數(shù)學(xué)天才碩果輝煌

有關(guān)一項(xiàng)驚人科學(xué)發(fā)現(xiàn)的新聞見(jiàn)諸世界傳媒。傳媒報(bào)道說(shuō)，一個(gè)國(guó)際天文學(xué)家小組一直在研究150億年前創(chuàng)造了宇宙的“大爆炸”所遺留下來(lái)的熱量。研究小組在分析了這一熱量中的“熱點(diǎn)”模型后，得出一個(gè)令人難以置信的結(jié)論：構(gòu)成宇宙的空間結(jié)構(gòu)是平坦的。

對(duì)大多數(shù)人而言，太空有個(gè)“形狀”的概念令人難以置信。但是對(duì)科學(xué)家來(lái)說(shuō)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著一個(gè)始于150多年前的故事的最新結(jié)局，標(biāo)志著一位堪稱(chēng)有史以來(lái)最偉大的科學(xué)家的研究成果的最新轉(zhuǎn)機(jī)。這個(gè)科學(xué)家就是卡爾·弗里德里希·高斯。

這個(gè)宇宙學(xué)的發(fā)現(xiàn)只不過(guò)是表明高斯的理論在他去世將近150年后依然影響著我們的實(shí)證之一。查閱任何一本科學(xué)辭典，人們會(huì)發(fā)現(xiàn)高斯的名字出現(xiàn)在像統(tǒng)計(jì)學(xué)和戰(zhàn)爭(zhēng)這樣差異甚大的領(lǐng)域中--在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，鐘形的高斯曲線在描述人口特點(diǎn)時(shí)發(fā)揮著關(guān)鍵作用，而在戰(zhàn)爭(zhēng)中，核潛艇要進(jìn)行“消磁”操作（這與高斯的磁學(xué)研究密不可分）以消除會(huì)泄露其行蹤的磁場(chǎng)。

高斯在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的每一個(gè)分支--從純而又純的純數(shù)學(xué)，到最講究實(shí)用的應(yīng)用數(shù)學(xué)--中都發(fā)表過(guò)重要的研究成果，這是他之前和之后的任何數(shù)學(xué)家都比不上的。他奉行的苛刻標(biāo)準(zhǔn)使得他拒絕宣布其他許多研究成果，因?yàn)樗J(rèn)為這些研究缺少嚴(yán)格的求證。于是高斯將一些重要發(fā)現(xiàn)秘而不宣，學(xué)者們現(xiàn)在認(rèn)為，這些發(fā)現(xiàn)原本可以把數(shù)學(xué)朝前推進(jìn)半個(gè)世紀(jì)。

為數(shù)學(xué)而生：神童出世

高斯在很小的時(shí)候就躋身于天才之列。他于是1777年出生在德國(guó)不倫瑞克一個(gè)勞動(dòng)者家庭。有一天，他讓自己的家人認(rèn)識(shí)到他那令人驚嘆的數(shù)學(xué)天賦，那天，高斯在看父親算賬，小卡爾尖聲說(shuō)算錯(cuò)了，并對(duì)父親說(shuō)出了正確的數(shù)字。父親重算的結(jié)果證明小卡爾是對(duì)的，這讓父親大為震驚--因?yàn)檫@孩子剛剛兩歲。

高斯10歲的時(shí)候，他的數(shù)學(xué)能力甚至超過(guò)了他最好的老師。在第一次上數(shù)學(xué)課的時(shí)候，老師布置給高斯和同學(xué)們的作業(yè)是做等差級(jí)數(shù)的加法運(yùn)算--所謂等差級(jí)數(shù)是指一系列差值恒定的數(shù)字，如371、413、455等。沒(méi)等老師解釋完題目，高斯就說(shuō)出答案。高斯的同學(xué)花了一個(gè)小時(shí)才做完這道高斯幾乎馬上就完成的題--即便如此，也只有高斯一個(gè)人的答案是正確的。他為這種級(jí)數(shù)題歸納出一個(gè)公式，代入相應(yīng)的數(shù)字，很快解出了這道題，所有這一切都是在他腦子里進(jìn)行的，快得如同閃電一般。

高斯在心算和數(shù)學(xué)兩方面了不起的數(shù)學(xué)天賦逐漸引起了不倫瑞克公爵的注意，他同意為這個(gè)孩子支付學(xué)費(fèi)。上大學(xué)后，少年高斯便著手鉆研其他學(xué)者（包括牛頓）的巨著并開(kāi)始了他最初的數(shù)學(xué)研究。

