Scherk單周期極小曲面力學特性研究

中圖分類號：TG146.2 DOI：10.16579/j.issn. 1001.9669.2025.08.006

0 引言

隨著超材料領域的發展，超材料越來越多地被廣泛應用到各種吸能結構設計中。極小曲面結構是數學方法生成的拓撲曲面，可以在三維方向重復排列組合得到空間周期結構。極小曲面結構因為具有輕質、表面積大、高強度的特性[1，廣泛應用于航天、船舶、汽車等多個領域[2]。由于其結構具有導數為零的連續非自交曲面，極小曲面具有在三維空間中局部表面積最小[3，并且通常將有限邊界曲面生成為交織纏繞的連續孔洞曲面。這些連續的孔洞不僅沒有占據太多空間體積，反而增加了結構折疊的空隙。極小曲面系統結構在吸能效率方面已優于常規周期結構4，并在設計界越來越受到關注，包括在高剛度結構5、沖擊能量吸收器[、生物膜[7]和醫用骨植入物[8]中的應用。

圍繞三周期極小曲面（TriplyPeriodicMinimalSurface，TPMS），針對Primitive、FRD（Schoen’sFour-edges）、IWP（I-WrappedPackage）和Gyroid4種結構力學性能的研究最為廣泛。研究發現，FRD結構具有優異的抗沖擊性能[9]。其中的圓柱形Gyroid結構比吸能和平均破碎荷載與相對密度具有冪函數的關系[10]。極小曲面夾層結構受不同孔型、尺寸、孔隙率、空隙分布的影響明顯，通過研究分析了上述4種因素對結構形態的影響規律[]，通過推算最終確定出所需要的最優結構參數。梯度多孔支架[1可以以特定的方式實現分級孔徑變化，設計新的極小曲面結構。IWP型極小曲面在拉伸下表現出優異的吸能能力[13]。應用方面，極小曲面夾層結構能夠有效提升吸能盒碰撞時的比吸能，同時延緩初始峰值力的增長[14]。將梯度化的極小曲面結構與負泊松比結構相結合可以更有效地提高能量吸收特性和車輛耐撞性[15]。模擬自然人造骨骼結構，基于TPMS設計一種點陣結構，為超輕材料設計提供了新的途徑[1]。無人機機臂的輕量化設計中采用最佳結構密度分布實現了結構優化[17]。仿生股骨移植物內部填充極小曲面的多孔螺旋狀結構[18]，能夠很好地近似替代小鼠的承重部位。多孔仿生骨骼移植物的壓縮模量遠低于天然骨，可有效減小應力屏蔽效應[19]。其在模擬人類皮質骨結構[20]方面也具有明顯優勢。

極小曲面結構研究為工程結構設計帶來了新的思路與方向。近年來，有學者不斷利用極小曲面結構優異的力學性能，將其運用于眾多工程結構物設計中，取得了一定的成果。由于極小曲面結構是存在于自然界中的高度拓撲化的結構，其幾何連續性能夠有效地改善結構應力集中等問題，前期大量的研究主要圍繞三周期極小曲面展開，而對于單周期結構的研究稀少。從數學拓撲結構中可以發現，相比于三周期極小曲面，單周期極小曲面空間構型更加簡潔，在結構輕量化方面更具優勢，同時兼具極小曲面光滑連續的幾何特性。因此，本文探究了一種新型單周期極小曲面的力學行為和吸能特性，為結構大變形和能量吸收裝置的應用研究提供新的方案。

1模型與材料

1. 1 Scherk曲面生成

在眾多的極小曲面種類中，單周期極小曲面（Single-PeriodicMinimalSurface，SPMS）具有空間交互連通、拓撲虧格交錯排列等幾何性質。單周期極小曲面具有與三周期極小曲面相同的空間幾何特性，而且相比于三周期極小曲面，還具有幾何拓撲簡單、表面積和體積更小的優點。目前對于單周期極小曲面的研究較少，關于其在工程結構中的應用研究更稀少。基于以上背景，本文選取一種Scherk單周期極小曲面，其隱函數數學表達式見式（1）。利用數學分析軟件Mathematica對Scherk曲面進行三維數學曲面建模，如圖1所示，其中 x₀=πmm，y₀=πmm，z₀=2πmm □

sinhx×sinhy-sinz=0

式中， （x，y，z） 為曲面上任意一點的空間坐標。其中 -π?x?π -π?y?π -2π≤z≤2π ，單位均為 mm 。

圖1Scherk極小曲面胞元Fig.1Scherk minimal surface cell

根據式（1），借助數學分析軟件Mathematica生成Scherk單周期極小曲面，以立體光刻（STereoLithography，STL）格式輸出模型。由于STL格式是三角面片結構，曲面光滑程度取決于畫法的最小單元尺寸，加之軟件接口兼容性問題，Mathematica軟件生成的模型無法滿足有限元計算。因此，使用MateraliseMagics軟件進行模型修復和網格細化。接著，對模型進行加厚實體化處理，實現極小曲面STL三角單元網格模型的可計算性。其建模流程如圖2所示。然后，將建立的幾何模型導人HyperWorks軟件進行體素重構和網格劃分。最后，將模型導入Ansys軟件中進行計算。

