“逐差法”在實驗中的實際應用及技巧

熊高云

摘 要：物理是一門以實驗為基礎的學科，實驗題是高考的必考題型，實驗中為了減小偶然誤差和充分利用實驗數據，經常采用多次測量求平均值的方法，本文通過分析用逐差法處理“研究勻變速直線運動”實驗的方向，給教學中的教師和學習中的學生提供了一些思路

關鍵詞：逐差法;實驗誤差;平均值

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0118-03

高中物理中，在用紙帶法測量加速度時，很多資料介紹逐差法，但是從考試和學生練習情況來看，很多學生對逐差法理解和掌握得并不是很好，究其原因，實際上是大部分學生對逐差法的操作過程和原理不理解、不熟悉導致的，而很多題中出了紙帶所給的段數不同，有的為奇數段，有的為偶數段，更讓學生困惑，這要求學對逐差法要有更深入的理解，靈活遷移的能力，因此，從根本上把逐差法的應用簡單化，使學生解題過程中有更輕松，從而得到了本篇文章研究的結果，現發出來與大學分享，同時歡迎大家的批評指正.

1 逐差法的適用條件——等差數列求公差

從理論上研究，一個物理量（因變量）隨另一個物理量（自變量）成線性規律變化時，如果自變量的變化選用等差遞增方式，則理論上講，因變量也應該是等差遞增的，也就是說因變量數列應是一個等差數列，但由于實驗測量時誤差的不可避免，實際測量得到的因變量的數列并不是嚴格的等差數列，在有的情況下，為了得到理論上需要的公差，就需要選用一種計算操作，實現多次測量求平均值的方法，從而求得誤差較小的公差值，這就是我們選用的所謂“逐差法”.

2 逐差法原理

如圖1為實驗中所得到的一條紙帶，相鄰兩點間的距離如圖所示，打點周期為T

由勻變速直線運動規律xm-xn=（m-n）aT2可得

x6-x3=3a1T2，x5-x2=3a2T2，x4-x1=3a3T2

解得

a1=x6-x33T2，a2=x5-x23T2，a3=x4-x13T2

求三個加速度的平均值即為

a-=a1+a2+a33=x6+x5+x4-x3-x2-x19T2

有學生疑惑為什么不利用Δx=aT2處理呢？即

x6-x5=a1T2，x5-x4=a2T2，x4-x3=a3T2，x3-x2=a4T2，x2-x1=a5T2

解得

a1=x6-x5T2，a2=x5-x4T2，a3=x4-x3T2，a4=x3-x2T2，a5=x2-x1T2

求五個加速度的平均值即為

a-=a1+a2+a3+a4+a55=x6-x15T2

由上述表達式可知，此方法只利用了紙帶中的兩段數據，偶然性很大即偶然誤差較大，所以不采用此方法.

3 逐差法的實際應用及小技巧

（1）當題所給紙帶中有偶數段數據（n段）且小于6段，可直接將n段平均分成兩大段，即前n2段和后n2段，加速度表達式中分子為后n2段之和減去前n2段之和，分母為總段數除以2再平方與時間間隔的平方的乘積，即為

a=（xn+xn-1+xn-2）-（xn-3+xn-4+xn-5）（n2）2T2

如紙帶為6段則用逐差法求加速度的表達式為

a-=x6+x（6-1）+x（6-2）-（x（6-3）+x（6-4）+x（6-5））（62）2T2

=x6+x5+x4-（x3+x2+x1）9T2

當紙帶中為偶數段且大于6段，處理數據時可直接去除第6段以后的而選用前6段數據處理，因為紙帶太長實際實驗中所打點已成弧形，即紙帶已不再做直線運動，再選用這此數據處理將造成的誤差很大

