應用互相關目標函數和貝葉斯理論的縱波和轉換波聯合AVO 反演方法

關鍵詞： 縱波和轉換波，聯合反演，AVO 反演，歸一化零延遲互相關目標函數，貝葉斯理論中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000?7210. 20240195

Joint AVO inversion method of PP? and PS?wave based on cross?correlation objective function and Bayesian theory

DONG Zilong1，2，3，LIU Yang1，2，4，SUN Yuhang4，TIAN Wenbin ^1，2 ，DI Xi1，2

（1. National Key Laboratory of Oil and Gas Resources and Engineering，China University of Petroleum（Beijing），Beijing

102249，China；2. CNPC Key Laboratory of Geophysical Exploration，China University of Petroleum（Beijing），Beijing 102249，China；3. Acquisition Technology Institute，BGP Inc. ，CNPC，Zhuozhou，Hebei 072750，China； 4. China University of Petroleum?Beijing at Karamay，Karamay，Xinjiang 834000，China）

Abstract：The joint AVO inversion objective function of PP ? and PS ? wave is usually constructed based on the L₂ norm，and its effect is greatly affected by the signal ? to ? noise ratio（SNR）of seismic data. In this paper，a joint AVO inversion method of PP ? and PS?wave is proposed. Based on the Bayesian theory，this method com ? bines PP? and PS?wave seismic data，and constructs an objective function based on normalized zero ?delay cross? correlation algorithm for inversion. The combination of PP? and PS?wave seismic data can enhance the stability of the inversion algorithm. The strategy of normalizing seismic data and the cross ?correlation objective function can enhance the noise immunity of the inversion algorithm. Therefore，the method in this paper can provide the P ? wave velocity，S ? wave velocity and density parameters with high accuracy using the seismic data with lower SNR. The test results of model data whose SNRs are 7 dB and 1 dB respectively and actual data show that the proposed method can achieve high ?accuracy inversion results by seismic data with lower SNR. Compared with the joint inversion using the objective function based on the L₂ norm，the results show that the proposed method has smaller error and more robust anti?noise performance.

Keywords：PP ?wave and PS ?wave，joint inversion，AVO inversion，normalized zero ?delay cross ?correlation ob? jective function，Bayesian theory

董子龍，劉洋，孫宇航，等 . 應用互相關目標函數和貝葉斯理論的縱波和轉換波聯合 AVO 反演方法［J］. 石油地球物理勘探，2025，60（3）：761?774.DONG Zilong，LIU Yang，SUN Yuhang，et al. Joint AVO inversion method of PP? and PS?wave based on cross?correlation objective function and Bayesian theory［J］. Oil Geophysical Prospecting，2025，60（3）：761?774.

0 引言

地震反演在儲層預測中起著重要的作用，其結果的精度直接影響巖性和流體識別的準確性，因此提高彈性參數的反演精度至關重要。根據使用的地震數據類型，地震反演可以分為疊后反演和疊前反演。相對于疊后，疊前地震數據包含了更多的地質信息，反演精度更高[1]。疊前 AVO 三參數反演是目前常用的從疊前地震數據獲得縱波速度、橫波速度和密度的方法，殷八斤等[2]系統總結了該技術的理論及實踐。在各向同性介質中，向下傳播的地震縱波在反射界面處會產生反射縱（PP）波和轉換（PS）波、透射 PP 波和 PS 波。相較于 PP 波，PS 波地震數據包含了更多與巖石骨架相關的地質信息[3?5]。將PP 波和 PS 波地震數據聯合引入疊前 AVO 反演，能夠增強反演算法的穩定性和抗噪性。Stewart[6]首次提出了 PP?PS 波聯合反演方程；陳天勝等[7]基于Aki?Richards 近似式聯合反演了縱波速度、橫波速度及密度的相對變化。在此基礎上，傅雷等[8]應用實際資料進行聯合反演，取得了良好的效果。

