“公地悲劇”之解在于1：2

中圖分類號：0255； N02 文獻標志碼：A 文章編號：1001-988 ΔX （2025）05-0108-04

Abstract：Over fifty years have elapsed since the publication of“The Tragedy of the Commons” yethumanity has stillnot found arational and technical balance point betweenfairnessand efficiency， or between individual rights and the public interest. By analyzing the principle of leverage from two different perspectives-square and circular，this study finds that a ratio represents the optimal balance between effort-saving and distance-saving. This finding not only dissolves the dilemma posed by the “The Tragedy of the Commons”， but also implies that numerous issues unsolvable within a linearframeworkcan betackledwithinacircularcontext.

Key words：The Tragedy of the Commons ; lever principle; square and circular perspective;balance degree

1 問題的提出

人推磨或者驢拉磨是一個古老并依然沿用的事實，如圖1所示．按杠桿原理，桿越長越省力，但不省距，因為轉的圈會更大；桿越短，圈雖小了，但更費力．我們的問題是，有沒有一個在省力與省距之間的平衡點呢？一般認為，省力還是省距，完全取決于個人意愿的選擇，并無一個具體客觀的理h 在 AB 上的投影點為 P 點， P 點距 A，B 兩點的距離分別為 a 和 b

Fig5Diagram of the chord-square

對應圖5右圖中，邊長為 Ψ_c 的正方形面積是小正方形面積與4個直角三角形面積之和，即 c²= （b-a）²+4×（ab/2） ，簡化后則是 c²=a²+b² ，這就是勾股定理．這種證明方法，正是中國古代數學家趙爽在注解《周髀算經》時用的證明方法[3].隨著圖5右圖中 P 點的動態變化，圖中間的小正方形及其內切圓也在不斷地對應變化．因此，以內切圓的直徑為斜邊的直角三角形也在變化，相應地，這個直角三角形的高 s 也在變化．那么，變化的這個高 s 的表達式是什么？圖5中，當點 P 移動時，左、右圖中兩個內切圓中的直角三角形始終相似，其斜邊之比等于它們的高之比，則

即有

（1）式正是作者2019年首次發表在《農業經濟問題》上的太極定理[4]．設 a+b=1 ，令 a= x ，則 b=1-x ．將其代入（1）式，則有

（2）式正是2015年筆者和馬如云教授首次發表在《西北師范大學學報（自然科學版）》的中國太極圖標準方程[5（圖6）．求太極圖標準方程的極值，則極大值點的坐標為 ，極小值點的坐標為 ，其對應的極值角度分別為 22.5^° 和 67.5^°

如圖7所示，兩個極值之距為 ，當 AD=1 時， ；因 與 互為倒數，其乘積恒等于1，即 BC：AD=1 0 ．正因為在方圓體系中1與 或 與 都互為倒數，所以才有了兩個大轉折的突變點，形成了 s 曲線．因此，我們也可以稱S曲線為√2圖，稱突變點為方圓一體中的黃金分割點.

圖6中國太極圖S曲線示意圖Fig6 s -curvediagram of the Chinese Taijidiagram

圖7方圓一體中的黃金分割圖

Fig7The golden section diagram within the unity of square and circle

4結論

在此基礎上，我們再看驢拉磨，自然會得出，推磨過程中應存在一個既省力又省距的平衡之“度”，這個“度”就是 ，即當磨盤的半徑為1，桿長大于 時，省力不省距；短于 時省距不省力，故 為平衡省力與省距的“度”．同理，對于盤山公路，坡度大時省距不省力，坡度小時，省力不省距.根據圖6中極大值點和極小值點對應的角度，省力與省距的最佳坡度角應是 22.5^° ，對應越野車的爬坡度數則不可超過 67.5^° ．如圖8，考慮路燈支架，要求桿子的穩定性多一點時，傾角取 22.5^° 為最佳；要求燈的吊掛能力多一點時，傾角取 67.5^° 為最佳.

圖8路燈支架的穩定性取向

Fig8The stability orientation of street lampbrackets

綜上，因圖3中無極值點，導致“公地悲劇”無解，而圖6中因有極值點，故而可消解“公地悲劇”．恰如瑞士數學家Euler說：“世界上發生的任何事情，其意義無不在于某種最大或最小化”（Nothing takesplace in the worldwithoutmeaning，and not that of some maximum orminimum[7]）.

參考文獻：

[1] HARDIN G. The tragedy of the commons[J].Science，1968，162（3859）：1243.

[2] OSTROME，JANSSEN M A，ANDERIESJM.Going beyond panaceas[J]. Proceedings of theNationalAcademyofSciencesoftheUnitedStatesofAmerica，2007，104（39）：15176.

[3] 程貞一，聞人軍．周髀算經譯注[M]．上海：上海古籍出版社，2012：37.

[4] 陳克恭，師安隆．戈壁農業是生態文明背景下的農業革命探索[J].農業經濟問題，2019（5）：130.

[5] 陳克恭，馬如云．中國太極圖理論的數學模型及應用[J]．西北師范大學學報（自然科學版），2015，51（5）：1.

[6] 陳克恭．方圓統一論[M]．蘭州：蘭州大學出版社，2025：234.

[7] DEBNATH L. The Legacy of Leonhard Guler：ATricentennialTribute[M]. London：ImperialCollegePress，2010.

（責任編輯 馬宇鴻）