圖2極小曲面實體模型重構

Fig.2 Reconstructionof the solidmodel fortheminimal surface

根據極小曲面的數學定義，其空間曲面的平均曲率 H 為0。平均曲率 H 的表達式為

H=1/2（k₁+k₂）

式中， k₁，k₂ 分別為極小曲面結構的第一主曲率與第二主曲率。

利用LS-PrePost軟件對所建立的極小曲面三維數字模型進行曲率分析。圖3所示為LS-PrePost軟件對所建立的極小曲面結構三維數字模型主曲率進行計算的結果。結構各處的主曲率最大值為0.0159，最小值為-0.007，其最大誤差為 1.59% ，滿足曲面設計的標準。由此可見，本文采用極小曲面體素重構方案所生成的極小曲面模型不但能夠解決STL格式模型不可計算的問題，而且模型精度較高，滿足相關設計的行業規范。

1. 2 有限元模型

本文設置正向受壓和側向受壓兩種工況，探究單周期Scherk曲面結構的力學特性。在正向準靜態壓縮仿真時，在結構的上、下表面各放置一塊外形尺寸為 70mm×70mm×3mm 的剛性板，它既能模擬準靜態壓縮試驗時的邊界條件，又便于載荷的施加。參考準靜態壓縮試驗標準，采用位移控制法施加載荷，對上頂板施加豎直向下 10mm 的位移，下底板采用完全固定約束。正向壓縮時的加載如圖4（a）所示。側向準靜態壓縮試驗時，同樣在每個結構的左、右端面各放置一塊外形尺寸為 70mm×130mm×3mm 的剛性板，對左側剛性板施加水平向右 10mm 的位移，對右側剛性板采用完全固定約束，如圖4（b）所示。

圖42種加載方式示意圖

Fig.4Schematicdiagramoftwoloadingmodes

在準靜態壓縮試驗中，使用HyperMesh軟件對上述模型進行有限元網格劃分。其中，網格類型采用殼單元，使用平面四邊形和三角形2種網格類型；兩端剛性板采用六面體網格進行劃分，最小網格單元尺寸為1mm 。以結構正向受壓為例，網格劃分的總單元數為7730，節點總數為9191。經HyperMesh軟件檢查，網格劃分精度均滿足要求。

Scherk曲面屬于薄殼結構，且材料為結構鋼，在壓潰階段可能出現穿透現象；同時為了防止有限元計算過程中，因接觸類型選取或設置不當導致計算結果失真或錯誤。所以，本文設置了極小曲面結構在兩種加載方式下的接觸關系，以提高準靜態壓縮仿真結果的精度。根據結構的幾何形狀以及準靜態壓縮試驗仿真結構破壞的可能性，在LS-DYNA軟件中定義的各幾何體之間的接觸關系（以正向壓縮為例）如表1所示。

表1接觸關系Tab.1 Contactrelation

1.3 模型制備

選擇性激光熔化（SelectiveLaserMelting，SLM）技術是指使用高功率激光將每一層金屬粉末完全熔化，金屬內部顆粒融合在一起，形成致密堅固的打印物體。目前，這項工藝只能用于某些金屬，例如，不銹鋼、工具鋼、鈦、鉆鉻合金和鋁。SLM制造過程中出現的高溫梯度會導致產品內部出現應力和錯位，從而損害物理性能，模型加工完成后的熱處理工藝對消除內部出現的應力和錯位至關重要。SPMS模型加工使用SLM技術，材料為316L不銹鋼，材料屈服強度 R_p0.2= 250MPa ，其他力學參數如表2所示。加工的成品試樣高 125mm ，相鄰兩邊寬 88mm ，壁厚 2mm ，如圖5所示。采用熱等靜壓（HotIsostaticPressing，HIP）熱處理方法對試樣進行后處理，以消除結構加工過程中的殘余應力和材料內部缺陷。本構關系選用雙線性隨動強化模型。

表2結構鋼材料參數Tab.2Parametersofthestructural steel

2 分析與討論

2.1 參數與方程

研究發現，極小曲面數學表達式參數的變化使得極小曲面結構出現高度幾何非線性的變化[21]。本文將Scherk單周期極小曲面表達式改寫為式（3）所示的形式，隱函數方程右邊增加參數 C ，以探究參數 C 的變化對Scherk曲面幾何構型的影響。

C=sinhx×sinhy-sinz

其中，參數 C 的有效范圍為 [-1，1]

