投資組合保險——原理及應用

編者按：自從第一只成功市場化運做的交易所基金（Exchange-TradedFunds，ETFs）——Spiders于1993年產生以來，不到10年的時間，ETFs資產規模迅速膨脹。截止到2002年8月底，全球范圍內已有257只ETF，總資產值超過1242億美元，成為全球基金業發展中越來越重要的組成部分。

ETFs的成功，并非一蹴而就。ETFs共經歷了投資組合保險（PortfolioInsurance）→超級基金（SuperTrust）→交易所基金（ETFs）3個階段。前兩個階段由于金融產品自身的內在缺陷或者受市場競爭的影響，均以失敗告終。ETFs則汲取了前兩個階段的教訓，取得了成功。回溯ETFs的發展歷程，可以從理論上了解金融工程的核心——無套利思想和組合分解技術，了解金融產品設計實務及走向市場時所面臨的管制、競爭、以及技術問題。這對于發展適應我國投資者需求的ETFs或其他金融產品很有借鑒意義。

本欄目推出的“從組合保險到交易所交易基金”系列文章，將分3篇詳細闡述組合保險、超級基金、ETFs的金融工程原理以及實際運作時遇到的問題。本期文章主要追溯ETF最初的發展源頭——組合保險的原理及運作。

本欄目主持人宋逢明教授通過本刊向熱心讀者發出邀請，歡迎致力于金融工程研究和開發的同仁及對金融工程有濃厚興趣的人士，參與本欄目在這個平臺上，對共同關心的問題進行探討。

投資組合保險（PortfolioInsurance，PI）是一種交易策略，利用期權定價理論中的動態復制技術為投資者在股票市場下跌時提供保護。PI在20世紀80年代早期和中期取得了成功。加州大學伯克利分校的兩位教授Leland和Rubinstein，是期權和金融工程方面的專家。他們于1976年開始合作，致力于將期權理論中的最新理念應用于解決投資經理面臨的各種難題。1981年，他們聯合曾在華爾街工作的O‘Brien，成立了LOR公司，將其成果商業化，利用PI交易策略為客戶管理資產。從1981年到1987年，LOR公司管理（直接或者授權管理）的資產從3000萬美元增長到500億美元。

投資組合保險的兩類潛在需求者

投資組合保險在20世紀80年代早、中期存在兩類潛在需求者：一類是希望獲得平均預期收益的投資者，但是隨著財富的增加，其風險厭惡程度比平均水平上升得更快，比如養老基金、捐贈基金等。養老基金計劃的體制結構承擔損失的能力很差。對于養老基金的管理者來說，由于資產配置不當導致的資產貶值可能會危及他們的飯碗，但是資產的突然增值并不能為他們帶來與之對稱的事業上的好處。這種不對稱的結果，使得PI對于養老基金的投資者很有吸引力。

另一類是對收益的預期比平均水平更樂觀，但是這類投資者希望減少部分或者所有市場下跌的風險同時又不喪失市場上升的好處，比如認為能夠通過選股優勢獲得高于市場回報的基金經理。使用期貨或遠期合約能夠消除所有的風險，但是享受不到市場上升的好處。PI或者期權可以避免這方面的缺陷。但1980年代早中期還沒有期權，3年期SP500指數賣權直至1991年才在交易所交易，PI就成為20世紀80年代為投資者提供的賣權的替代品。

投資組合保險原理——用股票和無風險證券組合動態復制賣權

投資組合保險（PI）的原理是金融工程典型的動態無套利均衡分析。它的依據是Black-Scholes期權定價模型。

賣權（看跌期權）P、標的物股票S和無風險證券L的無套利關系如下：

我們定義Delta為期權的價格變化對其標的資產價格變化的比率，即Delta=。這個關系式表明：用Delta份標的物股票和價值L的無風險證券復制出賣權P。為了使復制全過程成立，必須始終動態保持住以上關系，也就是說，必須不斷調整Delta和L。因此，這種復制過程通常也被稱為Delta復制。

這個原理還可以通過圖1來理解：

圖1中曲線表示賣權的價值，它與標的物價格呈反向變動，但并非線性關系。因此采用數額不斷調整的標的物的空頭和無風險證券組合來復制賣權的收益狀況，如圖1中黑線所示。

舉例：復制賣權的過程

Black-Scholes期權定價公式中的賣權定價是：

設S為一股票（不考慮市場摩擦產生的交易成本，股票不分紅），無風險利率rf=10%，標的股票波動率σ=20%，標的股票現在的價格S=100，賣權執行價X=100，到期日T=3。則這樣一份歐式三年期賣權現在的價值根據上面的期權定價公式應為P=3.1567。

