怎樣解開放型畫圖題

顧勁松　石燦輝

為了考查同學們用數學知識解決實際問題的能力，近幾年中考數學題中頻頻出現一種新題型———開放型畫圖題．這類問題的答案往往不止一個，需多角度進行探索、猜想和論證，才能把所有的符合條件的圖形作出來，因而能很好地培養我們的創新思維及動手能力．現以中考題為例，說明這類問題的解法．

例１探究規律：

如圖１所示，已知：直線ｍ∥ｎ，Ａ、Ｂ為直線ｎ上兩點，Ｃ、Ｐ為直線ｍ上兩點．

（１）請寫出圖中面積相等的各對三角形：_________；

（２）如果Ａ、Ｂ、Ｃ為三個定點，點Ｐ在ｍ上移動，那么，無論Ｐ點移動到任何位置，總有_________與△ＡＢＣ的面積相等．

理由是：_________．

解決問題：

如圖２所示，五邊形ＡＢＣＤＥ是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖．經過多年開墾荒地，現已變成如圖３所示的形狀，承包土地與開墾荒地的分界小路（即圖３中折線ＣＤＥ）還保留著．張大爺想過Ｅ點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多．請你用有關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案．（不計分界小路與直路的占地面積）

（１）寫出設計方案，并畫出相應的圖形；

（２）說明方案設計理由．

解：探究規律：（１）△ＡＢＣ和△ＡＢＰ，△ＡＯＣ和△ＢＯＰ，△ＣＰＡ和△ＣＰＢ．

（２）△ＡＢＰ．

平行線間的距離相等，無論點Ｐ在ｍ上移動到任何位置，總有△ＡＢＰ與△ＡＢＣ同底等高，因此，它們的面積總相等．

解決問題：（１）連接ＥＣ，過點Ｄ作ＤＦ∥ＥＣ，交ＣＭ于點Ｆ，連接ＥＦ，ＥＦ為所求直路的位置．畫法如圖４所示．

（２）設ＥＦ交ＣＤ于點Ｈ，由上面結論可知：Ｓ_△ＥＣＦ＝Ｓ_△ＥＣＤ，Ｓ_△ＨＣＦ＝Ｓ_△ＥＤＨ．

∴Ｓ_{五邊形ＡＢＣＤＥ}＝Ｓ_{五邊形ＡＢＣＦＥ}，Ｓ_{五邊形ＥＤＣＭＮ}＝Ｓ_{四邊形ＥＦＭＮ}．

評析：本題的探究規律可直接運用課本知識求解，比較容易．它是解決后續問題的基礎和條件．接著的解決問題比較困難，解決問題的關鍵是把實際問題化成數學問題．其實在探究規律中已有了明確提示，就是把這個問題看作是同底等高（面積不變）的三角形變換．

例２有一長方形餐廳，長１０米，寬７米，現只擺放兩套同樣大小的圓桌和椅子，一套圓桌和椅子占據的地面部分可看成半徑為１．５米的圓形（如圖５所示）．在保證通道最狹窄處的寬度不小于０．５米的前提下，此餐廳內能否擺下三套或四套同樣大小的圓桌和椅子呢？請在擺放三套或四套的兩種方案中選取一種，畫出設計示意圖．

提示：①畫出的圓應符合比例要求；

②為了保證示意圖的清晰，請你在有把握后才將設計方案畫在方格紙上．

說明：畫出符合要求的三個圓得５分，四個圓得８分．

解：擺放三套與四套的設計方案參考示意圖如圖６、圖７所示．

評析：這種類似游戲性質的畫圖問題，不僅能激發我們的學習興趣，而且還有相當的實用價值，進行這方面的練習，有助于培養觀察能力、動手能力以及創造能力．此題雖然簡單，但如忽視題中的附加條件（通道最狹窄處的寬度不小于０．５米），也容易造成構圖錯誤．

例３如圖８，現需測量一井蓋（圓形）的直徑，只有一把角尺（尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長度都長于井蓋半徑）．請結合圖形用文字說明測量方案，寫出測量步驟（要求寫出兩種測量方案）．

分析：這道開放性幾何作圖題的解法很多，僅列舉以下３種解法．

解法１：如圖９，把井蓋卡在角尺間，尺與井蓋交于點Ｂ，可測得ＡＢ的長度，井蓋的直徑為２ＡＢ．

設井蓋所在圓的圓心為Ｏ，連接ＯＣ、ＯＢ，由切線的性質得ＡＣ＝ＡＢ，又ＯＣ⊥ＡＣ，ＡＢ⊥ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ，則四邊形ＡＢＯＣ為正方形．

解法２：如圖１０，把角尺頂點Ａ放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點Ｂ，另一邊與井蓋邊緣交于點Ｃ（若角尺另一邊無法達到井蓋邊上，把角尺當直尺用，延長另一邊與井蓋邊緣交于點Ｃ），度量ＢＣ長即為直徑．

解法３：如圖１1，把角尺當直尺用，量出ＡＢ的長度，取ＡＢ中點Ｃ，然后把角尺頂點與Ｃ點重合，一邊與ＣＢ重合，讓另一邊與井蓋邊交于Ｄ點，延長ＤＣ交井蓋邊于Ｅ，度量ＤＥ長度即為直徑．

評析：這道題是一道把幾何計算、論證與畫圖結合的好題，考查了同學們綜合運用幾何知識解決實際問題的能力．