如圖6所示，發現隨著單周期極小曲面數學表達式中參數 C 的增大，極小曲面結構的幾何構型的確存在著非線性變化的行為。具體表現為隨著參數 C 的增大，單周期極小曲面的虧格孔徑逐漸增大。當 C=1 時，虧格消失，曲面相連為一體。經測算，5個結構的質量相近。為探究Scherk曲面數學表達式中 C 參數對極小曲面結構靜力學性能的影響，本文從參數 C 的有效區間中選取了其等于 -0.8，-0.4，0.0.4 和0.8時所對應的極小曲面作為計算對象，分別命名為SPMS-C1、SPMS-C2、SPMS-C3、SPMS-C4、SPMS-C5。

圖6參數 C 對極小曲面幾何結構的影響Fig.6Effect of parameter c on the minimal surface geometrystructure

2.2 位移與應力

2.2.1 側向壓縮

圖7為 C 取不同參數值時極小曲面側向靜力學壓縮試驗的等效塑性應變云圖。SPMS-C1、SPMS-C2、SPMS-C3、SPMS-C4和SPMS-C5五個結構在受側向壓縮的過程中，主要呈現出V形折疊變形、X形折疊變形以及均勻變形3種不同的變形模式。SPMS-C1結構主要以X形的自折疊機制進行變形，這是因為參數 C= -0.8 時生成的極小曲面結構在中部的虧格橫截面積較大，結構在受壓時先在該虧格處發生變形；虧格是孔洞結構，導致整個結構在虧格周圍出現明顯的向內凹陷變形；并且2個虧格中間的支撐曲面由于受到兩側虧格的向內擠壓，兩側虧格在中間支撐部位形成折疊，最終使整個結構向內部擠壓收縮。但是，在虧格兩端，材料向外流動導致結構兩端向外突出，形成了中間擠壓、兩端膨脹的X形折疊變形模式。對于SPMS-C2結構和SPMS-C5結構，參數 C 的變化導致虧格孔洞直徑增大，表面積增加；在壓縮過程中，2個虧格中間的支撐部位和虧格兩端不足以承載結構所承受的外載荷，如圖7（c所示。因此，SPMS-C2結構和SPMS-C5結構在受壓時，呈現出縱向虧格與上部空腔結構整體沿受壓方向向下擠壓。同時，由于外載荷作用，虧格孔也發生變形，使兩端材料向外突出，形成結構整體沿z軸方向對稱V形折疊變形。由圖7（b）可以觀察到，SPMS-C3結構和SPMS-C4結構主要呈現出整體均勻變形，其變形部位主要發生在虧格周圍。相比于另外3種結構，SPMS-C3結構和SPMS-C4結構虧格孔洞直徑較小，結構材料整體分布均勻；在外載荷作用下，結構各個部分發生塑性變形均勻一致，使得整個結構整體上沒有出現明顯的折疊外凸等大變形。

圖8是SPMS結構在側向受壓時的VonMises應力云圖。由圖8可以看出，SPMS-C2、SPMS-C3、SPMS-C4以及SPMS-C54個結構在側向壓縮的過程中均有應力集中的現象產生，且其應力集中的分布區域與等效塑性應變的產生區域一致。對于SPMS-C3結構和SPMS-C4結構的應力集中區域和等效塑性應變較大的區域成對稱分布。特別是其虧格結構處等效應力分布還呈現出X形分布現象。在壓縮過程中，SPMS-C3結構和SPMS-C4結構的最大等效應力分別為340.3、312.4MPa，達到材料屈服強度，材料進入塑性變形階段。這說明在側向壓縮的過程中，SPMS-C3結構和SPMS-C4結構整體應力分布均勻，使得受壓過程中產生的應力有效向外傳遞，這將有利于結構整體承載力的提升。對于SPMS-C2結構和SPMS-C5結構，其等效應力分布區域呈現出不均勻性。這是因為在側向壓縮的過程中，SPMS-C2結構和SPMS-C5結構下部呈現出V形折疊的變形模式，導致兩種結構在變形的過程中不能均勻受力。SPMS-C2結構的高應力區主要集中在V形折疊的折痕處。對于SPMS-C1結構，在側向壓縮的過程中，最大應力主要集中在虧格的中間橫截面處，vonMises應力只有SPMS-C3結構和SPMS-C4結構的 34% 。這是因為參數 C=-0.8 時，所生成的極小曲面結構虧格橫截面較小，該截面強度較低，抵抗變形能力較弱。該結構最先在該截面處發生破壞，進而導致整個結構的失效。因此，該結構的承載能力最低。