（1）用股票空頭和無風險證券多頭復制賣權：

本例中Delta=-0.14935。

（a）賣空0.14935單位的S：-14.935

（b）買入價值為18.0917的無風險證券

復制組合的價值：18.0917-14.935=3.1567，與看跌期權價值相等。

（2）當S價格下跌1%即S=99時：

根據期權公式計算出的賣權價值變為：3.30947

此時（1）步中（a）項的價值變為：-14.935*0.99=-14.78565

復制組合的價值變為：18.0917-14.78565=3.30605，與看跌期權的價值基本相等。

其中的微小差別是由Delta的改變引起的，Delta變為：-0.156196。因此需要對復制組合進行調整。此調整屬于自融資交易。

（a‘）在（1）步中（a）項的基礎上再賣空價值為（0.156196*99-14.78565）=0.677754的股票S：-0.156196*99=-15.4634

（b‘）將在（a‘）中賣空所得投入無風險證券：18.0917+0.677754=18.76945

調整后復制組合的價值為：18.76945-15.4634=3.30605。

（3）當S價格上漲1%即S=101時：

根據期權公式計算出的賣權價值變為：3.01068

此時（1）步中（a）項的價值變為：-14.935*1.01=-15.08435

復制組合的價值變為：18.0917-15.08435=3.00735，與看跌期權的價值基本相等。

其中的微小差別也是由Delta的改變引起的，Delta變為：-0.142771。因此需要對復制組合進行調整。調整同樣屬于自融資交易。

（a‘‘）在（1）步中（a）項的基礎上買入價值為（15.08435-0.142771*101）=0.66453的股票S：-0.142771*101=-14.41982

（b‘‘）賣出0.66453的無風險證券，將所得資金投入（a‘‘）：18.0917-0.66453=17.42717

調整后復制組合的價值為：17.42717-14.41982=3.00735。

可見在標的物價格變化較小時，復制組合和它模擬的看跌期權價值有較好的吻合。

需要說明的是，在實際進行投資組合保險時，LOR公司并非直接買賣股票，而是通過指數期貨來完成保險操作的。其原理如下：

首先，遠期價格與現價之間存在著以下無套利關系：F=。在前面的動態復制過程中，看跌期權的復制是通過賣空標的資產同時投資于無風險證券來實現的，這實際上與現在就賣出遠期合約是等價的。將上式代入期權定價公式得：

也就是說，這時為動態復制看跌期權，需要賣出遠期合約的金額為所要保值的投資組合金額的倍。

由于期貨和遠期合約具有密切的關系，因此可以用指數期貨來取代遠期合約。指數期貨曾經極大地促進了投資組合保險的發展，因為它既可以不觸動客戶的投資組合，又可以大大降低成本（當時交易一輪股票的成本大約是60-80個基本點，而交易一輪指數期貨的成本大約是6-8個基本點）。

投資組合保險的內在缺陷

令人遺憾的是，在1987年10月19日“黑色星期一”，美國股市發生崩盤時，投資組合保險并沒有如投資者預期的那樣完全彌補資產下跌的損失。這次市場暴跌將PI這種交易策略的內在缺陷非常明顯地暴露了出來。

我們繼續用前面的例子來加以說明：

假定出現狀況（1）：S價格下跌25%：

根據期權定價公式計算出賣權的價值為9.79743。

此時上面（1）中（a）項的價值變為：-14.935*0.75=-11.20125

復制組合的價值變為：18.0917-11.20125=6.89045，與看跌期權的價值發生了較大的偏差。

問題在哪里呢？其實，是價格的巨大變化使得Delta發生了巨大的變化，來不及調整復制組合使得復制效果變得很差。

在上面的例子中，Delta變為-0.417316。需要對復制組合進行調整：再賣空價值為（0.417316*75-11.20125）=20.09745的證券組合S投資于無風險資產，并補入資金（9.79743-6.89045）=2.90698，投資于無風險資產，才能復制這一看跌期權。