（2）當紙帶中的奇數段時，由逐差法原理可知，應去除某一段再求解，由于第一段距離較小，測量誤差較大，可去除第一段則將奇數段變成偶數段進行處理

4 逐差法在高考實驗題中的應用舉例

例1 （2019年全國高考真題）如圖2，某同學設計了測量鐵塊與木板間動摩擦因數的實驗.所用器材有：鐵架臺、長木板、鐵塊、米尺、電磁打點計時器、頻率50Hz的交流電源，紙帶等.回答下列問題：

（1）鐵塊與木板間動摩擦因數μ=（用木板與水平面的夾角θ、重力加速度g和鐵塊下滑的加速度a表示）

（2）某次實驗時，調整木板與水平面的夾角θ=30°，接通電源.開啟打點計時器，釋放鐵塊，鐵塊從靜止開始沿木板滑下，多次重復后選擇點跡清晰的一條紙帶，如圖3所示.圖中的點為計數點（每兩個相鄰的計數點間還有4個點未畫出），重力加速度為9.8 m/s2，可以計算出鐵塊與木板間的動摩擦因數為（結果保留2位小數）.

（1）由mgsinθ-μmgcosθ=ma，

解得：μ=gsinθ-agcosθ①

（2）由以上技巧可得逐加速度大小為a=SⅡ-SⅠ9T2得：SⅡ=（76.39-31.83）×10-2m，T=0.10 s，SⅠ=（31.83-5.00）×10-2m，故a=44.56×10-2-26.83×10-29×10-2 m/s2=1.97m/s2，代入①式，得μ=9.8×12-1.979.8×32=0.35

例2 （2020·浙江高考真題）在“探究加速度與力、質量的關系”和用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關系”實驗中

（1）都是通過分析紙帶上的點來測量物理量，下列說法正確的是.

A.都需要分析打點計時器打下的第一個點

B.都不需要分析打點計時器打下的第一個點

C.一條紙帶都只能獲得一組數據

D.一條紙帶都能獲得多組數據

（2）如圖4是兩條紙帶的一部分，A、B、C、…、G是紙帶上標出的計數點，每兩個相鄰的計數點之間還有4個打出的點未畫出.其中圖（填“甲”或“乙”）所示的是用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關系”的實驗紙帶.“探究加速度與力、質量的關系”實驗中，小車的加速度大小a=m/s2（保留2位有效數字）.

（3）在用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關系”實驗中，平衡阻力后，小車與橡皮筋組成的系統在橡皮筋恢復形變前機械能（填“守恒”或“不守恒”）.

答案：BC 甲 0.40 不守恒

解析

（1）AB.在“探究加速度與力、質量的關系”和用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關系”實驗中均不需要打下的第一個點，前者主要利用紙帶求解加速度，后者主要研究兩點間的動能的變化，無需從第一個點進行研究.故A錯誤，B正確;

CD.牛頓第二定律實驗探究一條紙帶只能求解一個加速度，找到加速度a與質量m和合外力F的一組對應關系;動能定理探究也是從一條紙帶上選擇兩個點作為一組數據進行過程分析，故C正確，D錯誤.

（2）甲圖中紙帶后邊是勻速直線運動，說明甲圖應為用橡皮筋“探究做功與物體速度變化的關系”實驗;

對乙紙帶采用逐差法求解加速度：

a=xDG-xAD9T2=0.40m/s2

（3）小車與橡皮筋在運動過程中，除了斜面的摩擦力外還會受到空氣的阻力作用，故平衡摩擦力運動過程中機械能不守恒.

從以上兩題可以看出，逐差法在高考中力學實驗中的地位，無論是運動學中的實驗，還是關于能量實驗中都要考查“逐差法”的應用.

逐差法在實驗中的應用，由于實驗數據較多，運算量大，學生在有限的考試時間內不可能進行推導公式，可利用上述的小技巧，可為學生節省時間，提高解題速度.

參考文獻：

[1] 熊志權.物理原來不能這樣考[M].成都：西南交通大學出版社，2012.

[責任編輯：李 璟]