圖8vonMises應力（單位：MPa） Fig.8 vonMisesstress（unit：MPa）

2.2.2 正向壓縮

圖9為不同 C 參數下極小曲面正向靜力學壓縮試驗的等效塑性應變云圖。由圖9可以看出，SPMS-C1、SPMS-C2、SPMS-C3、SPMS-C4和SPMS-C5五個結構均呈現出縱向逐層折疊的變形模式。以SPMS-C2結構為例，可以觀察到，結構在受到正向壓縮時，極小曲面的虧格結構處產生了較大的塑性應變，說明結構在受到正向壓縮時，虧格附近孔洞的存在使得結構缺失支撐，外載荷作用下Scherk曲面在虧格處向外膨脹，表現出負泊松比現象。兩個虧格相鄰部位材料的限制結構向內收縮。虧格處負泊松比效應導致胞元整體產生了縱向逐層折疊的變形模式。同時，隨著參數 C 的增大，從SPMS-C4到SPMS-C5，虧格結構的孔徑逐漸減小，負泊松比效應減弱，且兩種結構的應變與前三種結構相比減少了 45% 。由于負泊松比效應的存在，Scherk曲面在受到正向壓縮時，結構受力均勻，沿虧格處的變形規律一致。壓縮過程中，極小曲面結構在虧格邊緣容易發生變形，而在虧格內部結構處，由于形成了一個閉合的圓孔形幾何結構，在受到外部荷載作用時，交互連通的虧格結構成為主要的受力結構，在虧格處受拉、虧格間受壓，導致結構逐層折疊變形。由圖9可以觀察到，隨著參數 C 的增大，最大應力逐漸由虧格間相連中心區域向結構四周擴散，使得極小曲面結構更多的區域能夠發生塑性變形，進而實現結構的大變形。

2.3 準靜態檢驗

根據仿真結果對模型的整體能量關系進行分析，檢驗其是否為準靜態過程。由能量平衡關系：

式中， E_T 為壓縮試驗系統總動能，在仿真過程中為定值； E_I 為系統內能，包括塑性應變能與彈性應變能； E_v 為黏性力學機制所耗散的能量； E_FD 為摩擦所耗散的能量； E_KE 為系統動能； E_w 為外力所做的功。在準靜態壓縮試驗的過程中，由于各個模型的加載速度非常小，所以動能非常小。結構在壓縮的過程中發生大變形，在極小曲面結構中形成了多個局部塑性鉸，因此外力功幾乎等于模型內能。根據標準，準靜態壓縮試驗中的動能一般不超過內能的 5% 。正向準靜態壓縮模型的動能均在內能的 5% 以下，Scherk單周期曲面靜力學壓縮仿真能量滿足要求。

2.4 反力與能量吸收

2.4.1 側向壓縮

圖10所示為是5種不同的極小曲面結構在受到側向壓力時的力學性能。從整體上看，圖10（a）所示的力-位移曲線變形規律與方管、圓管等吸能構件壓潰試驗的力-位移曲線類似。結構整體變形趨勢是：在受到側向壓力后，在 0～5mm 時反力快速增加，到達第1個初始峰值，最大峰值力約為4200N；隨著壓縮位移增加， 15mm 以后峰值力逐漸下降，并趨近于穩定，最后反力約為 3500N 。SPMS-C3結構在 0～15mm 時，反力幾乎不變保持4000N， 15mm 之后反力下降，最后約為 3750N 。SPMS-C1、SPMS-C2、SPMS-C4以及SPMS-C5結構在壓縮位移 0～5mm 處產生最大峰值載荷。結合它們的變形模式（圖7）和應力分布（圖8）可知，在加載初期，上述4個結構孔徑比（虧格孔面積與極小曲面表面積的比值，孔徑比 i=S₀/S ， S₀ 為孔洞的橫截面積，S為結構表面積）相對較大，結構的整體承載能力較弱，在外載荷作用下，結構快速變形并進入塑性菱形階段，因此所產生的峰值載荷較大。而SPMS-C3結構在受壓初期，由于中部的虧格結構孔徑比最小，結構受壓時整體受力均勻，承載能力較強，所以在壓縮初期載荷沒有形成峰值。

以極小曲面結構受側向載荷作用下的比吸能作為評價指標，來判定單周期極小曲面結構能量吸收特性。首先，根據圖10（a）計算各結構力-位移曲線的面積，該面積即為夾層結構受到壓縮時所吸收的能量：

式中， E 為總吸收能； s 為結構位移； F 為外載荷。

其次，單位質量比吸能 E_SEA 可表達為

E_SEA=E/M

式中， M 為結構總質量。

根據式（5）計算得到結構側向壓縮過程吸收的外力功[圖10（b）]。其中，SPMS-C3結構外力功最大，為42.256J；其次為SPMS-C2和SPMS-C4；最小的是SPMS-C5，在22.1J左右。SPMS-C3結構的外力功約為SPMS-C1結構和SPMS-C5結構的2倍。根據式（6）計算得到結構側向壓縮過程吸收的比吸能[圖10（c）]。由圖6可知，5個結構的質量相差不大，這說明參數 C 對極小曲面結構的質量改變影響不大。因此，側向壓縮時，結構的比吸能主要和外力功成正比。如圖10（c）所示，SPMS-C3結構的比吸能稍高于其他4個結構，數值達到 71.910J/kg ；其次是SPMS-C1、SPMS-C5、SPMS-C2、SPMS-C4結構。結合前文的分析可以看出，SPMS-C2結構在受壓的過程中，發生塑性變形的區域僅在V形折痕處產生，塑性流動區域較小，因此其吸能效果不佳。對于SPMS-C3結構，比吸能稍大于其他4個結構的原因在于壓縮過程中明顯的負泊松比效應，在虧格連接部位發生內錯擠壓效應，進而產生較大的塑性變形，使得其比吸能較大。在工程上，這是一種不良的力學變形模式。相反，SPMS-C3結構和SPMS-C4結構在受壓的過程中，等效塑性應變均勻分布于極小曲面的虧格結構上，使得結構在受到側向壓縮時在虧格處發生較大的塑性流動，從而有效吸收外力作用下的變形，充分發揮了極小曲面結構孔徑比大的優點。

