例談“將軍飲馬\"模型及其應(yīng)用

數(shù)學(xué)研究者為了增加畫面感和趣味性，突出\"將軍飲馬\"這一數(shù)學(xué)模型源于社會(huì)生活，是千萬(wàn)將士軍旅生涯的縮影，是對(duì)軍人生活日常的生動(dòng)寫照、形象表達(dá)和謳歌.在我國(guó)常把唐朝邊塞詩(shī)人李頎《古從軍行》中的詩(shī)句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河\"描述的軍旅生活情境作為此數(shù)學(xué)模型的背景資料；在國(guó)外，也有“將軍飲馬”的傳說(shuō)：據(jù)說(shuō)生活在古希臘亞里山大里亞城精通數(shù)理的海倫是一位久負(fù)盛名的學(xué)者，一日，一位戰(zhàn)場(chǎng)凱旋的將軍，千里迢迢專程登門拜訪海倫，請(qǐng)教的數(shù)學(xué)問(wèn)題亦為“將軍飲馬問(wèn)題”.

1問(wèn)題的原型描述

如圖1，將軍牧馬在點(diǎn)M處，他需要到河邊飲馬后，返回點(diǎn) N 處的軍營(yíng)，那么將軍經(jīng)過(guò)怎樣的路線才能使走過(guò)的路程最短？

2問(wèn)題的抽象表達(dá)

如圖2，在直線 ξ_l 上找一點(diǎn)P ，使 PM+PN 的值最小.

解析：如圖3，由于線段PM和PN不在同一條直線上，用數(shù)學(xué)基本事實(shí)（數(shù)學(xué)公理）“兩點(diǎn)之間線段最短”和“直線外一點(diǎn)和直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”，都無(wú)法直接確定使這條折線MPN值最小時(shí)點(diǎn) P 的位置.若聯(lián)想軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以通過(guò)作點(diǎn) N 關(guān)于直線 ξ_l 的對(duì)稱點(diǎn) N^′ ，連接 MN^′ 交直線 ξ_l 于點(diǎn) P^′ .連接 P^′N ，則 PN^′ 等于 PN ；由作 PN 關(guān)于直線 l 的軸對(duì)稱圖形 PN^′ 得到與 PN 相等且和 PM 在同一條直線上的線段 MN^′ ，“化曲為直”，即可找到直線 ξ_l 上使PM+PN 的值最小的點(diǎn) P^′ ，即找到點(diǎn) P ：

或者，如圖4，由于線段 PM 和 PN 不在同一條直線上，用數(shù)學(xué)基本事實(shí)（數(shù)學(xué)公理）“兩點(diǎn)之間線段最短”和“直線外一點(diǎn)和直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”，都無(wú)法直接確定使這條折線MPN的值最小的點(diǎn) P 的位置.若聯(lián)想到軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以通過(guò)作點(diǎn) M 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) M^′ ，連接M^′N 交直線 ξ_l"于點(diǎn) P^′"，連接 P^′M ，則 PM^′"等于 PM ：由作 PM 關(guān)于直線 ξ_l"的軸對(duì)稱圖形 P^′M^′"，即可得到與PM 相等且和 PN 在同一直線上的線段 M^′N ，“化曲為直”，即可找到直線 ξ_l"上使 PM+PN 的值最小的點(diǎn)P^′"，即找到點(diǎn) P.

3問(wèn)題的基本解法

作定點(diǎn) N （或 M^? 關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接定點(diǎn)和所作對(duì)稱點(diǎn)，“化曲為直\"找已知直線上的動(dòng)點(diǎn) P 其遵循的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是：“兩點(diǎn)之間線段最短”和“直線外一點(diǎn)和直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”及“軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)”.

4基本模型舉例

模型一如圖5，定點(diǎn) M，N 在直線 l 的異側(cè)，在直線 l 上找使PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P^′

模型二如圖6，定點(diǎn) M，N 在直線 ξ_l 的同側(cè)，在直線 l 上找使PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P^′ ：

模型三如圖7，定點(diǎn) M 在角的外部，動(dòng)點(diǎn) N 在角的一邊上，點(diǎn) P 在角的另一邊上，在點(diǎn) P 所在的邊上找使 PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P^′ ：

模型四如圖8，定點(diǎn) M 在角的內(nèi)部，動(dòng)點(diǎn) N 在角的一邊上，點(diǎn) P 在角的另一邊上，在點(diǎn) P 所在的邊上找使 PM+PN 的值最小的點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P^′ ：