疊前 AVO 反演可根據目標函數的構建方式分為確定性反演和統計性反演。確定性反演將待反演參數視為確定量，利用合成地震數據和真實地震數據的誤差構建目標函數[9?12]。而統計性反演則是將待反演參數視為隨機變量，最常用的是貝葉斯反演。貝葉斯反演結合似然函數和先驗信息構建目標函數，將 AVO 反演從最大化后驗概率分布問題轉化為最小化目標函數問題。先驗信息是基于經驗或地球物理理論對參數模型的猜測，與地震數據無關[13]。在參數模型的先驗信息約束下，貝葉斯反演能夠降低反演的多解性，提高反演的穩定性[14]。在貝葉斯反演方法中，似然函數通常以高斯函數的形式表示[15?19]，其指數項由合成地震數據和真實地震數據之差的 L₂ 范數組成，因此似然函數體現了合成地震數據和真實地震數據的匹配程度[20?23]。然而，地震記錄具有波形信息，而 L₂ 范數定義的似然函數主要體現兩個信號的振幅相似性，對噪聲比較敏感。然而，實際地震數據的信噪比通常較低，導致這類算法在反演實際數據時精度較低。此外，實際地下介質的震源子波難以準確估計，進一步限制了算法的應用。相較之下，零延遲互相關函數主要反映了兩個信號在波形上的相似程度，將合成地震記錄與真實地震記錄的零延遲互相關值作為似然函數的指數項，可以有效地降低反演結果對初始模型的依賴[24?28]。

本文在現有算法的基礎上，提出了一種基于歸一化零延遲互相關目標函數的 PP?PS 波聯合反演方法。該方法以 PP 波和 PS 波地震數據作為輸入，基于零延遲互相關算法構建目標函數，實現了對縱波速度、橫波速度和密度的同時反演，并應用理論模型和實際數據進行了測試。結果表明，與基于 L₂ 范數目標函數的聯合反演相比，本文方法誤差更小、抗噪能力更強。

1 方法原理

本文提出的 AVO 反演方法流程如圖 1 所示，包括合成地震數據和模型參數反演：首先，根據測井數據和層位信息建立初始模型；隨后，使用初始模型合成地震數據；最后，在貝葉斯框架下，基于合成地震數據和實際地震數據的零延遲互相關值構建目標函數，采用重加權最小二乘優化（IRLS）算法迭代更新模型參數，直至目標函數收斂。

圖1 本文的AVO 反演方法流程

1. 1 AVO 正演理論

AVO 正演是 AVO 反演的前提，它以褶積模型為基礎，其表達式為

d=W^*R

式中： d 表示地震數據； W 表示地震子波； R 表示反射系數； * 表示褶積運算。式（1）中的反射系數通常是利用 Zoeppritz 方程計算，具體為

式中： θ₁?θ₂?φ₁?φ₂ 分別為 PP 波反射角、透射角和PS 波反射角、透射角； V_Pl?V_S1?ρ1 分別為入射層的縱波速度、橫波速度、密度； V_P2，V_s2 和 ρ₂ 分別為透射層的縱波速度、橫波速度、密度； R_PP?R_PS?T_PP 和T_PS 分別為 PP 波、PS 波反射系數和透射系數。結合正演方程，褶積模型可以表示為

d=W^*GM

式中： G 為介質參數到反射系數的映射矩陣； M 為縱、橫波速度和密度構成的參數向量。

1. 2 貝葉斯反演及目標函數構建

模型參數反演是一個根據目標函數，使用最小二乘算法不斷迭代更新模型參數的過程。常規AVO 三參數反演的目標函數由 L₂ 范數定義為

式中： L 為地震正演算子，與 W 和 G 有關。對式（6）求導并令等于零即可得到模型參數的迭代公式

M=（L^TL）^-1L^Td

貝葉斯反演是一種統計性反演方法，通常將待反演參數視為隨機變量，并利用參數的先驗信息作為反演的正則化約束條件，以提高反演的穩定性。先驗信息可以通過明確的概率密度函數表示，當無法用明確的公式去描述其先驗分布時，可以利用隨機過程定義[29]。T 分布是一種典型的抽樣分布，其概率密度函數可表示為

式中： x 為任意變量； υ 為自由度。

當自由度 υ=1 時，其實質上為柯西分布。柯西分布是一種稀疏分布，具有“長尾巴”特征，更符合地層彈性參數的特征。將柯西分布作為先驗信息的反演結果分辨率更高[30]。為了突出柯西分布的稀疏特點，將其與自由度 υ≠1 的 T 分布對比，結果如圖 2所示，可以看出，柯西分布的兩個相關變量具有更窄的概率密度分布，確定性更好。因此，本文應用三元柯西分布作為先驗信息。