2.4.2 正向壓縮

在正向壓縮過程中，Scherk曲面反力隨位移變化的曲線規律與結構在側向受壓時的力-位移曲線規律基本一致，如圖11（a）所示。該曲線包含3個階段：

① 上升階段，反力隨著位移的增加而迅速增大； ② 峰值階段，材料反力到達最大值； ③ 下降階段，反力達到峰值后開始下降。該曲線的變化說明反力不是定值，反力的大小和方向都在發生變化。對比圖11（a）中的五個結構正向壓縮時反力-位移曲線，五個結構均出現峰值反力，且出現2次。第1次峰值反力出現在外載荷位移約為 2mm 時，最大峰值反力約為 8000N 。第2次峰值反力出現在外載荷位移約為 10mm 時，最大峰值反力約為 4000N 。由圖11（a）可見，反力隨著位移的變化先增大后減小，又增加又減小，表現出“駝峰\"現象。

Scherk曲面在承受外載荷靜壓時剛度是變化的。剛度計算公式 k=F/δ ，式中 F 是作用于結構的恒力，8為由于受力而產生的變形。根據剛度計算式可以發現，在施加位移 0～2mm 時剛度為正值， 2～5mm 時剛度為負值， 5～10mm 時剛度為正值， 10mm 以后剛度為負值。剛度為負值說明，Scherk曲面具有負剛度特性。由圖6可知，結構還具有負泊松比特性，因此該結構具有負泊松比和負剛度兩個特性。

同樣，通過計算各曲線的線下面積，可以得出各結構在受到正向壓縮時吸收的外力功與結構的比吸能，分別如圖11（b）圖11（c）所示。由圖11（b）可以發現，5個結構在受到正向壓縮時，吸收的外力功的變化趨勢是：SPMS-C3最大，為22.830J；其次是SPMS-C4和SPMS-C2，約為20.4J;最小的為SPMS-C1，約為17.5J。SPMS-C3結構外力功比SPMS-C5和SPMS-C1約提高了 22% 。由圖11（c）可知，SPMS-C4結構在受到正向壓縮時，比吸能達到 883.995J/kg ，其他4種結構比吸能從大到小依次是SPMS-C2、SPMS-C3、SPMS-C1和SPMS-C5；其中比吸能最大的SPMS-C4結構相比于最小的SPMS-C5結構，比吸能提升了 11% 。這也說明，在受到正向壓縮載荷時SPMS-C4結構吸能能力較其他結構好。

通過對SPMS-C1、SPMS-C2、SPMS-C3、SPMS-C4和SPMS-C5這5個結構進行靜力學正向壓縮與側向壓縮2種加載方式，探究了上述5類結構在受到外力作用時的變形模式以及相關的力學響應。可見，SPMS-C4結構即參數 C=0.4 時，其正向壓縮性能與側向壓縮性能均優于其他4種結構。特別是在受到正向壓縮時，SPMS-C2比吸能比排在最后的SPMS-C5的高 12.31% 。而在側向壓縮的過程中，排除SPMS-C1結構不良的失穩變形模式外，SPMS-C3、SPMS-C4和SPMS-C5夾層結構的比吸能相當，即這3個結構抗側向壓縮的力學性能相當。

3 SPMS壓縮試驗

3.1 試驗過程

從有限元模擬結果可以看到，單周期極小曲面結構上具有高度的對稱性，同時虧格的連通功能使得該結構能夠降低自身質量，吸能效果顯著提升。極小曲面連續光滑的數學特性，使得結構在受力時均勻連續變形。為了驗證該結構的力學性能，對該結構進行靜態壓縮試驗。壓縮試驗在萬能拉伸試驗機上進行。試驗過程采用位移連續控制，加載速率為 5mm/min 總壓縮位移為 40mm 。壓縮過程應變利用靜態應變儀采集，壓縮試驗裝置如圖12所示。

圖13所示是SPMS打印模型靜態壓縮過程。在壓縮時該結構的變形首先出現在虧格位置，試驗現象與有限元模擬結果一致，首次壓潰的位置出現在模型底部。124s時結構底端第2虧格處出現明顯收縮現象。此時第1虧格處向內收縮，第2虧格處向外膨脹。壓縮形變部位形成X形內凹效果。隨后，變形逐漸開始向上傳遞，396s時第2虧格處全部折疊收縮，折疊一起。圖13中396s時第3虧格開始向內收縮變形，變形效果與第1和第2虧格處變形效果一致，最后形成X形內凹效果。518s時結構受壓結束，第3虧格基本重疊一起，第4虧格向外膨脹。整個結構呈現明顯的向內收縮現象，表現出明顯的負泊松比效應。多次試驗證明，SPMS表現出良好的大變形效果，同時結構出現的X形折疊現象重復出現，結構表現出明顯的負泊松比效應。隨著虧格數的增加折疊變形越容易，而且重復折疊也更加規則。

