例談“將軍飲馬\"模型及其應用

數學研究者為了增加畫面感和趣味性，突出\"將軍飲馬\"這一數學模型源于社會生活，是千萬將士軍旅生涯的縮影，是對軍人生活日常的生動寫照、形象表達和謳歌.在我國常把唐朝邊塞詩人李頎《古從軍行》中的詩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河\"描述的軍旅生活情境作為此數學模型的背景資料；在國外，也有“將軍飲馬”的傳說：據說生活在古希臘亞里山大里亞城精通數理的海倫是一位久負盛名的學者，一日，一位戰場凱旋的將軍，千里迢迢專程登門拜訪海倫，請教的數學問題亦為“將軍飲馬問題”.

1問題的原型描述

如圖1，將軍牧馬在點M處，他需要到河邊飲馬后，返回點 N 處的軍營，那么將軍經過怎樣的路線才能使走過的路程最短？

2問題的抽象表達

如圖2，在直線 ξ_l 上找一點P ，使 PM+PN 的值最小.

解析：如圖3，由于線段PM和PN不在同一條直線上，用數學基本事實（數學公理）“兩點之間線段最短”和“直線外一點和直線上所有各點的連線中，垂線段最短”，都無法直接確定使這條折線MPN值最小時點 P 的位置.若聯想軸對稱的性質，可以通過作點 N 關于直線 ξ_l 的對稱點 N^′ ，連接 MN^′ 交直線 ξ_l 于點 P^′ .連接 P^′N ，則 PN^′ 等于 PN ；由作 PN 關于直線 l 的軸對稱圖形 PN^′ 得到與 PN 相等且和 PM 在同一條直線上的線段 MN^′ ，“化曲為直”，即可找到直線 ξ_l 上使PM+PN 的值最小的點 P^′ ，即找到點 P ：

或者，如圖4，由于線段 PM 和 PN 不在同一條直線上，用數學基本事實（數學公理）“兩點之間線段最短”和“直線外一點和直線上所有各點的連線中，垂線段最短”，都無法直接確定使這條折線MPN的值最小的點 P 的位置.若聯想到軸對稱的性質，可以通過作點 M 關于直線 l 的對稱點 M^′ ，連接M^′N 交直線 ξ_l"于點 P^′"，連接 P^′M ，則 PM^′"等于 PM ：由作 PM 關于直線 ξ_l"的軸對稱圖形 P^′M^′"，即可得到與PM 相等且和 PN 在同一直線上的線段 M^′N ，“化曲為直”，即可找到直線 ξ_l"上使 PM+PN 的值最小的點P^′"，即找到點 P.

3問題的基本解法

作定點 N （或 M^? 關于已知直線的對稱點，連接定點和所作對稱點，“化曲為直\"找已知直線上的動點 P 其遵循的數學基本事實是：“兩點之間線段最短”和“直線外一點和直線上所有各點的連線中，垂線段最短”及“軸對稱圖形的性質”.

4基本模型舉例

模型一如圖5，定點 M，N 在直線 l 的異側，在直線 l 上找使PM+PN 的值最小的點 P 的對應點 P^′

模型二如圖6，定點 M，N 在直線 ξ_l 的同側，在直線 l 上找使PM+PN 的值最小的點 P 的對應點 P^′ ：

模型三如圖7，定點 M 在角的外部，動點 N 在角的一邊上，點 P 在角的另一邊上，在點 P 所在的邊上找使 PM+PN 的值最小的點 P 的對應點 P^′ ：

模型四如圖8，定點 M 在角的內部，動點 N 在角的一邊上，點 P 在角的另一邊上，在點 P 所在的邊上找使 PM+PN 的值最小的點 P 的對應點 P^′ ：

模型五如圖 9，ΔPMN 的頂點 P 在角的內部，動點 M，N 分別在角的兩條邊上，在角的兩邊上求使ΔPMN 周長最小的點 M 和點 N 的對應點 M^′ 和 N^′ ：

模型六如圖10，四邊形PMNO的頂點 P，O 在角的內部，動點 M，N 分別在角的兩條邊上，在角的兩邊上求使四邊形 PMNO 周長最小的點 M 和點 N 的對應點 M^′ 和 N^′

5“將軍飲馬\"模型的應用

5.1利用模型五，求最小周長

例1如圖11，已知點 I 是∠EFG 內任意一點， ∠EFG=30^° FI=6 ，點 A 和點 B 分別是邊 FE 和邊 FG 上的動點，試求 ΔIAB 周長的最小值.

解析：求 ΔIAB 周長的最小值，即求 IA+IB+ AB 的最小值.

如圖12，依次作點 I 關于邊 FE 和邊 FG 的對稱點 I₁ 和 I₂ ，連 接 AI₁ 和 BI₂ ，則可得 IA+IB+ AB=I₁A+I₂B+AB.

連接 FI₁ 和 FI₂ ，則 FI₁= FI₂=FI=6 ；由 ∠EFG=30^° ，以及軸對稱圖形的性質可得 ∠I₁FI₂=2∠EFG=60^° ；由點 A ，B 都是動點，當點 A 和點 A^′ 重合，點 B 和點 B^′ 重合，點 I₁，I₂，A（A^′） 和 B（B^′） 共線時，由“兩點之間線段最短”知，此時 ΔIAB 周長的值最小.

在 ΔI₁FI₂ 中，由 ∠I₁FI₂=60^° ， FI₁=FI₂= FI=6 ，知△ I₁FI₂ 是等邊三角形，于是可得 I₁I₂=6 所以 ΔIAB 周長的最小值為6.

啟示：緊扣數學基本事實“兩點之間線段最短”，是求周長最小值的理論依據；適時作出對稱點和輔助線，根據軸對稱的性質構造等腰三角形是求解的橋梁；巧妙運用轉化思想，正確地構造等邊三角形，是求解的捷徑.

5.2活用模型一，求線段最小值

例2如圖13所示，在正方形ABCD 中， 分別是邊 AB，AD 上的動點， ME= ，EF⊥BC 于點F，EG⊥CD 于點 G ，連接 FG ，則 FG 的最小值為（ ）.

9

A B.3 D.2

解析：如圖14所示，連接 AC AE，CE

在 RtΔABC 中，由勾股定理可得

在 RtΔAMN 中， 中

所以 E 是MN的中點， MN=3

所以 ：由圖知， AE+CE?AC ，當 A，E，C 三點共線時，

即點 E 所在的直線與 AC 是同一條直線時， CE 最短.由 AE+CE=AC ，知 因為 ∠EFC=∠EGC=∠FCG=90^° ，所以四邊

形EFCG是矩形.所以 =故選：D.

啟示：運用“將軍飲馬\"模型求最小值時需靈活，注意結合特殊四邊形的判定與性質.例如，此題在判定四邊形EFCG是矩形時，就用到了矩形的判定定理“三個角都是直角的四邊形是矩形”；用到了性質定理“矩形的對角線相等”；用到了正方形的性質“正方形的四個角都是直角”.同時要注意與多種數學思想相結合，此題用到了轉化思想及等量代換思想.另外，求值時用到了勾股定理、作差法等，三角形三邊的不等關系“三角形任意一邊小于其他兩邊的和”等.

總之，“將軍飲馬\"模型是求動點與線段或者動點與線段和（例如求三角形周長、四邊形周長）最小值的強有力的工具！