊塞詩(shī)人李頎《古從軍行》中的詩(shī)句“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河\"描述的軍旅生活情境作為此數(shù)學(xué)模型的背景資料;在國(guó)外,也有“將軍飲馬”的傳說(shuō):據(jù)說(shuō)生活在古希臘亞里山大里亞城精通數(shù)理的海倫是一位久負(fù)盛名的學(xué)者,一日,一位戰(zhàn)場(chǎng)凱旋的將軍,千里迢迢專程登門拜訪海倫,請(qǐng)教的數(shù)學(xué)問(wèn)題亦為“將軍飲馬問(wèn)題”.
1問(wèn)題的原型描述
如圖1,將軍牧馬在點(diǎn)M處,他需要到河邊飲馬后,返回點(diǎn) N 處的軍營(yíng),那么將軍經(jīng)過(guò)怎樣的路線才能使走過(guò)的路程最短?

2問(wèn)題的抽象表達(dá)
如圖2,在直線 ξl 上找一點(diǎn)P ,使 PM+PN 的值最小.

解析:如圖3,由于線段PM和PN不在同一條直線上,用數(shù)學(xué)基本事實(shí)(數(shù)學(xué)公理)“兩點(diǎn)之間線段最短”和“直線外一點(diǎn)和直線上所有各點(diǎn)的連線中,垂線段最短”,都無(wú)法直接確定使這條折線MPN值最小時(shí)點(diǎn) P 的位置.若聯(lián)想軸對(duì)稱的性質(zhì),可以通過(guò)作點(diǎn) N 關(guān)于直線 ξl 的對(duì)稱點(diǎn) N′ ,連接 MN′ 交直線 ξl 于點(diǎn) P′ .連接 P′N ,則 PN′ 等于 PN ;由作 PN 關(guān)于直線 l 的軸對(duì)稱圖形 PN′ 得到與 PN 相等且和 PM 在同一條直線上的線段 MN′ ,“化曲為直”,即可找到直線 ξl 上使PM+PN 的值最小的點(diǎn) P′ ,即找到點(diǎn) P :

或者,如圖4,由于線段 PM 和 PN 不在同一條直線上,用數(shù)學(xué)基本事實(shí)(數(shù)學(xué)公理)“兩點(diǎn)之間線段最短”和“直線外一點(diǎn)和直線上所有各點(diǎn)的連線中,垂線段最短”,都無(wú)法直接確定使這條折線MPN的值最小的點(diǎn) P 的位置.若聯(lián)想到軸對(duì)稱的性質(zhì),可以通過(guò)作點(diǎn) M 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) M′ ,連接M′N 交直線 ξl"于點(diǎn) P′",連接 P′M ,則 PM′"等于 PM :由作 PM 關(guān)于直線 ξl"的軸對(duì)稱圖形 P′M′",即可得到與PM 相等且和 PN 在同一直線上的線段 M′N ,“化曲為直”,即可找到直線 ξl"上使 PM+PN 的值最小的點(diǎn)P′",即找到點(diǎn) P.

3問(wèn)題的基本解法
作定點(diǎn) N (或 M? 關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn),連接定點(diǎn)和所作對(duì)稱點(diǎn),“化曲為直\"找已知直線上的動(dòng)點(diǎn) P 其遵循的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是:“兩點(diǎn)之間線段最短”和“直線外一點(diǎn)和直線上所有各點(diǎn)的連線中,垂線段最短”及“軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)”.
4基本模型舉例
模型一如圖5,定點(diǎn) M,N 在直線 l 的異側(cè),在直線 l 上找使PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P′

模型二如圖6,定點(diǎn) M,N 在直線 ξl 的同側(cè),在直線 l 上找使PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P′ :

模型三如圖7,定點(diǎn) M 在角的外部,動(dòng)點(diǎn) N 在角的一邊上,點(diǎn) P 在角的另一邊上,在點(diǎn) P 所在的邊上找使 PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P′ :


模型四如圖8,定點(diǎn) M 在角的內(nèi)部,動(dòng)點(diǎn) N 在角的一邊上,點(diǎn) P 在角的另一邊上,在點(diǎn) P 所在的邊上找使 PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P′ :
模型五如圖 9,ΔPMN 的頂點(diǎn) P 在角的內(nèi)部,動(dòng)點(diǎn) M,N 分別在角的兩條邊上,在角的兩邊上求使ΔPMN 周長(zhǎng)最小的點(diǎn) M 和點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) M′ 和 N′ :