模型五如圖 9，ΔPMN 的頂點(diǎn) P 在角的內(nèi)部，動(dòng)點(diǎn) M，N 分別在角的兩條邊上，在角的兩邊上求使ΔPMN 周長(zhǎng)最小的點(diǎn) M 和點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) M^′ 和 N^′ ：

模型六如圖10，四邊形PMNO的頂點(diǎn) P，O 在角的內(nèi)部，動(dòng)點(diǎn) M，N 分別在角的兩條邊上，在角的兩邊上求使四邊形 PMNO 周長(zhǎng)最小的點(diǎn) M 和點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) M^′ 和 N^′

5“將軍飲馬\"模型的應(yīng)用

5.1利用模型五，求最小周長(zhǎng)

例1如圖11，已知點(diǎn) I 是∠EFG 內(nèi)任意一點(diǎn)， ∠EFG=30^° FI=6 ，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 分別是邊 FE 和邊 FG 上的動(dòng)點(diǎn)，試求 ΔIAB 周長(zhǎng)的最小值.

解析：求 ΔIAB 周長(zhǎng)的最小值，即求 IA+IB+ AB 的最小值.

如圖12，依次作點(diǎn) I 關(guān)于邊 FE 和邊 FG 的對(duì)稱點(diǎn) I₁ 和 I₂ ，連 接 AI₁ 和 BI₂ ，則可得 IA+IB+ AB=I₁A+I₂B+AB.

連接 FI₁ 和 FI₂ ，則 FI₁= FI₂=FI=6 ；由 ∠EFG=30^° ，以及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得 ∠I₁FI₂=2∠EFG=60^° ；由點(diǎn) A ，B 都是動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) A 和點(diǎn) A^′ 重合，點(diǎn) B 和點(diǎn) B^′ 重合，點(diǎn) I₁，I₂，A（A^′） 和 B（B^′） 共線時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”知，此時(shí) ΔIAB 周長(zhǎng)的值最小.

在 ΔI₁FI₂ 中，由 ∠I₁FI₂=60^° ， FI₁=FI₂= FI=6 ，知△ I₁FI₂ 是等邊三角形，于是可得 I₁I₂=6 所以 ΔIAB 周長(zhǎng)的最小值為6.

啟示：緊扣數(shù)學(xué)基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”，是求周長(zhǎng)最小值的理論依據(jù)；適時(shí)作出對(duì)稱點(diǎn)和輔助線，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形是求解的橋梁；巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，正確地構(gòu)造等邊三角形，是求解的捷徑.

5.2活用模型一，求線段最小值

例2如圖13所示，在正方形ABCD 中， 分別是邊 AB，AD 上的動(dòng)點(diǎn)， ME= ，EF⊥BC 于點(diǎn)F，EG⊥CD 于點(diǎn) G ，連接 FG ，則 FG 的最小值為（ ）.

9

A B.3 D.2

解析：如圖14所示，連接 AC AE，CE

在 RtΔABC 中，由勾股定理可得

在 RtΔAMN 中， 中

所以 E 是MN的中點(diǎn)， MN=3

所以 ：由圖知， AE+CE?AC ，當(dāng) A，E，C 三點(diǎn)共線時(shí)，

即點(diǎn) E 所在的直線與 AC 是同一條直線時(shí)， CE 最短.由 AE+CE=AC ，知 因?yàn)?∠EFC=∠EGC=∠FCG=90^° ，所以四邊

形EFCG是矩形.所以 =故選：D.

啟示：運(yùn)用“將軍飲馬\"模型求最小值時(shí)需靈活，注意結(jié)合特殊四邊形的判定與性質(zhì).例如，此題在判定四邊形EFCG是矩形時(shí)，就用到了矩形的判定定理“三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形”；用到了性質(zhì)定理“矩形的對(duì)角線相等”；用到了正方形的性質(zhì)“正方形的四個(gè)角都是直角”.同時(shí)要注意與多種數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，此題用到了轉(zhuǎn)化思想及等量代換思想.另外，求值時(shí)用到了勾股定理、作差法等，三角形三邊的不等關(guān)系“三角形任意一邊小于其他兩邊的和”等.

總之，“將軍飲馬\"模型是求動(dòng)點(diǎn)與線段或者動(dòng)點(diǎn)與線段和（例如求三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)）最小值的強(qiáng)有力的工具！