和文科考生談?wù)剶?shù)學(xué)復(fù)習(xí)

趙大悌

今年高考突出了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科的地位。正如不少理科考生害怕考語(yǔ)文一樣，很多文科考生也擔(dān)心數(shù)學(xué)考不好。這的確是一個(gè)重要的問(wèn)題。過(guò)去幾年不少文科考生對(duì)數(shù)學(xué)的重要性認(rèn)識(shí)不足，數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)很低，因數(shù)學(xué)成績(jī)太差而落選的考生也大有人在。正因?yàn)槿绱?，我們衷心希望今年參加高考的文科考生，要重視?shù)學(xué)復(fù)習(xí)，要把數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)好，不要重蹈覆轍。

一

文科學(xué)生所以要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，首先是因?yàn)閿?shù)學(xué)能訓(xùn)練思維。學(xué)習(xí)文科和學(xué)習(xí)其他學(xué)科一樣，經(jīng)常要注意事物的數(shù)量界限，要善于對(duì)感性材料進(jìn)行抽象分析，思考問(wèn)題要具有嚴(yán)密的邏輯性。而數(shù)學(xué)正是關(guān)于邏輯思維的理論，它的特點(diǎn)是抽象、連貫和有邏輯性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就可以使我們的思維更有條理、更加連貫、更符合邏輯，從而提高我們的思維品質(zhì)。其次，數(shù)學(xué)已經(jīng)在各個(gè)領(lǐng)域，包括文科各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)的觀念和方法成為社會(huì)科學(xué)研究的重要工具。因此，文科考生如果沒(méi)有基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，是很難適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)和將來(lái)的工作的。

二

從事文科工作的人，數(shù)學(xué)主要是作為工具去應(yīng)用，而不是要求在數(shù)學(xué)上有所創(chuàng)見(jiàn)。因此，對(duì)文科考生的數(shù)學(xué)要求，應(yīng)該是能理解、會(huì)應(yīng)用，至于靈活性方面，則要求不必太高。基于以上分析，無(wú)疑，我們應(yīng)該確定“狠抓基本”的方針，應(yīng)該以教育部公布的范圍為依據(jù)，以教材為主要復(fù)習(xí)用書(shū)，而不要搞很多另外的復(fù)習(xí)資料，不要獵奇式地到處找題亂做。

在復(fù)習(xí)的內(nèi)容上，要抓住重點(diǎn)。

代數(shù)的數(shù)、式部分，各類(lèi)數(shù)的概念和運(yùn)算要熟練掌握，各種式的變形也要熟悉，尤其是因式分解和分母有理化，此外算術(shù)根和絕對(duì)值也應(yīng)給以特別重視；方程部分，列方程（組）、解方程（組）及一元二次方程的判別式和韋達(dá)定理一定要掌握；函數(shù)部分，各類(lèi)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)要掌握，其中定義域和極值又比較突出；數(shù)列部分，要抓住等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及簡(jiǎn)單的求極限問(wèn)題；排列組合、二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法要理解基本概念并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

平面幾何，要掌握基本概念、定理和基本推理方法；證明題，不要把精力放在過(guò)于復(fù)雜的問(wèn)題上；三角法和解析法證明平面幾何問(wèn)題，尤其是證明教科書(shū)上的一些定理，應(yīng)予以重視。立體幾何，主要由線面的空間位置關(guān)系和面積、體積的計(jì)算兩大部分組成。具有一定的空間想象能力、正確地畫(huà)出圖形是解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵之一；同時(shí)，又要善于把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決，而這方面二面角的平面角的概念和三垂線定理是起到重要作用的，應(yīng)該引起注意。

三角部分，三角函數(shù)的基本概念是基礎(chǔ)；同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、加法定理及由它派生出來(lái)的定理、正余弦定理這四組公式是三角變換的主要依據(jù)，必須熟練掌握，并能運(yùn)用它們?nèi)ミM(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明；有關(guān)測(cè)量的問(wèn)題，有利于訓(xùn)練理論與實(shí)際相結(jié)合，三角知識(shí)與平面幾何、立體幾何知識(shí)相結(jié)合，對(duì)此應(yīng)會(huì)正確分析和正確計(jì)算。