假設噪聲滿足高斯分布，則似然函數可以表示為

式中： N 為模型反射系數的個數； C_d 為地震數據的協方差矩陣，若地震數據中的噪聲獨立分布，則有

式中： σ_d² 為噪聲的方差； I 為單位矩陣。以三元柯西分布作為先驗信息時有

圖2 自由度為1（a）、3（b）、7（c）、10（d）的二元T 分布的概率密度對比

式中： P（M） 為參數的先驗信息； ，ψ 為 M 的協方差矩陣，其大小為 3×3N，Dⁱ 為 3× 3N 的矩陣，具體為

由此可以得到模型參數的后驗概率分布為

對式（13）做最大后驗概率估算，則目標函數可以表示為

將式（14）對模型參數求導，并令其等于零，可得

M=（L^TL+μQ）^-1L^Td

式中： μ 為超參數，可通過調整該參數以提高實際數據的反演精確； Q 是一個 3N×3N 的矩陣，具體為

對比式（14）與式（6）可以發現，貝葉斯反演實質是在常規反演的目標函數上增加一個先驗信息約束。貝葉斯反演的目標函數的第一項用來描述合成地震數據和真實地震數據的擬合度，通常以 L₂ 范數構建目標函數。 L₂ 范數目標函數體現了兩個信號在振幅上的相似度。然而，在實際數據反演中，地震子波通常難以準確估計，且當地震數據含有噪聲時，合成地震數據振幅與真實地震數據振幅之間存在差異，這會使 L₂ 范數目標函數陷入局部極小值，從而導致反演過程的穩定性、反演剖面的橫向連續性變差，降低反演結果的精度。這時，需要調大超參數 μ 以控制待反演參數的更新方向，減小反演結果與真實測井數據的誤差。但是，較大先驗信息比重會使反演結果更依賴于初始模型，導致最終的反演剖面分辨率降低。

零延遲互相關算法考慮了兩個信號的相位匹配，減少了振幅差異的影響，提高了抗噪性。本文對地震記錄進行歸一化處理，并使用零延遲互相關算法構建目標函數。其中，歸一化策略使合成地震記錄與實際地震記錄振幅基本匹配，而互相關算法則削弱振幅差異的影響。基于歸一化地震記錄的零延遲互相關目標函數可以減小噪聲和子波估計不準確的影響，提高反演方法的穩定性和精度，增強反演剖面的橫向連續性，提高分辨率。基于歸一化地震記錄的零延遲互相關目標函數可以表示為

式中： d_true 為實際地震數據； d_pred=LM 為合成地震數據； 分別表示歸一化后的實際地震數據和合成地震數據； ? 表示兩個信號的互相關。該目標函數的梯度可表示為

將貝葉斯先驗信息引入梯度，可得

由上式可導出參數 M 的 IRLS 解

基于式（20），通過不斷迭代更新，直至使目標函數收斂，便可獲得最終的模型參數。

1. 3 聯合反演

PP?PS 波聯合反演可以實現 PP 波和 PS 波的優勢互補，提高 AVO 反演的穩定性和精度。將 PS波數據引入目標函數式（14），可得

式中： 分別為 PP 波、PS 波的地震記錄； L_PP 、L_PS 分別為 PP 波、PS 波的正演算子； 1lt;ηlt;1 ，為轉換波權重。對目標函數關于參數求導并令其等于零，可得

在常規聯合反演的基礎上，引入歸一化地震記錄的零延遲互相關算法得到新的目標函數

式（23）關于模型參數的梯度為

在貝葉斯框架下，本文提出的聯合反演目標函

數則為

式中： β 為噪聲方差；三元柯西分布 R（M） 為

出模型參數

利用式（28），通過不斷迭代更新參數，直至使目標函數收斂，便得到最終的 PP?PS 波聯合 AVO 反演結果。

2 模型數據試算

2. 1 一維模型測試

為了驗證本文方法的可行性和抗噪性，采用兩個模型進行測試。模型一的參數突變較多，驗證聯合反演的穩定性和抗噪性。模型二比較光滑，測試歸一化零延遲互相關目標函數的精度。

2. 1. 1 模型一試算

模型一如圖 3 所示，其中的藍線表示實際測井數據，橙線表示初始模型（由測井數據高斯濾波得到）。利用 Zoeppritz 方程計算反射系數，再與 B 樣條子波褶積合成入射角為 1^°～44^° 的疊前 PP 波、PS波角度道集。B 樣條子波基于小波分解和重構得到，是一種參數可調節、分辨率較高的理論子波，其時域表達式為