高斯的早期研究成果涵蓋了純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)兩個(gè)領(lǐng)域，這也預(yù)示了他后來(lái)的學(xué)術(shù)生涯。到19歲時(shí)，他已經(jīng)解決了有關(guān)整數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題曾令當(dāng)時(shí)最好的數(shù)學(xué)家束手無(wú)策。高斯還發(fā)明了最小二乘法，這個(gè)方法適用于確定通過(guò)觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)的最佳曲線。他還發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)和幾何圖形（如三角形、正方形和五角形）之間的關(guān)系，并利用這種關(guān)系說(shuō)明如何做出一個(gè)規(guī)則17邊形--這個(gè)成就甚至超越了古希臘最偉大的幾何學(xué)家的成就。

這些成就中的任何一項(xiàng)都可以確保高斯在數(shù)學(xué)巨子的神殿中占據(jù)一席之地，但他還只是剛剛起步。在進(jìn)入德國(guó)戈丁根大學(xué)之后，他于22歲時(shí)完成了博士論文。他的論文有史以來(lái)第一次證明了作為求解每一個(gè)代數(shù)方程基礎(chǔ)的代數(shù)基本定理。

對(duì)行星預(yù)測(cè)：一舉成名

盡管這些發(fā)現(xiàn)很重要，但是它們并沒(méi)有使高斯在國(guó)際上得到應(yīng)有的承認(rèn)。到1801年，情況有了改變，當(dāng)時(shí)意大利一名天文學(xué)家聲稱(chēng)發(fā)現(xiàn)了一顆位于火星和木星之間的新行星。

其他天文學(xué)家爭(zhēng)相證實(shí)這個(gè)發(fā)現(xiàn)，但是新行星消失在太陽(yáng)令人炫目的強(qiáng)光中--沒(méi)有人知道這顆新行星下一次將出現(xiàn)在什么地方。高斯抓住這個(gè)機(jī)會(huì)一舉成名。

通過(guò)用他的最小二乘法處理對(duì)這顆新行星不多的幾次觀測(cè)結(jié)果，高斯預(yù)測(cè)到了新行星下次出現(xiàn)的地點(diǎn)。幾個(gè)月之后，天文學(xué)家把望遠(yuǎn)鏡指向他預(yù)測(cè)的方向，再度發(fā)現(xiàn)了這顆新行星，其出現(xiàn)位置正是高斯所預(yù)言的地方。天文學(xué)家把這顆星命名為谷神星，它是目前所知的第一顆“小行星”，是火星和木星之間成千上萬(wàn)顆沿軌道飛行的大石塊之一。谷神星的再度發(fā)現(xiàn)給高斯帶來(lái)了國(guó)際聲譽(yù)，當(dāng)時(shí)他年僅24歲。

高斯在等待預(yù)言獲得證實(shí)的日子里，也沒(méi)有虛度時(shí)光。此前幾個(gè)月，他出版了《算術(shù)研究》一書(shū)，這是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的著作之一。它的主題是數(shù)論，即討論整數(shù)如素?cái)?shù)等性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。高斯的著作為一直持續(xù)到今天的數(shù)論研究奠定了基礎(chǔ)。

繼對(duì)谷神星的研究之后，高斯逐漸把自己的聰明才智用在應(yīng)用型科學(xué)難題上。1807年，他成為戈丁根大學(xué)的天文學(xué)教授，此后一直留在戈丁根大學(xué)，一直到去世。

兩年后，高斯又發(fā)表了第二部著作《天體運(yùn)動(dòng)理論》，這部著作闡述了如何計(jì)算軌道以及考慮太陽(yáng)系中所有行星的萬(wàn)有引力。今天的天文學(xué)家還在使用他的這些方法。

研究幾何學(xué)：秘而不宣

高斯隨后把注意力轉(zhuǎn)到地球研究方面。幾千年來(lái)，人們一直認(rèn)為地球是個(gè)完全的球體，直到后來(lái)艾薩克·牛頓表明地球的旋轉(zhuǎn)使得地球在赤道部位稍稍有些突起。在研究如何測(cè)量地球形狀時(shí)，高斯做出了一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)：任何物體表面形狀的計(jì)算，都可以通過(guò)檢驗(yàn)它是否適用幾何學(xué)的一般規(guī)則來(lái)進(jìn)行。