圖12靜力壓縮試驗裝置

Fig.12 Static compression test device

卸載后，試樣變形如圖14（c）所示，從中可見局部出現斷裂現象，而結構整體逐級均勻折疊在一起。圖14（a）所示正面呈現明顯的逐層折疊效果。由圖14（b）所示頂面可以看到，SPMS壓縮后仍具有高度對稱性，4個方向都均勻折疊。

圖13壓縮變形過程

Fig.13 Process of thecompression deformation

圖14試樣壓縮變形結果

Fig.14 Compression deformation results of specimens

3.2 試驗結果

準靜態試驗測定了SPMS的整體變形和壓潰過程。采集了曲面虧格處的應變，同時采集了結構整體與上夾層板之間的接觸反力和位移。圖15（a）給出了試驗反力與位移關系。由圖15（a）可見，SPMS夾層整體受壓時，接觸反力呈現“駝峰”現象，即隨著位移的增大，接觸反力先增大后減小，再增大又減小，反力和位移關系呈現4個階段。以試樣2為例，在第1階段，當壓縮位移不超過 5mm 時，接觸力隨位移增加快速增大，最大反力達到 95 000N ；在第2階段，位移在 5～ 20mm 壓縮時，反力快速下降，下降到38000N左右，反力下降了 59.6% ；在第3階段，位移在 20～27mm 時，反力繼續增大，此時最大反力只達到 81000N ，與第1次最大峰值反力相比，下降了 14.7% ；在第4階段，位移在28～40mm 時，反力隨位移增加逐漸下降。最后達到42 000N ，基本上達到第2階段水平。由圖15（a）可以明顯看出，結構反力隨位移的變化并沒有斷裂破壞，而是均勻折疊在一起，如圖14所示。根據剛度定義

k=F/δ

式中，k為結構剛度； F 為作用于結構的恒力;δ為由于力而產生的變形。

根據式（7），可以發現受壓的第二和第四階段，SPMS結構表現出負剛度效應。力和位移的“駝峰”現象還說明該結構在不增加力的情況下，能夠多次折疊變形。同時，變形過程中隨著位移的增加，力在減小。

當結構所受力達到材料屈曲極限后，結構反力不再增加，反而位移逐漸增大，負剛度效應很好地實現了結構的穩定大變形。

圖15（b）所示為壓縮試驗中測點位置應變。由圖15（b）可見，10個測點中有5個測點的應變數據為正值，5個測點的應變數據為負值。并且，所有測點數據變化趨勢也分為4個階段：第1階段為線性增長階段，位移在 0～5mm 時，應變隨位移增加呈線性快速增長趨勢；第2階段為平臺階段，位移在 5～22mm 時，位移在增加，而應變保持不變；第3階段為第2線性增長階段，此時位移在 22～27mm ，應變出現第2次增加；第4階段為第2平臺階段，從 27mm 開始直到加載結束，應變增加到最大并保持不變。應變的變化趨勢與反力和位移的變化趨勢一致，也驗證了反力變化出現的“駝峰\"現象。反力出現2個線性增長階段、2個下降階段，下降階段表現出明顯的負剛度效應。應變的4個階段也解釋了反力與位移表現出的負剛度效應。在2個平臺階段應變保持不變，說明結構內部應力到達1個峰值，并一直保持不變。應力的產生使得結構產生形變，從而表現出位移增加。此時材料進入屈服階段，加上虧格結構和極小曲面連續光滑特性，結構在峰值應力作用下出現折疊壓潰現象。結構內部光滑曲面向虧格處壓縮流動聚集，聚集材料產生強化作用，產生反力，抵消了一部分外力，從而使得反力出現下降現象。第2平臺階段的出現，是第1虧格彎曲壓潰重疊后，變形向上傳遞的結果。壓縮第2虧格時，需要繼續施加外力，使得結構持續變形，這也是外力第2次增加的原因。

3.3 結果對比

壓縮試驗過程中發現，SPMS結構表現出逐層收縮行為，即負泊松比效應。應變分析發現，SPMS結構泊松比都為負數，且最大可以達到-2.7，如圖16所示。由圖16可以看出，結構受壓初期，變形快速，泊松比最大，隨著結構逐級壓潰，變形逐漸減小，應變也逐漸減小，泊松比減小，最后泊松比值為-0.4。泊松比值的變化說明了壓縮中結構壓潰過程的階段性，泊松比數值說明了該結構具有收縮變形的優良特性。SPMS結構壓縮試驗過程中表現出負泊松比現象。通過反力和位移分析又發現，結構表現出負剛度效應，因此該結構表現出“雙負”的優良特性。將試驗測得的反力與有限元仿真得到的反力進行了對比，如圖17所示。分析數據發現，兩者數據變化趨勢一致，且經測算最大誤差均小于 10% 。這說明有限元模型是可靠合理的，能夠很好地預測結構變形過程和失效破壞。

