事情不那么簡單

惱人的電梯

三百多年前，有個賭徒問法國數學家巴斯加，擲骰子時，怎樣計算落在某一面上的可能性？巴斯加對這個問題的回答就是“概率論”的開端。現在，“概率論”已經是數學的一個發展最快的分支。

在日常生活中，我們一般都是根據直覺或常識對可能性作出粗略的判斷。在大多數情況下，這是很可靠的。然而，在許多問題上，事實上的可能性與人們的想象的卻又相差很遠，有的甚至會使人感到吃驚。

物理學家喬治·伽侔曾經在一座七層的樓里工作，經常需要從他二樓的辦公室到六樓的一間辦公室去。也許有點奇怪，在等電梯的時候，他希望電梯正在往上來，而實際上電梯幾乎總是在由上往下走。“他們也許在樓頂制造電梯，一部一部往下放，都放到地下室里儲藏起來。”他嘟噥道。然而每當他要從六樓往下去的時候，停在他面前的電梯卻又總是上行的。

其實，對這種現象的解釋很簡單：如果你在低層等電梯，大多數時候電梯總在你上面，因此停在你那一層樓時它是下行的；相反，如果你在接近頂樓的高層等電梯，那么，電梯往往又在你下面，所以停在你面前時它是上行的。但是，人們往往憑直覺想象，認為不管在哪一層樓，開來的電梯是上行還是下行的可能性應該差不多。

生日的難題

概率計算最困難的問題之一，據信就是數學家們所謂的“生日難題”。假設你參加一個有23個人出席的聚會，有多大可能性其中有兩個人是同月同日出生的？也許，憑直覺你會感到，這種可能性很小。其實，在23個人中間，能有一對生日相同和這些人生日全部不同這兩種可能性是基本一樣的。

人越多，生日相同的可能性就增長得越快。如果是30個人，這種可能性就大于十分之七。如果是50個人，可能性就大于百分之九十七！也許以后在有23個或更多人的場合，你自己也會去試一試。順舉一例：在美國總統中，就有兩位生日是完全相同的：詹姆斯·波爾克和沃倫·哈丁都出生于11月2日。

流言為什么會不脛而走

還有一種現象使直覺概率判斷者大為震驚，那就是“小世界問題”。這種事情并不罕見：你遇到一個來自遠方的陌生人，通過交談，竟發現你們有一個共同認識的朋友。也許，你們之中有一個會吃驚地叫起來：“這個‘世界’太小了！”

確實如此。馬薩諸塞工學院的社會學家通過研究發現，在美國，平均每個人直接認識500個人。當然，每個人又都是許多不同的“熟人鏈”中的一個環節。他們進一步計算，結果隨意挑出兩個美國人來，例如說史密斯和布朗吧，那么他們倆相識的可能性只有二十萬分之一。但是，史密斯認識某人，某人又認識另一個人，而另一個人認識布朗，這種可能性卻高達一半以上。

心理學家斯坦利·米爾格萊姆曾經研究過“小世界問題”。他首先確定一個“目標者”——一個在馬薩諸塞州劍橋市正在學習當牧師的年輕人的妻子。然后，在堪薩斯州的維契托市又隨便找了一組人作為“出發者”，給他們每個人一份文件，叫他們寄給他們的一個最有可能認識那個“目標者”的熟人。接到文件的熟人依同樣辦法再把它寄給自己的熟人，使這條“鏈子”有希望地接續下去，直至連接到“目標者”。叫米爾格萊姆吃驚的是，僅僅過了四天，一個男人就把文件送給了“目標者”，說：“艾麗斯，這是給你的。”這個過程是這樣的：在堪薩斯的一個農人（“出發者”），首先把文件給了一個牧師，牧師把它寄給了他在劍橋的一個牧師朋友，這個人就把文件交給了艾麗斯。從“出發者”到“目標者”，這條“鏈子”只有兩個“中間人”！

在這次試驗中，各條“鏈子”的“中間人”數最少的是兩個，最多的是十個，平均數是五個。然而，如果事先叫人估計一下，大部分人猜想需要一百個。不難想象，這樣的“熟人網”便能很好地解釋，為什么一些流言、有意思的新笑話會那么迅速地傳遍全國。

直覺經常在犯錯誤

要求計算出某種結果的概率，就必須弄清有多少種其它各不相同的、同樣可能出現的結果。你拋起一枚硬幣，落地只會有兩種可能：面朝上或面朝下。所以，兩種可能的概率都是二分之一。但是換一個問題，你的直覺就不那么可靠了。

舉個例子：如果一個家庭有三個孩子，那么這三個孩子都是一種性別的可能性有多少？有人可能這樣推理：“至少有兩個肯定是一種性別；那么，第三個或者與那兩個相同，或者不同；所以，三個孩子同一性別的可能性是二分之一。”但是我們考察全部可能的結果，就會發現有八種不同的組合：男男男，男男女，男女男，男女女，女男男，女男女，女女男，女女女。所以，三個孩子同一性別的可能性應該是八分之二，即只有四分之一。

假設有一對夫婦希望要四個子女，是三男一女或三女一男的可能性大呢，還是兩男兩女的可能性大？大部分人猜想是兩男兩女可能性大。但我們列出所有可能的結果（有16種）就可看到：有六種組合是兩男兩女，兩種組合是四男或四女，但有八種組合卻是三一開的。所以，有一半的可能性是三男一女或三女一男，要高于兩男兩女。直覺又使我們錯了！

出錯的另一個原因是，人們在估計可能性的時候，往往假定一定的過程前后是有聯系的。其實不然。許多人設想，如果拋硬幣連續幾次都是面朝上落地，那么下一次很可能就是背朝上落地。其實，不論已經有多少次面朝上，下一次面朝上的可能性仍然有二分之一。

張甫卿／薦