解析幾何部分，坐標(biāo)法以及直線和二次曲線的概念、方程、性質(zhì)是必須掌握的。具體地說(shuō)，就是距離公式、定比分點(diǎn)要能熟練運(yùn)用；求軌跡的方程、給方程畫(huà)曲線、利用點(diǎn)在曲線上的坐標(biāo)滿足方程解決有關(guān)問(wèn)題；直線方程的各種形式、二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其中各種參數(shù)間的關(guān)系、曲線與直線間的位置關(guān)系，應(yīng)該作為重點(diǎn)對(duì)待。

三

在復(fù)習(xí)的方法上，要勤于思考，要?jiǎng)幽X筋。下面從讀書(shū)和作題兩個(gè)方面談?wù)剰?fù)習(xí)方法問(wèn)題。

先說(shuō)讀書(shū)。讀書(shū)的公式應(yīng)該是：讀書(shū)—思考，就是要通過(guò)讀書(shū)掌握知識(shí)要點(diǎn)以后，還要在頭腦里對(duì)知識(shí)進(jìn)行一系列的加工：

首先，要將知識(shí)進(jìn)一步深化，努力抓住知識(shí)的本質(zhì)。例如，在學(xué)了字母表示數(shù)以后，應(yīng)該認(rèn)識(shí)到公式（a＋b）（a-b）＝

（此處內(nèi)容詳見(jiàn)原版面）這樣的題，至少應(yīng)該想到可以解出sinθ、cosθ，把它們平方再相加，消去θ以后整理出求證的式子。（此題還可直接將已知兩式平方相加去做）。

其次，要把知識(shí)系統(tǒng)化。把知識(shí)組織在一定的系統(tǒng)中，更易于理解、記憶，也更便于應(yīng)用。所以，讀書(shū)以后一定要把前后的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比、聯(lián)想，理出它們的來(lái)龍去脈和各種關(guān)系，把知識(shí)系統(tǒng)化。系統(tǒng)化的具體辦法是多種多樣的：可以依知識(shí)發(fā)展的層次建立系統(tǒng)，這類(lèi)的例子最典型的就是三角中由加法定理派生出來(lái)的那一組公式；也可以按應(yīng)用把知識(shí)進(jìn)行歸納，如韋達(dá)定理的應(yīng)用；此外，還可以用一種我們稱(chēng)為“知識(shí)鏈”的方式把知識(shí)系統(tǒng)化，因?yàn)樗苓m合于在總復(fù)習(xí)中使用。如在復(fù)習(xí)判別式時(shí)，可以列出這樣的式子，把有關(guān)知識(shí)串起來(lái)：

…←→△=○有二相等實(shí)根←→完全平方←→真切←→…

這樣，就把知識(shí)由點(diǎn)串成了鏈，構(gòu)成了網(wǎng)。不難想象，誰(shuí)的頭腦中這類(lèi)知識(shí)鏈越多越長(zhǎng)、知識(shí)網(wǎng)越大，那么他的解題能力就會(huì)越強(qiáng)。

再說(shuō)做題。做題時(shí)應(yīng)用心思考，有意識(shí)地總結(jié)方法、探索規(guī)律、積累經(jīng)驗(yàn)。這是一種有心人的做法，會(huì)得到事半功倍的效果。具體來(lái)說(shuō)：

首先，要抓題型。數(shù)學(xué)題浩如煙海，但又是可以分成類(lèi)的，因此也是可以逐類(lèi)掌握的。數(shù)學(xué)題的這種類(lèi)，就是人們說(shuō)的題型。以二次函數(shù)部分的題目為例，主要的可以歸納成四種題型：①由解析式去研究函數(shù)性質(zhì)。如，求二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)的增減情況以及何時(shí)函數(shù)為正（負(fù)）值……；②由函數(shù)的某些性質(zhì)、特點(diǎn)、條件確定函數(shù)的解析式。如，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（2，－3），并且過(guò)點(diǎn)（0,1），求其解析式；③利用描點(diǎn)或平移畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；④極值問(wèn)題。在復(fù)習(xí)中，抓住它們，知識(shí)就不是一點(diǎn)一點(diǎn)地獲得，而是成片成塊地解決了，可以產(chǎn)生以少勝多的效果。