SPMS壓縮試驗表現出的負泊松比和負剛度效應與結構特性息息相關。首先，極小曲面表面連續光滑，使得結構受力過程保持穩定，受力均勻，能夠保證結構壓縮時逐層折疊壓潰。其次，單周期極小曲面在幾何空間結構對稱，并且沿z向重復出現。最后，結構中虧格的均勻排列，給結構受力時提供了變形空間。壓縮時材料可以向虧格處流動聚集，使得整體結構表現出負泊松比現象。同時，逐層排列的虧格和對稱排列方式使得結構壓縮時逐層疊加壓潰，逐層壓潰處材料得以強化，提高了壓潰處的剛度，而下一層級剛度尚未發生變化，剛度的差異分布使得結構整體表現出負剛度效應。SPMS的“雙負\"特性，為其在吸能結構的應用研究中提供了很大的空間，而且作為新型結構在結構耐撞性工程應用研究中也將得到廣泛應用。

圖16SPMS泊松比

圖17試驗反力與有限元反力

Fig.17Testcounter-forceandfiniteelementcounter-force

4結論

研究了一種新型Scherk單周期極小曲面結構，并從結構力學性能、結構行為和吸能性能3個方面展開討論。研究發現：

1）在側向壓縮載荷的作用下，5種結構呈現出V形、X形折疊變形以及整體均勻變形3種不同的變形模式。在整體均勻變形模式下，應力分布也較為均勻，有利于結構應力傳遞，可有效改善結構應力集中等問題。同時，結構在該變形模式下受到側向壓縮時發生塑性流動的區域較大，其吸能能力較優。在正向壓縮載荷作用下，5種結構均呈現出縱向折疊的變形模式。在受壓過程中，虧格結構周圍形成局部塑性，結構向塑性區域自折疊，吸收大量能量。

2）壓縮試驗發現，SPMS夾層結構表現出典型的負泊松比效應。試驗測得，接觸反力與位移曲線呈現“駝峰”現象；通過反力和位移分析發現，結構表現出負剛度效應。結構表現出“雙負”的特性，使得結構受壓時逐層均勻折疊壓潰，表現出良好的變形吸能特性。SPMS結構具有幾何曲面連續光滑的特性，不但改善了應力集中問題，而且在受壓過程中表現出“雙駝峰”現象，使得結構表現出“雙負\"特性且出現兩次平臺階段，說明結構具有多穩態。多穩態特性意味著在不同穩態下具有不同的力學特性。該發現突破了預定義物體和材料的可應用局限性，為多穩態結構領域發展提供了新的研究方向。

參考文獻（References）

[1]PANESAR A，ABDI M，HICKMAN D，et al. Strategies for functionally graded lattice structures derived using topology optimization for additive manufacturing[J].Additive Manufacturing，2018，19：81-94.

[2]ZHANG L，FEIH S，DAYNES S，et al. Energy absorption characteristics of metallic triply periodic minimal surface sheet structures under compressive loading[J].Additive Manufacturing， 2018，23：505-515.

[3]AMERINATANZI A，SHAYESTEH MN，IBRAHIMH，et al. The effect of porosity type on the mechanical performance of porous NiTi bone implants[C]//Volume 2：Modeling，Simulation and Control；Bio-Inspired Smart Materials and Systems； Energy Harvesting.American Society of Mechanical Engineers，2016： V002T06A018.

[4] FEE C.3D-printed porous bed structures[J].Current Opinion in Chemical Engineering，2017，18：10-15.

[5] MASKERYI，ABOULKHAIRN T，AREMU AO，et al. Compressivefailuremodesandenergyabsorptioninadditively manufactured double gyroid lattices[J]. Additive Manufacturing， 2017，16：24-29.

[6]SHI JP，ZHU LY，LIL，et al.A TPMS-based method for modeling porous scaffolds for bionic bone tissue engineering[J].Scientific Reports，2018，8（1）：7395.

[7]SARKER A，TRAN N，RIFAI A，et al.Rational design of additively manufactured Ti6Al4V implants to control Staphylococcusaureusbiofilm formation[J].Materialia，2019，5：100250.

[8]YAN C Z，HAO L，HUSSEIN A，et al. Ti-6Al-4V triply periodic minimal surface structures for bone implants fabricated via selective laser melting[J]. Journal of the Mechanical Behavior of BiomedicalMaterials，2015，51：61-73.

[9] YINHF，LIU ZP，DAI JL，et al. Crushing behavior and optimization of sheet-based 3D periodic cellular structures[J].Composites PartB：Engineering，2020，182：107565.

