基于改進變步長最小均方算法的自適應濾波器設計

摘 要：針對目前定步長和變步長最小均方（Least Mean Square，LMS）算法在設計低通濾波器時面臨穩態精度和響應速度二者無法同時保障的問題，設計了一種基于改進變步長LMS算法的自適應濾波器。為獲得較高的穩態精度和響應速度，該算法設計過程中引入了改進雙曲正切函數用以實現對步長因子及誤差信號的連續調節。利用MATLAB/Simulink仿真軟件對改進變步長LMS算法下的自適應濾波器進行仿真驗證。結果表明，在該算法下設計的濾波器不僅能夠響應速度快，而且還能獲得較高的穩態精度。

關鍵詞：自適應濾波器；變步長LMS算法；雙曲正切函數

中圖分類號：TN713 文獻標識碼：A

Adaptive Filter Design Based on Modified Variable

Step Size Least Mean Square Algorithm

KONG Chuirui1， CHEN Fengxian1， YU Zhongming2， ZHANG Yu2 ，

SUN Yanlei1， ZHAO Chunyan1， XIA Wei1

（1.Malong Power Supply Bureau of Yunnan Power Grid Corporation， Qujing， Yunnan 655100， China;

2. Faculty of Electric Power Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming， Yunnan 650500，China）

Abstract：This paper presents an approach that tackles a significant challenge in low pass filter design achieving both high steady state accuracy and rapid response speed using actual fixed and variable step size Least Mean Square （LMS） algorithms. The approach proposes the design an adaptive filter based on an enhanced variable step size LMS algorithm is then detailed. The integration of an improved hyperbolic tangent function within the algorithm's design allows for the continuous adjustment of both the step size factor and the error signal， consequently enhancing steady state accuracy and response speed. The effectiveness of the proposed adaptive filter is simulated and validated using MATLAB/Simulink simulation software. Results indicate the filter’s efficiency， demonstrating not only a rapid response speed but also a high degree of steady state accuracy.

Key words：adaptive filter; variable step size LMS algorithm; hyperbolic tangent function

隨著電能應用范圍的日益擴張，電力系統出現的諧波問題也變得日益突出。諧波是電力系統中一種非常普遍的現象，其主要來源是電力電子器件和非線性電性質的設備的大量使用[1-2]。由于電力系統中的諧波信號具有高度的頻諧特性，這會影響電力系統中電能的傳輸和質量，甚至在嚴重情況下會引發電力事故。因此，研究電力系統的諧波治理問題顯得尤為重要。

諧波治理的前提是能夠快速、精確地檢測出諧波。基于瞬時無功功率理論的ip iq諧波檢測法可以很好地檢測出三相電路中的諧波電流。該方法通過對電壓和電流進行矩量理論計算，得到電流中的諧波分量[3-5]。由于該算法具有檢測方法簡單、實時性強、精確度高等優點，并且不需要頻域轉換，因此被廣泛應用于諧波檢測。當諧波檢測完成后，為實現對系統諧波的治理，就需要設計相應的濾波器。而濾波器設計的研究焦點主要是響應速度和穩態精度兩個方面。對此，國內外學者進行了大量研究[6-15]。起初，實際應用中通常采用由電抗器和電容器組成的“無源型”濾波器來減小諧波。然而，這種濾波器通常只適用于靜態補償，當電源阻抗隨系統結構和運行條件的變化而發生改變時，會嚴重影響其濾波性能[6]。同時，無源濾波器與電源阻抗之間容易發生串聯或并聯諧振。為克服上述問題，日本泰野幸彥等首次研制出“有源型”諧波補償器，其補償率可達80%以上[7]。然而，在實際的配電系統中，有源濾波器經常出現由瞬態變化引起的不平衡負荷導致的不平衡電流，在進行諧波檢測時也面臨較大困難。后來，重慶大學羅世國等提出了一種自適應檢測方法，該方法基本克服了傳統檢測方法的缺陷[8]，然而卻面臨動態響應速度較慢的缺陷。文獻[9］～［11]為解決基于瞬時無功功率傳統檢測法中低通濾波器（Low pass filter，LPF）存在穩態精度低和響應速度慢的問題，引入了自適應分析理論，并構造了自適應濾波器來替代LPF。雖然該方法可在一定程度上提高濾波的檢測精度和響應速度。然而，由于這些文獻[8-11]在設計濾波器時均采用定步長最小均方（Least Mean Square， LMS）算法，步長因子固定為常數，調節靈活性較差，算法計算時需要更多的步數，導致系統響應速度慢；功率在目標值附近波動較大，與期望值差距較大，因此，造成穩態精度無法達到要求。對此，有文獻提出了變步長LMS算法。針對響應速度不夠快的問題，文獻[12]提出一種基于反余切函數的變步長LMS算法，該算法根據當前誤差的特征自適應地更新步長以優化算法的響應速度。文獻[13]提出一種基于對數函數改進的新型LMS算法，該算法避免了指數運算，從而大幅降低了計算量，提高了響應速度。針對穩態精度不理想的問題，文獻[14]利用洛倫茲（Lorentz）函數進行步長調節，該算法減小了功率在目標值附近的波動。文獻[15]提出一種基于正態分布曲線的變步長LMS自適應濾波算法，并對參數取值對算法性能的影響進行了分析，使算法的穩態精度得到了一定改善。然而，這些算法[12-15]都存在步長因子調節不夠合理、功率波動較大的缺點。此外，這些變步長LMS算法還面臨著響應速度和穩態精度無法同時保障的問題。