式中： m 為整數； f_b 為子波帶寬； [p，q] 表示尺度范圍。這四個參數共同確定了子波的旁瓣形狀和主頻大小。模型一合成數據子波參數為： m=10，f_b=500Hz ，p=10Hz，q=50Hz

然后，分別將 1^°～11^°，12^°～22^°，23^°～33^°，34^°～ 44^° 角度范圍的疊前地震數據疊加為 6^°、17^°、28^°、39^° 的角道集，同時給該角度疊加道集加上隨機噪聲，使其信噪比（SNR）為 7 dB（圖 4），以驗證反演算法的抗噪性。在三元柯西分布先驗信息的約束下，以歸一化零延遲互相關算法構建目標函數，無噪數據的PP 波單獨和 PP?PS 波聯合的反演結果如圖 5 所示。由圖 5 可以看出，相對于 PP 波單獨反演，聯合反演的誤差小（尤其是紅色箭頭處），密度曲線更加穩定。統計兩種反演的相對誤差如圖 6 所示，可以看出，聯合反演方法具有更高的精度，尤其是密度的相對誤差降低比較明顯。

對信噪比為 7 dB 的地震數據進行聯合反演，結果如圖 7 所示。從圖中可以看出，噪聲對反演精度有一定的影響，尤其是密度曲線，但整體與測井曲線吻合較好。縱波速度、橫波速度和密度的反演相對誤差分別為 1.196×10^-3，5.613×10^-3，9.356×10^-3 ，表明本文算法對于含一定噪聲地震數據的反演精度較高。

圖3 模型一的真實參數和初始參數

2. 1. 2 模型二試算

使用圖 8 所示的模型進一步驗證歸一化零延遲

互相關目標函數的可行性、先進性。基于該套模型合成疊前地震數據，再進行分角度疊加，得到角度為6^°，17^°，28^°，39^° 的疊加道集，并加入較強的噪聲，使其信噪比為 1 dB（圖 9）。

然后，在三元柯西分布先驗信息的約束下，分別進行基于 L₂ 范數目標函數的 PP?PS 波聯合反演和基于歸一化零延遲互相關目標函數的 PP?PS 波聯合反演，結果如圖 10 所示。對比圖 10a 與圖 10b 可以看出，相較于基于 L₂ 范數目標函數的反演結果，基于歸一化零延遲互相關目標函數的反演得到的三參數均與真實的測井數據吻合得更好，尤其在0. 93、0. 95 s 等模型參數極大（或極小）或者反射系數較弱的地方改進更加明顯（紅色箭頭所示）。

從兩種方法的反演結果的相對誤差對比（圖 11）可以看出，引入了歸一化零延遲互相關目標函數后，反演得到的參數與真實數據之間的相對誤差更小。較強的噪聲使合成地震數據和真實地震數據在振幅上存在較大差異，降低了 L₂ 范數目標函數反演結果的精度，而歸一化互相關目標函數削弱了振幅差異對反演結果的影響，提高了反演的精度。

圖11 模型二基于 L₂ 范數目標函數與基于零延遲互相關目標函數的反演相對誤差對比

一維模型數據測試結果表明本文提出的方法對于低信噪比地震數據的反演具有更強的穩定性和抗噪性。

2. 2 二維 Marmousi 模型測試

圖 12 為部分 Marmousi 模型，其彈性參數在垂向上有較多的突變，用于證明本文方法應用于二維模型的可行性和抗噪性。該模型具有 200 個道集，300 個采樣點，采樣間隔為 2ms 。利用該模型合成疊前道集，入射角范圍為 1^°～45^° ，然后分角度疊加為 8^°，23^° 和 38^° 的道集，并加入隨機噪聲，使其信噪比為 7 dB（圖 13、圖 14）。選取 CDP 分別為 60、120和 180 的數據作為該模型的三口虛擬井，分別命名為 1 井、2 井和 3 井，利用 1 井、3 井的井數據和地震數據建立初始模型（圖 15）。在三元柯西分布先驗信息的約束下，基于 L₂ 范數目標函數的 PP?PS 波聯合反演結果如圖 16 所示，基于歸一化零延遲互相關目標函數的 PP?PS 波聯合反演結果如圖 17 所示。從圖 16、圖 17 可以看出，本文方法反演的三參數剖面與真實參數剖面更相似，尤其在紅色箭頭處，本文方法的反演結果比 L₂ 范數目標函數的聯合反演結果分辨率更高、連續性更強。