[10] WANGY Z，REN X B，CHEN ZH，et al.Numerical and experimental studies on compressive behavior ofGyroid lattice cylindrical shells[J].Materialsamp;Design，2020，186：108340.

[11］張遠飛．基于增材制造的多孔結構設計與成型[D].大連：大連 理工大學，2019：8. ZHANG Yuanfei.Design and manufacturing of porous structure based onadditive manufacturing[D].Dalian：Dalian Universityof Technology，2019：8.（InChinese）

[12] LIUF，MAOZF，ZHANGP，etal.Functionallygraded porous scaffoldsin multiple patterns：new design method，physical and mechanical properties[J].Materialsamp; Design，2018，160： 849-860.

[13]AL-KETAN O，ABU AL-RUB R K，ROWSHAN R. The effect of architecture on the mechanical properties ofcellular structures based on the IWP minimal surface[J]. Journal ofMaterials Research，2018，33（3）：343-359.

［14］王赫庭.基于周期極小曲面結構加強的汽車前縱梁防撞性研究 [D].大連：大連理工大學，2019：32. WANG Heting.Crashworthiness design of front railsof automobiles reinforced by periodic minimal surfaces[D].Dalian ： DalianUniversity of Technology，2019：32.（In Chinese）

[15]WANG C Y，LI Y，ZHAO W Z，et al. Structure design and multiobjectiveoptimizationofanovelcrashbox based onbiomimetic structure[J].International Journal ofMechanical Sciences，2018， 138/139：489-501.

[16]AL-KETAN O，REZGUI R，ROWSHAN R，et al. Micro architected stretching-dominated mechanical metamaterialswith minimal surfacetopologiesJ].AdvancedEngineeringMaterials， 2018，20（9）：1800029.

[17]LID W，LIAO WH，DAI N，et al. Optimal design and modeling ofgyroid-basedfunctionallygradedcellularstructuresforadditive manufacturing[J].VAD Computer Aided Design，2018，104： 87-99.

[18] CHARBONNIERB，MANASSEROM，BOURGUIGNONM，et al.Custom-made macroporous bioceramic implants based on triply-periodic minimal surfaces for bone defects in load-bearing sites[J].ActaBiomaterialia，2020，109：254-266.

[19] VIJAYAVENKATARAMANS，KUANLY，LUWF. 3D-printed ceramic triply periodic minimal surface structures for design of functionallygradedbone implants[J].Materialsamp;Design，2020， 191：108602.

[20]YANG E，LEARY M，LOZANOVSKI B，et al. Effect of geometry onthe mechanical properties of Ti-6Al-4V Gyroid structures fabricatedvia SLM：anumerical study[J].Materialsamp; Design， 2019，184：108165.

[21]ZHANGXY，YANXC，FANGG，etal.Biomechanical influence ofstructural variation strategies on functionally graded scaffolds constructed with triply periodic minimal surface[J].Additive Manufacturing，2020，32：101015.

Abstract：Minimal surfaces are characterized by spatially continuous smoothness，which can effctively avoid the problemof thestressconcentration，andhavebecomeasignificantfocus intheresearchof mechanicalmetamaterials.A Scherk single-periodic minimalsurface （SPMS）wasstudied，and thespatiallycontinuous smooth geometrical model was generatedusingavoxel reconstruction techniquewith multi-softwareasociationmethod.The mechanical behaviorand energyabsorptioncharacteristicsofthesingle-period Scherk surface structurewereinvestigatedusing finiteelement simulation.Theimpactofthe mathematicalparametersofthe minimalsurfaceonthe geometricconfiguration was examined. Fiveminimalsurfaceswithdiferentparametersereestablished，andthedeformationpattersandstressdistrbutionsofthe fivestructures were explored under positiveand lateralcompresionconditions.The Scherk surfacestructures werefabricated bymetal printing technology，andquasi-staticcompression tests wereconducted.Theresultsshowthatthe Scherk singleperiodsurface hasanobvious negative Poissonratio efect，andtheSPMSstructure exhibits X-and V-shaped deformation modes，whichcanwellwithstandtheexternal loading efects.Thecompression testsshowthehumpphenomenonof the reaction forceanddisplacementcurvesoftheSPMS structure，indicating thatthestructurehasanegativePoissonratioand negative stiffess property.This property provides awidespace for itsapplicationresearch inlargedeformationdamage and structural energy absorption.

KeyWords：Single-periodicminimalsurface;Sherksurface;Energyabsorption;NegativePoissonratio;Negativestifess Corresponding author：WANG Shuai，E-mail：ws15993500427@163.com

Fund：National Natural Science Foundationof China （52275o51）；Chongqing Jiaotong University Natural Science Unveiling Project（XJ202300701）; Chongqing GraduateTutorTeamBuildingProject（JDDSTD2022007）；Chongqing Graduate Joint Training Base Construction Project （JDLHPYJD2022001）

Received：2023-12-10 Revised：2024-01-16