綜上，針對上述問題，本文采用改進雙曲正切函數對變步長LMS算法對變步長因子進行改進，使其能有效克服傳統LMS算法存在的缺點。通過濾波器輸出誤差的大小變化動態調節步長因子，從而同時提高濾波穩態精度和響應速度。

1 基于LMS算法的自適應濾波器設計

基于LMS算法的自適應濾波器按照步長來劃分可分為定步長LMS算法下的自適應濾波器和變步長LMS算法下的自適應濾波器。接下來將分別對這兩種自適應濾波器進行介紹，并在其基礎上對自適應濾波器作進一步改進。

1.1 定步長LMS算法下的自適應濾波器

自適應濾波器通常是一種能夠自我調節的數字濾波器，具有良好的濾波性能和實時性。相比傳統低通濾波器，自適應濾波器能夠更加精確地反映電力系統中的諧波情況，特別是高頻諧波。在自適應濾波器的研究中，最核心的部分是自適應算法的選擇。目前，最常用的自適應算法是LMS自適應算法[16]。該算法不需要先驗知識，僅需要通過參考信號和實際信號之間的差值計算產生誤差，并通過不斷迭代來更新濾波器的權值，從而實現自適應濾波的目的。對于自適應濾波器結構的選擇，通常采用橫向FIR（Finite Impulse Response）結構進行研究，該結構具有較好的濾波性能和實時性。在該結構中，每個權值都被看作一個濾波器的系數，而系數的選擇對濾波器的性能有著重要影響。因此，在設計自適應濾波器時，需要選擇合適的系數以達到最佳的濾波效果。

基于LMS算法的自適應濾波器原理如圖1所示。通過該圖可以看到，自適應濾波器的輸入為原始信號，濾波器的輸出為消除諧波分量后的信號。為實現自適應濾波，需要建立濾波器的模型和誤差函數，并通過不斷迭代更新濾波器的系數。經過多次迭代，濾波器的系數將逐漸趨于穩定，從而實現對諧波信號的消除。

上圖中，X（t）表示一組輸入信號矢量：

X（t）=x1（t），x2（t），…，xn－1（t），xn（t）T（1）

W（t）表示對應的權值系數向量且有：

W（t）=w1（t），w2（t），…，wn－1（t），wn（t）T（2）

y（t）表示輸出信號的值，由式（3）可以得出：

y（t）=∑ni=1wi（t）xi（t）=WT（t）X（t）（3）

d（t）表示系統期望信號值；e（t）表示誤差信號，其值的大小為期望信號和輸出信號的差值，E（·）表示均方差值。其表達式為：

e（t）=d（t）－y（t）=d（t）－WT（t）X（t）（4）

于是，可進一步求得其均方差值為：

J=E［e2（t）］=E［d2（t）］－

2E［d（n）WT（n）X（n）］+

E［WT（n）X（n）XT（n）W（n）］（5）

利用最速下降算法，求得權值迭代表達式為：

W（t+1）=W（t）－μ

式中，μ表示步長因子，其值為一個正實數。SymbolQC@（J）表示LMS算法下的瞬時梯度值。

在最速下降算法[17]中，要得到系統的最佳維納解，首先需要得到期望信號與輸入信號的值。當期望信號未知時，需要估計梯度向量的值。LMS自適應算法作為最速下降法中的一種，通常使用一次采樣獲得的誤差平方替代最速下降法中使用的均方差值，即，使用e2（t）代替E（e2（t））對瞬時梯度值進行計算。

