巧用“假設(shè)思想方法”解決數(shù)學(xué)問題例談

王琰玲

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法案例分析我國(guó)義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）將“雙基”擴(kuò)展為“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變得越來(lái)越重要。從教材上看，數(shù)學(xué)新教材更加重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，把基本的數(shù)學(xué)思想方法作為選擇和安排教學(xué)內(nèi)容的重要線索。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、類比思想方法、假設(shè)思想方法、分類思想方法等。假設(shè)思想方法是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖儯缓蟾鶕?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理，再根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。假設(shè)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法，實(shí)際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種，掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

一、巧用“假設(shè)思想方法”解決數(shù)量關(guān)系隱蔽的問題

小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，有些問題數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無(wú)從下手?？梢愿鶕?jù)問題的具體情況合理假設(shè)，由此得出一些關(guān)系和結(jié)論，產(chǎn)生差異與矛盾，通過分析與思考，找出差異的原因，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，數(shù)量關(guān)系明朗化，從而達(dá)到解決問題的目的。

例1.一輛汽車從甲地開往乙地要經(jīng)過上坡和平地兩種等長(zhǎng)的路，其中上坡的速度為每小時(shí)50千米，平地的速度為每小時(shí)60千米，求這輛汽車從甲地開往乙地的平均速度。

這道題學(xué)生經(jīng)常錯(cuò)誤的認(rèn)為，平均速度是（50+60）÷2=55（千米），但是如果知道總路程的話，本題就非常容易理解和解決了。假設(shè)甲乙兩地的路程為300千米，則上坡段和平路段都為150千米，上坡段用了150÷50=3（小時(shí)），平路段用了150÷60=2.5（小時(shí)），汽車從甲地到乙地一共用了3+2.5=5.5（小時(shí)），因此平均速度為300÷5.5=54611（千米）。

例2.在正方形中畫一個(gè)最大的圓，圓的面積是正方形面積的（）%。

類似這樣的題目，我們可以把正方形的邊長(zhǎng)假設(shè)為一個(gè)數(shù)，圓的直徑和正方形的邊長(zhǎng)相等，分別求出正方形和圓的面積，再求出它們之間的百分比。

二、巧用“假設(shè)思想方法”簡(jiǎn)化計(jì)算過程繁瑣的問題

有些問題雖然可以假設(shè)一個(gè)數(shù)來(lái)解決，但是往往也會(huì)出現(xiàn)計(jì)算過程繁瑣的現(xiàn)象，學(xué)生反而容易在計(jì)算上出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，在數(shù)量之間具有一定的比例關(guān)系前提下，可假設(shè)其中的一個(gè)數(shù)量為單位“1”，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的繁瑣程度。

例3.興隆山滑雪場(chǎng)的門票是100元一張，平均每天接待500名游客。春節(jié)期間舉行門票優(yōu)惠活動(dòng)，優(yōu)惠后每天的游客增加了50%，收入增加了20%，優(yōu)惠后門票的價(jià)格是多少？

解決這個(gè)問題首先要明確一個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系式：游客人數(shù)×門票價(jià)格=收入。先按照一般的解題思路分析，根據(jù)題意要求的是優(yōu)惠后門票的價(jià)格，需要知道優(yōu)惠后的收入和游客人數(shù)。優(yōu)惠后的收入是500×100×（1+20%）=60000（元）。優(yōu)惠后的游客人數(shù)是500×（1+50%）=750（人）。所以優(yōu)惠后的門票價(jià)格是60000÷750=80（元）。仔細(xì)分析題意，不難發(fā)現(xiàn)優(yōu)惠后的人數(shù)和收入都是在原來(lái)的基礎(chǔ)上分別按照一定比例變化，實(shí)際上游客人數(shù)是500還是1000并不影響計(jì)算的結(jié)果，因此只需要假設(shè)游客人數(shù)為單位“1”就行。假設(shè)優(yōu)惠前的游客人數(shù)是1，則優(yōu)惠后的游客人數(shù)是1×（1+50%）=1.5，優(yōu)惠前的收入是100×1，則優(yōu)惠后的收入是100×1×（1+20%）=120，所以優(yōu)惠后的門票價(jià)格是120÷1.5=80（元）。

除此之外，常見的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、工程問題等，解題關(guān)鍵是確定“1”的問題，這種“確定”其實(shí)就是一種假設(shè)。

三、巧用“假設(shè)思想方法”化解一般方法不易解決的問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，解題方法也多種多樣。有時(shí)用一般方法去解答也會(huì)感到較為麻煩，如果用假設(shè)法去解答，往往會(huì)化難為易，受到事半功倍的效果。

“雞兔同籠”是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”這句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

方法1：假設(shè)35只都是雞，那么就應(yīng)該有2×35=70（只）腳，但實(shí)際上有94只腳，比假設(shè)的情況多了94-70=24（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出24里面有幾個(gè)2，就可以求出兔的只數(shù)。

解：有兔（94-2×35）÷（4-2）=12（只）

有雞35-12=23（只）

答：有12只兔，23只雞。

方法2：我們也可以假設(shè)35只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×35=140（只）腳，但實(shí)際上有94只腳，比假設(shè)的情況少了140-94=46（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2=2（只）。因此只要算出46里面有幾個(gè)2，就可以求出雞的只數(shù)。

解：有雞（4×35-94）÷（4-2）=23（只）

有兔35-23=12（只）

答：有235只雞，12只兔。

由以上方法可以看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞，也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。

當(dāng)然，這類問題也可以用畫圖法、列表法和方程來(lái)解決，但是用假設(shè)法來(lái)解答比較簡(jiǎn)便，而方程也可以理解為假設(shè)法的另一種形式，實(shí)質(zhì)上就是把未知條件直接假設(shè)成已知條件，再根據(jù)題意列出方程。

許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來(lái)加以計(jì)算。

例如，水彩筆每盒19元，蠟筆每盒11元，水彩筆和蠟筆共買了16盒，共用去280元。兩種彩筆各買了多少盒？

我們可以假設(shè)有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買彩筆的問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠的問題了。

假設(shè)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較普遍，但是也要因題目而選擇，不能生搬硬套。由以上幾個(gè)例子可以看出合理運(yùn)用假設(shè)法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題技能，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，從而達(dá)到開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)學(xué)生能力之目的。