在2000多年前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得確定了這些規(guī)則，例如認(rèn)為平行線不管延伸多長(zhǎng)都不會(huì)交叉。但是高斯認(rèn)識(shí)到，歐幾里得只是假設(shè)平行線是畫(huà)在一個(gè)平坦表面上的。在曲面（如球面或行星表面）上，歐幾里得的規(guī)律就不適用了--正如任何地球儀所顯示的那樣：經(jīng)線在赤道以平行線形式出發(fā)，但是卻在南北兩極交叉。于是高斯開(kāi)始向非歐幾里得幾何學(xué)研究邁進(jìn)。在非歐幾里得幾何學(xué)里，教科書(shū)上的所有常用規(guī)則都不再適用。例如，在討論非歐幾里得平面時(shí)，三角形的三角之和不再是180度，圓的周長(zhǎng)不再等于其直徑與圓周率π之積。

高斯給出了一條能夠解決這一問(wèn)題以及其他許多問(wèn)題的公式。例如，這個(gè)公式證明了地圖測(cè)繪人員為什么永遠(yuǎn)無(wú)法繪制出一張完美的世界地圖：球體表面本身有彎曲度，不可能將其“熨燙”得不留一點(diǎn)皺折。相比之下，圓柱體的曲面可以完美地展平--這表明，盡管圓柱體曲面看起來(lái)像是彎曲的，但是實(shí)際上并不彎曲。盡管獲得了這些重要的發(fā)現(xiàn)，但高斯卻一直把他的非歐幾里得幾何學(xué)研究成果秘而不宣：他似乎沒(méi)有勇氣挑戰(zhàn)2000多年來(lái)的正統(tǒng)觀念。

幾年后，其他科學(xué)家重新提前了同樣的概念，并開(kāi)始加以利用。這些科學(xué)家包括艾爾伯特·愛(ài)因斯坦，他于1915年把非歐幾里得幾何學(xué)作為他新提出的廣義相對(duì)論的核心。根據(jù)廣義相對(duì)論，萬(wàn)有引力是空間和時(shí)間累積彎曲的結(jié)果，空間和時(shí)間的彎曲就像是一塊巨大的橡膠板被炮彈打中一樣。用廣義相對(duì)論來(lái)解釋宇宙，可以證明宇宙既可以像臺(tái)球桌桌面那樣呈零彎曲，也可以像球體那樣呈正彎曲，還可以像馬鞍那樣呈負(fù)彎曲。

去年4月，對(duì)宇宙大爆炸遺留下來(lái)的外層空間熱量進(jìn)行分析的開(kāi)文學(xué)家證明，高斯有關(guān)無(wú)須離開(kāi)物體表面就能測(cè)量其彎曲度的說(shuō)法是正確的。他們測(cè)量了宇宙本身的彎曲度---結(jié)果無(wú)疑會(huì)讓歐幾里得高興：宇宙原來(lái)是平坦的。

勇闖新領(lǐng)域：兩項(xiàng)貢獻(xiàn)

到了1830年，高斯已經(jīng)50多歲了，但是他仍在尋找新的挑戰(zhàn)。他與德國(guó)物理學(xué)家威廉·韋伯合作，開(kāi)始整理電磁學(xué)理論，這項(xiàng)研究在當(dāng)時(shí)毫無(wú)頭緒。高斯建立了一套用于度量磁力的靈敏單位（其中的一個(gè)單位“高斯”沿用至今）并證明了有關(guān)電磁電荷效應(yīng)的一些關(guān)鍵定理。

高斯后來(lái)又做出了他對(duì)數(shù)學(xué)的最后一項(xiàng)重要貢獻(xiàn)：奠定拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)而言之，拓?fù)鋵W(xué)是對(duì)能夠扭曲、彎曲和拉長(zhǎng)、但不能撕破的物體的研究。拓?fù)鋵W(xué)有時(shí)被稱(chēng)為“橡膠板幾何學(xué)”，許多年來(lái)人們把它當(dāng)作是類(lèi)似于智力游戲的東西。但是高斯覺(jué)得它對(duì)于人們了解宇宙至關(guān)重要。

歷史證明高斯是對(duì)的：拓?fù)鋵W(xué)現(xiàn)在是理論物理學(xué)--包括對(duì)解釋宇宙中所有粒子的特性以及粒子間作用力的“萬(wàn)物至理”的探索--的核心。

高斯于1855年去世，享年78歲。他把自己的一生貢獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)，即便是在今天，他所留下的巨大智慧遺產(chǎn)仍然沒(méi)有枯竭的跡象。

[編譯自英國(guó)《焦點(diǎn)雜志》]