由式（6）和式（7）可得新的權值迭代公式為：

W（t+1）=W（t）+2μe（t）X（t）（8）

結合式（3）至式（8），可得LMS自適應算法的迭代關系如下：

y（t）=WT（t）X（t）

e（t）=d（t）－y（t）

W（t+1）=W（t）+2μe（t）X（t）（9）

在ip－iq諧波檢測算法中，使用基于LMS算法下的自適應濾波器代替傳統的低通濾波器進行濾波。

下面以P軸電流ip為例進行分析，其濾波器原理如圖2所示。

由于LMS自適應濾波器的目的是提取出有功電流ip中的直流分量，因此，可設定輸入信號矢量的值為一個常數，即，可設為X（t）=［1 ，1，…，1］T。有功電流ip的值則對應著系統期望信號的值d（t），ip的值對應著輸出信號的值y（t），誤差信號e（t）的值則為ip與ip的差值。運用ip－iq諧波檢測法，可得LMS算法下的迭代關系式如下：

ip=WT（t）X（t）

e（t）=ip－ip

W（t+1）=W（t）+2μe（t）（10）

1.2 變步長LMS算法下的自適應濾波器

由于定步長LMS自適應濾波器濾波精度和響應速度受步長因子μ的影響較大，當μ的取值較大時濾波器的響應速度會得到提高，但穩態誤差也會增大。同時，當μ的取值較小時，濾波器的穩態精度會得到提高但其響應速度會變慢。故理想的步長因子μ的取值應該是在離最佳值較遠的時候取值較大，而離最佳值較近的時候取值較小[14]。基于此，文獻[15]提出了一種洛倫茲函數進行步長的調節，該函數的表達式為：

μ（t）=αlg 1+12·e（t）e（t+1）δ2（11）

式中，參數α用來控制步長因子μ的收斂速度，δ用來控制函數的形狀。根據式（11）中各種參數對函數的影響不同，設定式（11）中的參數α=0.19，參數δ=0.01，得到洛倫茲函數的圖像如圖3所示。

由圖3可以看出，該函數在其誤差較大的時候能獲得較大的步長因子，但是在誤差接近0的時候其步長因子變化率較快，從而導致算法的穩定性較差且容易發生振蕩。此外，這種函數結構太過復雜，實現起來也較為不易。因此，本文設計一種雙曲正切函數來將步長因子和誤差函數結合在一起。該函數表達式為：

μ（t）=β1－exp （－αe（t）δ）1+exp （－αe（t）δ）（12）

式中，參數β用于控制該函數的取值范圍，參數α與δ用來控制該函數的形狀變化。

根據式（12）中各個參數對函數的影響不同，設定雙曲正切函數中α=1，β=2，δ=2。同時，與不同步長因子調節函數進行比較，如圖4所示。

由圖4可以看出，在誤差較大時，即離最佳值較遠的階段，這三種函數下的步長因子都可以達到最大值。隨著誤差的減小，即離最佳值較近的區域，洛倫茲函數及改進前的雙曲正切函數對應的步長因子變化率較快，而改進后的雙曲正切函數的步長因子變化率較為緩慢，且在距離最佳值較近的區域，改進后的雙曲正切函數所對應的步長因子的值也相對較小。這表明，改進雙曲正切函數的平滑性及連續性更好。

基于上述理論分析，相比于洛倫茲函數及改進前的雙曲正切函數，使用改進雙曲正切函數將步長因子和誤差信號結合在一起的性能要更優。故本文采用改進雙曲正切函數變步長LMS自適應濾波器進行濾波。同時，為保證算法的穩定性，對步長因子μ的取值范圍進行如下約束：

μ=μmin ， μ（t）lt;μmin

μ（t）， μmin lt;μ（t）lt;μmax

μmax ， μ（t）≥μmax （13）

一般情況下，μmax 選擇為不大于1的正數，而μmin 的選擇只需要滿足收斂速度和保證其算法的穩定性要求即可。在式（13）中，步長因子μ的取值上限為β。

2 仿真分析

使用MATLAB/Simulink仿真軟件分別對傳統自適應濾波器、基于洛倫茲函數的變步長LMS自適應濾波器、基于雙曲正切函數的變步長LMS自適應濾波器以及本文提出的改進變步長LMS自適應濾波器分別進行仿真驗證，并將仿真結果進行對比分析。