圖12 Marmousi 模型真實參數剖面

圖 13 Marmousi 模型 PP 波分角度疊加剖面

為了更清晰地分析反演結果與真實模型的吻合度，提取沒有參與建立初始模型的 2 井旁反演結果進行對比（圖 18、圖 19）。由圖可見，由于噪聲的影響，反演結果與真實數據存在一定誤差，但總體吻合度較高。通過計算發現，基于 L₂ 范數目標函數的PP?PS 波聯合反演結果在 2 井的三參數相對誤差分別為 4.775×10^-3，4.913×10^-3，5.647×10^-3 ，而基于互相關目標函數的 PP?PS 波聯合反演結果的相對誤差均較小，分別為 3.185×10^-3，3.220×10^-3 、4.021×10^-3 。因此，本文方法對于信噪比較低的二維 Marmousi 模型數據反演效果更好。

3 實際數據試算

實際數據來自于 X 工區的一條測線。在該測線上分布 A、B 兩口井，分別位于 CDP 200 和 CDP676 處，斷層發育較多，反演層段由大型河流、三角洲沉積而成，巖性比較均勻。實際疊前地震數據的入射角范圍為 1^°～45^° ，先在時間域進行 PP 波與 PS波匹配處理，再分別進行 8^°，23^°，38^° 的分角度疊加，然后進行噪聲壓制、反褶積、振幅補償等一系列處理，以提高地震數據的信噪比和分辨率（圖 20、圖 21）。在層位信息的約束下，利用 B 井的測井數據和地震數據沿層延拓得到初始模型（圖 22）。分別提取 PP波和 PS 波的 8^°，23^°，38^° 分角度疊加剖面的子波，在三元柯西分布先驗信息的約束下，利用 Zoeripptz 方程計算反射系數，分別進行基于 L₂ 范數目標函數的PP 波單獨反演（方法Ⅰ）、基于 L₂ 范數目標函數的

PP?PS 波聯合反演（方法Ⅱ）和基于歸一化零延遲互相關目標函數的 PP?PS 波聯合反演（本文方法），結果如圖 23～ 圖 25 所示。由圖可見，三種方法的反演結果均能反映剖面的巖性變化，但是相較于 PP 波的單獨反演，PP?PS 波的聯合反演的分辨率更高、橫向連續性更強（紅色箭頭所指位置）。在引入歸一化零延遲互相關目標函數后，分辨率和橫向連續性有了進一步提高。

為了進一步對比不同反演算法的精度，提取 A井的測井數據、井旁初始模型和反演結果，如圖 26所示。由圖可以發現，三種方法的反演結果在整體上與真實測井曲線的吻合較好，PP?PS 波聯合反演的三參數在 0. 55、0. 7 s 附近的誤差明顯減小，并且這種誤差在引入了歸一化零延遲互相關目標函數后進一步降低。為了定量地分析三種方法的反演精度，計算 A 井縱波速度、橫波速度和密度的反演相對誤差，結果如表 1 所示。由表可知，基于 L₂ 范數目標函數的單獨 PP 波反演精度最低，兩種波的聯合提高了反演精度，基于歸一化零延遲互相關目標函數的聯合反演精度最高。

4 結束語

為了提高反演方法的精度和抗噪能力，本文通過引入歸一化零延遲互相關算法，提出了基于歸一化零延遲互相關目標函數的 PP?PS 波聯合 AVO 反演方法，由模型數據和實際數據測試可得出如下結論：

（1）互相關目標函數和對地震數據進行歸一化策略可以提高反演算法的抗噪性能；

（2）PP 波與 PS 波地震數據的聯合可以增強反演算法的穩定性。

參 考 文 獻

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（本文編輯：宜明理）

作 者 簡 介

董子龍 碩士，1999 年生；2021 年獲中國石油大學（北京）克拉瑪依校區資源勘查工程專業學士學位，2024 年獲中國石油大學（北京）地質資源與地質工程專業碩士學位；目前在東方地球物理公司采集技術中心工作，主要從事地震智能采集等領域的研究。