其次，要注意抓方法。復(fù)習(xí)中，一定要切實(shí)理解并會(huì)運(yùn)用分析法、綜合法、比較法、數(shù)學(xué)歸納法等解證題目的基本方法。此外，還應(yīng)通過(guò)做題后的思考，積累一些具有方法意義的經(jīng)驗(yàn)。如，特殊化的方法，即把某些已知條件特殊化（如取特殊角或特殊值），再研究由此得出的結(jié)論，從而找到解題思路；又如，統(tǒng)一化的方法，就是以某種標(biāo)準(zhǔn)（底、指數(shù)、某字母、某一邊長(zhǎng)、某一角度等）把所遇到的式子或問(wèn)題進(jìn)行整理，從而更容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的關(guān)系。再有，針對(duì)每種題型，總結(jié)出所需用的方法和一般步驟，使今后解這種題時(shí)，有個(gè)基本的程序可遵循，也是十分必要的。如，確定函數(shù)解析式的方法主要是待定系數(shù)法，其主要程序是根據(jù)已知條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組，解出各系數(shù)，然后代入待定式即可，對(duì)于二次函數(shù)，設(shè)待定式時(shí)，如果已知函數(shù)的極值、拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)，常設(shè)為y＝（此處內(nèi)容詳見(jiàn)原版面）。

第三，要抓規(guī)律。一個(gè)題目，僅做出解答，還不算完，應(yīng)該回味咀嚼一番。除了要思考其題型和方法之外，還應(yīng)該力爭(zhēng)從中看出一些具有規(guī)律性的東西。對(duì)于一組題目，做完以后則更應(yīng)聯(lián)系起來(lái)思考，努力找出更有普遍意義的東西。以解“如果（此處內(nèi)容詳見(jiàn)原版面），求此等差數(shù)列”為例，解完以后可以做類(lèi)似如下的思考：①在數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原則是幾個(gè)獨(dú)立條件決定幾個(gè)未知數(shù)，本題只明顯地給出了兩個(gè)已知條件，因此必須用心去尋找不明顯的隱條件（本題用“等差數(shù)列”幾個(gè)字表現(xiàn)出來(lái)）。從而有（此處內(nèi)容詳見(jiàn)原版面）由此取得經(jīng)驗(yàn)，今后解題時(shí)，要注意“隱條件”的利用；①此題若先根據(jù)“等差數(shù)列”這一條件，將（此處內(nèi)容詳見(jiàn)原版面）。表示出來(lái)，也可以解決。由此想到很多等差數(shù)列的問(wèn)題都可以統(tǒng)一到等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素a和d去解決，這一條也可以做為經(jīng)驗(yàn)積累下來(lái)。同時(shí)，這也是“統(tǒng)一化”方法的一次應(yīng)用，通過(guò)它又可以加深對(duì)這一方法的體會(huì)。再如，積累解各種方程的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：超越的化成代數(shù)的，無(wú)理的化成有理的，分式的化成整式的，高次的化成低次的，多元的化成一元的。這類(lèi)規(guī)律雖然籠統(tǒng)、抽象，但它們對(duì)解題卻具有指導(dǎo)意義。

以上通過(guò)對(duì)讀書(shū)和做題兩個(gè)方面談了如何抓基本知識(shí)和基本方法的復(fù)習(xí)。除此之外，復(fù)習(xí)中，還應(yīng)隨時(shí)注意提高自己的計(jì)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力。同時(shí)，也要注意訓(xùn)練自己具有一套敘述完整、步步有據(jù)、認(rèn)真仔細(xì)等良好習(xí)慣。前幾年高考中，這些方面出現(xiàn)的錯(cuò)誤和問(wèn)題不少，教訓(xùn)值得我們記取。