設定電網中的三相電壓為220 V/50 Hz，負載側接三相不控整流橋帶阻感性負載，其中，負載電阻R=10 Ω，電感L=0.001 H。此外，取μmax =0.1，μmin =0.001。以負載側所產生的諧波電流為檢測對象，三相電流波形如圖5所示。

在ip iq諧波檢測法中，當采用低通濾波器進行濾波時，低通濾波器的截止頻率會對諧波檢測的精度和響應速度造成影響，當選用較小的截止頻率時，能保證較高的穩態精度但是其響應速度會降低。選用較大的截止頻率時，響應速度會增快但是其穩態精度會降低。因此，需要通過選用不同截止頻率的濾波器進行對比研究，從而得到最佳截止頻率。圖6為不同截止頻率所對應的ip的直流分量。

從圖6中可以看出，當截止頻率為20 Hz時，其紋波較小，即穩態失調最低，但響應速度最慢。截止頻率為40 Hz時，響應速度較快，但是其紋波較多，即穩態失調較為嚴重。當截止頻率為30 Hz時，能同時保證響應速度和穩態精度都較高。

確定低通濾波器的最優參數后，并將其應用于ip iq諧波檢測法中。同時，對基于傳統自適應濾波器、Lorentzian函數的變步長自適應濾波器、雙曲正切函數變步長自適應濾波器以及本文所提的改進雙曲正切函數變步長自適應濾波器的濾波性能進行比較。波形如圖7 （a）～（d）所示。圖（a）～（d）分別為在這四種不同濾波器下的ip iq諧波檢測法所檢測出的A相基波電流。

由圖7（a）可以看出，采用傳統低通自適應濾波器進行濾波時，大概需要0.055 s才能使檢測到的A相基波電流達到穩態。基于洛倫茲函數及雙曲正切函數的變步長自適應濾波器和本文提出的改進的雙曲正切函數的自適應濾波器則大概需要0.015 s達到穩態。因此，后三種自適應濾波器的響應速度較快。

此外，從圖7（b）、（c）可以看出，基于洛倫茲函數和雙曲正切函數的變步長自適應濾波器檢測出的A相基波電流并不是理想的正弦波，帶有一定程度的畸變。而通過圖7（d）不難看出，使用改進雙曲正切函數的自適應濾波器則可得到較為光滑的理想基波電流曲線。接著，分別對這四種不同濾波器下檢測出的A相基波電流的諧波含量進行對比，如表1所示。

表1中，濾波器A為定步長自適應低通濾波器，濾波器B為基于洛倫茲函數的變步長自適應濾波器，濾波器C為基于雙曲正弦函數的變步長自適應濾波器，濾波器D為本文采用的改進雙曲正切函數的變步長自適應濾波器。從表1可以看出，在ip iq諧波檢測法中使用改進的雙曲正切函數變步長自適應濾波器進行濾波時，其基波電流的諧波含量最低。這表明本文所設計的自適應濾波器的濾波效果優于其他三種濾波器。由此可知，本文所設計自適應濾波器使得基波電流曲線更加光滑，更加趨近標準正弦波，同時諧波含量更少。因此，其穩態精度比其他三種濾波器要更好。

綜上表明，改進雙曲正切函數變步長自適應濾波器在響應速度和穩態精度上都優于其他三種濾波器，因此，能夠很好地保證諧波電流的穩態精度和響應速度。

3 結 論

為解決低通濾波器無法同時獲得較高穩態精度和較快響應速度的問題，本文對基于瞬時無功功率理論的ip iq諧波檢測算法中的低通濾波器進行了改進。設計了一種改進雙曲正切函數的變步長自適應濾波器。構造出效果更好的約束函數和步長因子關系模型，通過不斷迭代調整濾波器的權值，從而實現了自適應濾波。最后與傳統自適應低通濾波器、洛倫茲函數的變步長自適應低通濾波器和基于雙曲正切函數的變步長自適應低通濾波器進行比較，驗證所設計自適應濾波器具有更高的穩態精度和響應速度，可以保證諧波檢測的實時性和精確性，在響應速度大致相同的條件下，其穩態精度更高。

此外，本文提出的改進雙曲正切函數變步長自適應濾波器濾波在ip iq諧波檢測算法中具有良好的實用性和應用價值，可以為電力系統中的諧波檢測提供一種新的解決方案。

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