我們同樣可以通過圖來解釋這個問題：

圖2中的曲線是看跌期權價值隨標的物價值變化的函數。標的物當時價格為S，曲線在橫坐標為S處的切線的斜率為Delta。復制期權實際上如上例所示：賣空Delta*S的標的資產（為方便起見，這里對Delta取絕對值），購買價值為L的無風險證券，復制組合實際上是L-Delta*S。當S變化時，切線會發生旋轉，Delta和L都會發生變化，這也就是動態調整過程?？梢?，標的物和無風險證券的靜態組合只能復制直線的收益狀況，連續不斷調整的動態復制組合才可以復制出曲線的收益狀況。

圖2中的切線實際上是靜態的復制組合隨標的物價值變化的函數。當標的物價格變化、復制組合還來不及調整時，復制組合的價值隨標的物價格的變化而在這條切線上變化，而期權的變化情況卻為圖中所示的曲線。由于交易成本的存在，不可能每時每刻都對復制組合進行調整，所以，在兩次調整之間，這種復制實際上是用切線來復制曲線。

當標的物價格的變化比較小時，即價格在切點附近變化時，切線和曲線吻合的較好，可以近似地用切線來代替曲線，這種復制的效果比較好。但是當價格發生跳躍性變化，或者由于交易成本太高而不能很頻繁地調整復制頭寸，使得兩次調整之間標的物價格變化較大，復制的效果就會很差。比如圖2中標的物價格突然從S下降到S‘，復制組合的價值的上升幅度會比所要復制的期權價值的上升幅度低出很大一塊來。這部分實際上是投資者所面臨的損失。

在1987年的股市崩盤中，SP500指數和道瓊斯指數在6天里下跌了三分之一，價格發生了跳躍性的巨大波動，而復制組合的頭寸來不及調整，導致了投資者的損失不能夠得到完全彌補。

投資組合保險外在缺陷

除了以上揭示的內在缺陷，“黑色星期一”還暴露了投資組合保險這種Delta避險策略所存在的其他問題。

第一，PI策略可能會增加市場的波動率。當市場價格下跌時，將使得證券組合管理者要么賣出股票，要么賣出指數期貨合約。這可能加速市場價格的下跌。出售股票很可能會直接迫使指數進一步下降；出售指數期貨合約有可能驅使指數期貨價格下跌，根據套利機制，這將對股票產生出售壓力，從而驅使市場指數也下降。同樣，當市場價格上漲時，這些證券組合保險策略促使投資者或買入股票或買入期貨合約，于是更加劇了市場價格上漲。實際上，新聞界和負責研究股市崩潰的總統委員會都認為正是由于PI的存在，加劇了股市的崩潰。

第二，股票指數的巨幅下跌以及指數期貨交易無法進行，都使得PI的使用者無法連續、動態地復制看跌期權。因為指數套利者用于聯系期貨市場和股市市場的自動交易系統DOT（DesignatedOrderTurnaround）當時出現延緩。

第三，指數期貨理論上和實際上的價格偏差，使得期貨和股市之間的套利機制被打破，導致基點差風險。

第四，預期的波動率突然增大，導致使用期權避險的成本突然增加。SP500指數在股市崩盤時，波動率由20%飆升至60%。劇烈的波動又引起期權價值的上升，需要投入新的資金于復制組合中。

仍使用前面的例子加以說明：

股票波動率σ=20%時，看跌期權價值為：3.1567。賣空0.14935單位的S：-14.935，買入價值為18.0917的無風險證券可以復制出這一期權。

當σ=60%時，看跌期權價值變為：22.8598，Delta變為：0.209462。需要再賣空（20.9462-14.935）=6.0112單位的標的資產購買無風險證券，并且再投入資金（22.8598-3.1567）=19.7031用于購買無風險證券，才能復制這一看跌期權。

第五，動態復制策略為客戶帶來流動性需求問題，使之蒙受損失。市場的快速反彈同樣會對PI的使用者不利。當市場下跌時，LOR已經為客戶設置了大量的期貨空頭頭寸，而當市場指數上漲時，客戶需要為指數期貨空頭追加保證金，而期貨市場的結算標準又要求客戶在一天之內籌集到這些資金，那些手頭沒有空余資金的客戶只能出售股票來籌集資金，但股票交易是在5天內結算，這樣，出售的股票不能立刻換回現金，無法滿足期貨方面融資需求，投資者或者被迫去尋找其他現金來源，或者以特殊條件結算，低價拋售股票。

結語

投資組合保險失敗了兩位教授創辦的LOR公司也受到重創，旗下管理的資產從500億美元急劇縮水到100億美元。然而，LOR公司并沒有氣餒，他們抓住新的市場需求，設計出新產品——超級基金（SuperTrust）來代替組合保險。