人工智能為數學家找到“巨人的肩膀”

數學與AI就像是一對形影不離的好朋友。AI的誕生和發展，每一步都有深刻的數學印記。AI推理能力的不斷突破，又帶給數學研究許多驚喜。近日，GPT-5 Pro在閱讀一篇數學論文后，獨立推導出了比原文更精確的數學結論，并給出了完整的證明過程，引發業界關注。

AI在數學研究領域有哪些應用場景？如何推動AI+數學向深發展？筆者就此采訪了多位專家。

大幅提升研究效率

“AI大大提升了數學理論的研究效率，不僅可以進行推理結果的驗證，還能幫助研究者拓展思路。”北京大學北京國際數學研究中心教授董彬向筆者道出AI優勢所在。從經驗看，數學家花費時間最多的地方，往往是定理的證明和驗證。“除了耗時耗力，數學家平時用自然語言表述的證明，并不是完全精確的，因此很容易犯小錯誤。”董彬說。

筆者了解到，目前，AI在自動進行定理的證明或證偽方面，存在較大應用潛力。為什么AI能進行結果驗證？驗證結果會不會存在AI幻覺？對于筆者的種種疑惑，董彬解釋，數學屬于形式科學，其最大優勢就在于可驗證性，“類似跑代碼一樣，能跑通就是對的，跑不通就是錯的。因此，AI可以借助形式化驗證系統檢驗理論結果的正確性”。

幫助研究者進行精準的語義檢索，是AI提升研究效率的又一方式。

“我們常說，科研是站在巨人的肩膀上進行的，但實際上，我們往往并不知道‘巨人的肩膀’到底在哪里。”董彬告訴筆者，有時研究者會想到一些看似非常新穎的想法，但前人可能已經提出過了。“為了確定想法是否真的原創，我們會費力地用搜索引擎查詢，或咨詢領域內專家，但這種方式效率很低。”他說。

對此，著名數學家陶哲軒曾經公開呼吁，希望AI可以為數學家提供一種非常便捷的工具，幫助大家快速地確認某個定理是否已經被別人提出或證明過。這種工具讓數學家能把精力集中在真正的原創研究上，而不是一遍又一遍地重新發現那些早已被證明過的結果。AI強大、精準的檢索能力，為實現這一愿景提供了幫助。

此外，AI還可以幫助研究者快速學習新知識、掌握新技術。董彬介紹，為了研究某個問題，研究者往往需要學習一些全新的概念和工具，但當這些工具和熟悉的領域有較大差異時，學起來通常費時費力。

AI則能幫助研究者迅速判斷、識別某些理論或工具是否與研究問題相關、是否具有幫助。“AI起到了‘搭橋’的作用，幫助我們發掘不同工具、理論間的內在聯系，拓展研究思路，啟發數學家進一步深入思考。”董彬告訴筆者。

在歐洲人文和自然科學院外籍院士、歐洲科學院院士金石看來，AI與數學的結合本質上是一種“認知增強”，它打破了人類固有思維的限制，使研究者能同時處理多尺度、高維度的復雜問題。

代表性成果涌現

在AI助力數學研究領域，涌現出許多有代表性的研究成果。

“目前領域內最具代表性和影響力的工作之一，就是DeepMind團隊與著名數學家喬迪·威廉姆森合作完成的一項研究。”董彬介紹，在這項研究中，研究人員通過構建AI專用模型給予數學家前所未有的靈感，成功提出幾個全新數學定理。

具體來看，數學家先提出一個假說，假設變量X和Y之間存在某種簡潔且具有深刻數學意義的函數關系，把它記作函數f。傳統研究過程中，數學家會不斷猜測這個函數的具體樣式，并試圖證明。這一過程十分復雜，需要花費大量時間。

“而當變量X和Y可以被定量化，并且我們能大量產生它們的數據樣本時，就可以利用AI去‘猜測’這個未知函數f的具體形式。”董彬介紹，數學家通過分析AI給出的猜測，能發現隱藏在X和Y之間的內在規律。這種規律會啟發數學家，幫助他們提出更準確、更可靠的新猜測，加速整個數學研究的過程。

筆者了解到，董彬聯合香港大學何旭華教授組成研究團隊，嘗試將上述人機協同的研究模式，應用到更具挑戰性的“ADLV維數公式”問題上。“研究初期，我們就成功‘重新發現’了ADLV領域的虛擬維數公式（virtual dimension formula）。后續我們又進一步證明了一個關于實際維數與虛擬維數之間誤差的上界定理，這也是一個全新的數學定理。”董彬說。

值得注意的是，在董彬看來，這種方式也存在局限。“盡管實踐效果不錯，但可以使用這種方式做研究的問題比較有限，它更適用于進行‘單點突破’，從局部解決某些具體問題。”他說。

董彬認為，一個更加系統化、更通用的解決方案，或需依靠目前熱門的大語言模型技術。“這種更加系統化的模式，就像是在培養一個‘AI學徒’，用訓練數學家的方式訓練AI，培養出一個能不斷成長、觸類旁通的‘助手’。”董彬認為，“AI學徒”還可以與專用模型結合，實現“專通融合”的應用效果。

國際上不乏優秀的“AI學徒”。去年，由DeepMind打造的自動推理模型AlphaProof和AlphaGeometry 2達到2024年國際奧林匹克數學競賽銀牌水平。

推動數學數字化進程

盡管AI在數學研究和數學推理上已取得一些令人鼓舞的成績，但目前仍面臨許多問題。

董彬說，AI若要真正賦能數學研究，而不僅僅是數學競賽，首先要解決的是驗證問題。具體而言就是要AI克服自然語言的數學表述驗證緩慢且不精確的問題，該問題在科研級別難度的數學問題上愈發突出。此外，如何搭建一個高效的推理框架，模仿頂級數學家做推理的工作流和思維習慣，也是挑戰之一。

“因此，我們需要推動數學的數字化進程，即把原本用自然語言表述的數學陳述，轉換成一種嚴格而精確的形式化語言，去除自然語言中的歧義，并在此基礎上，創建一個專門面向數學研究的‘數學推理模擬器’。”董彬說，通過模擬器，研究者能更快速、精確地驗證和訓練模型，大幅提升AI在數學研究中的實際表現。筆者了解到，為加速推進數學的數字化進程，董彬團隊研發并開源了一系列輔助形式化的AI工具，并被廣泛使用。

此外，還需推動高質量數學專用語料庫建設。“構建研究級數學模型，需要真正懂數學的人參與。但越是前沿、高度專業化的研究領域，能為AI提供有效訓練數據的人就越少。”董彬希望，未來能有更多學者參與到AI+數學的應用推廣中。武漢大學弘毅特聘教授楊志堅也認為，數學界需要組織起來，系統性地開展數據基礎設施建設。

“AI的加入不但不會削弱數學家的作用，反而會使數學家能真正專注于更具創造性和價值的研究。”董彬相信，AI將推動數學進步，使數學研究進入一個更加豐富、更有洞察力的時代。