模型六如圖10,四邊形PMNO的頂點(diǎn) P,O 在角的內(nèi)部,動(dòng)點(diǎn) M,N 分別在角的兩條邊上,在角的兩邊上求使四邊形 PMNO 周長(zhǎng)最小的點(diǎn) M 和點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) M′ 和 N′
5“將軍飲馬\"模型的應(yīng)用
5.1利用模型五,求最小周長(zhǎng)
例1如圖11,已知點(diǎn) I 是∠EFG 內(nèi)任意一點(diǎn), ∠EFG=30° FI=6 ,點(diǎn) A 和點(diǎn) B 分別是邊 FE 和邊 FG 上的動(dòng)點(diǎn),試求 ΔIAB 周長(zhǎng)的最小值.

解析:求 ΔIAB 周長(zhǎng)的最小值,即求 IA+IB+ AB 的最小值.
如圖12,依次作點(diǎn) I 關(guān)于邊 FE 和邊 FG 的對(duì)稱點(diǎn) I1 和 I2 ,連 接 AI1 和 BI2 ,則可得 IA+IB+ AB=I1A+I2B+AB.

連接 FI1 和 FI2 ,則 FI1= FI2=FI=6 ;由 ∠EFG=30° ,以及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得 ∠I1FI2=2∠EFG=60° ;由點(diǎn) A ,B 都是動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) A 和點(diǎn) A′ 重合,點(diǎn) B 和點(diǎn) B′ 重合,點(diǎn) I1,I2,A(A′) 和 B(B′) 共線時(shí),由“兩點(diǎn)之間線段最短”知,此時(shí) ΔIAB 周長(zhǎng)的值最小.
在 ΔI1FI2 中,由 ∠I1FI2=60° , FI1=FI2= FI=6 ,知△ I1FI2 是等邊三角形,于是可得 I1I2=6 所以 ΔIAB 周長(zhǎng)的最小值為6.
啟示:緊扣數(shù)學(xué)基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”,是求周長(zhǎng)最小值的理論依據(jù);適時(shí)作出對(duì)稱點(diǎn)和輔助線,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形是求解的橋梁;巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,正確地構(gòu)造等邊三角形,是求解的捷徑.
5.2活用模型一,求線段最小值
例2如圖13所示,在正方形ABCD 中,
分別是邊 AB,AD 上的動(dòng)點(diǎn), ME= ,EF⊥BC 于點(diǎn)F,EG⊥CD 于點(diǎn) G ,連接 FG ,則 FG 的最小值為( ).

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A B.3 D.2
解析:如圖14所示,連接 AC AE,CE
在 RtΔABC 中,由勾股定理可得


在 RtΔAMN 中,
中
所以 E 是MN的中點(diǎn), MN=3
所以
:由圖知, AE+CE?AC ,當(dāng) A,E,C 三點(diǎn)共線時(shí),
即點(diǎn) E 所在的直線與 AC 是同一條直線時(shí), CE 最短.由 AE+CE=AC ,知
因?yàn)?∠EFC=∠EGC=∠FCG=90° ,所以四邊
形EFCG是矩形.所以
=故選:D.
啟示:運(yùn)用“將軍飲馬\"模型求最小值時(shí)需靈活,注意結(jié)合特殊四邊形的判定與性質(zhì).例如,此題在判定四邊形EFCG是矩形時(shí),就用到了矩形的判定定理“三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形”;用到了性質(zhì)定理“矩形的對(duì)角線相等”;用到了正方形的性質(zhì)“正方形的四個(gè)角都是直角”.同時(shí)要注意與多種數(shù)學(xué)思想相結(jié)合,此題用到了轉(zhuǎn)化思想及等量代換思想.另外,求值時(shí)用到了勾股定理、作差法等,三角形三邊的不等關(guān)系“三角形任意一邊小于其他兩邊的和”等.
總之,“將軍飲馬\"模型是求動(dòng)點(diǎn)與線段或者動(dòng)點(diǎn)與線段和(例如求三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng))最小值的強(qiáng)有力的工具!