對一道解三角形題的探究與思考

葉洪清

摘 要：本文通過一道高考數學模擬題，揭示平時學生在學習過程中的易錯點，從而有效激發學生的學習興趣，優化學生的思維，提高創新意識和解題能力，為新高考做好準備.

關鍵詞：三角函數;正余弦定理;數學思維;新高考

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0033-04

三角函數與解三角形是高考重點內容之一，也是學生較容易取得滿分的題型，但是筆者在一次參與高三數學聯考的閱卷過程中，發現較多學生對解三角形的大題束手無策，閱卷過程中也出現了較多的空白卷，針對該題的低得分率，本文作出了一些思考，現做簡要分析.

1 試題呈現

例1 （浙江省新高考聯考）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知cosC=14，a2=b2+12c2.

（1）求sin（A-B）的值;

（2）若c=10，求a和b.

試題分析 本題主要考查學生分析問題與解決問題的能力以及對基礎知識的綜合運用能力，極大程度上考查了學生的思維能力以及運算能力. 大部分考生對第（1）小題感到束手無策，覺得跟平時的解三角形題型不一樣，因此導致該題的得分偏低，但在閱卷過程中也出現了一些解題的亮點，但這些亮點僅僅是來自于平時數學成績優異的學生.

2 課堂論解

解法1 由正余弦定理與a2=b2+12c2，可得

cosB=a2+c2-b22ac=3c4a=3sinC4sinA.

結合cosC=14，可得cosBsinA=31516.①

同理可得

cosA=b2+c2-a22bc=c4b=sinC4sinB.

所以cosAsinB=1516.②

由①②，得

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=158.

解法2 由條件cosC=14與余弦定理推論，可得

a2+b2-c2=ab2.

再結合a2=b2+12c2，可得2a2+ab-6b2=0.

從而得到2a=3b，103a=c.

所以cosA=108，cosB=104.

所以sinA=368，sinB=64.

所以sin（A-B）=158.

點評 解法1與解法2都可以得到第（1）小題的正確答案，但是對學生的思維能力要求較高，而且運算過程較為繁瑣，只有具備較強的運算能力和邏輯推理能力才能得出正確答案.特別是解法2，先求得邊長之間的關系，然后再運用同角三角函數關系式求解正余弦值，計算量就會變得很大. 而考卷中給出的正解如下：

解法3 在△ABC中， 因為a2=b2+12c2，所以sin2A=sin2B+12sin2C .

即sin2A-sin2B=1532.

從而1-cos2A2-1-cos2B2=1532.

即cos2B-cos2A=1516.

所以cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]=1516.

從而2sin（A+B）sin（A-B）=1516.即2sinCsin（A-B）=1516.

又cosC=14，從而sin（A-B）=158.

點評 解法3先采用正弦定理進行邊化弦，采用倍角公式變形逆用進行降次，再進行配角，然后用兩角和的余弦公式展開化簡，最后進行求值，該解法過程非常順暢，對公式的應用也比較自然.

為何學生給出的解題過程與標準答案大相徑庭？是因為題型偏離了常規的命題意途？還是學生缺少這種解決新問題的能力？還是學生并沒有掌握課堂上的所學知識？我們再來看一個錯解：

錯解 由兩角和的正弦公式和余弦定理可得，

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=a·a2+c2-b22ac-b·b2+c2-a22bc=a2-b2c.

注意到a2=b2+12c2，從而sin（A-B）=c2.

又因為cosC=14，從而求得sinC=154.

所以sin（A-B）=158.

點評 該解題結果雖然是正確的，但是解題過程是錯誤的，而且錯的非常明顯，學生主要是對于正弦定理認識不足，直接將弦與邊等同起來，這也是大多數學生在平時運用正弦定理時容易犯的錯誤，但為何該解題過程得到了正確的答案？我們是否可以對該解題過程稍加修飾來獲得正確的答案呢？答案是肯定的.

解法4 由asinA=bsinB=csinC=k，可得

sinA=ak，sinB=bk，sinC=ck.

則sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=ak·a2+c2-b22ac-bk·b2+c2-a22bc

=a2-b2kc.

又因為a2=b2+12c2，

從而sin（A-B）=c2k=12sinC=158.從以上錯解中可以看出學生對基礎知識應用的條件不夠熟悉，只有等式兩邊都含有弦（邊）的時候才能通過正弦定理直接化為邊（弦），教師在正弦定理的應用教學中應該引入常數，讓學生自身去閱讀并領悟正弦定理所能應用的條件與情景，親身體驗新知識的接受過程，讓學生知其然，知其所以然. 事實上，學生的創造力是無窮的，我們教師在從教過程中也應該時刻滿足學生的好奇心，幫助示范引導，千萬不要直觀地否定學生的解答，盡量放慢課堂教學步伐，傾聽學生的奇思妙想，引導學生選擇不同的方法去解決各種新穎問題，并學會在不同方法的比較中領悟各種方法的本質以及適用的情境，從而突破解題瓶頸，達到靈活解題的目的.

其實，該試題命題者的本意在于考查學生對于正弦定理以及二倍角公式的運用，也考查學生的逆向思維能力和整體思維能力，但從學生解題的角度來看，學生更加傾向于運用余弦定理，因為題目中給出了條件a2=b2+12c2，形式恰好與余弦定理的形式相似，這與學生平時解題時形成的思維定勢有關，因此在平時教學中應該滲透數學思想與解題方法的應用. 另外，學生得分率偏低的原因也在于對求解sin（A-B）的題型感到陌生，一般的思路就是展開后分別求解正弦與余弦值（解法2），再代入求得原式的值，但由于本題的計算量偏大導致學生望而生畏，苦思冥想沒結果后最終選擇放棄. 而在平時的課堂教學中，教師不可能將所有千變萬化的高考題類型囊括在一起，更不可能在短短的一節課上講授所有高考難點，但是高考題萬變不離其宗，在講解高考知識點的同時，應當回歸課本教材，將考點與課本知識相融合，讓學生在理解基礎知識點的前提上，掌握其運用的前提與要求，加深對基礎知識的理解，掌握知識的全面性以及運用的靈活性，以促使學生形成綜合性的知識體系，提升學生對知識的敏感性，從而讓學生對所學知識點產生更加深刻的印象.

針對以上問題，筆者在講解該題時除了給出以上解法外，還指出了學生在解題過程中需要避免的問題，而讓筆者感到意外的是，學生通過比較條件，提出這么一個問題：是否有sin2A-sin2B=sin（A-B）sin（A+B）成立？如果等式成立，怎么證明？面對學生提出的這一奇怪結論，本人并沒有直接否定，而是引導學生思考，從剛才的解答過程與方法中尋找所要證明的元素，動員學生積極思考，運用已有的知識進行論證，因此結論成立是肯定的，證明過程只需運用二倍角公式以及參照解法3的步驟就可以得到此結論（此處省略），而且也為了讓學生加深對這一公式的記憶，證明過程由學生自己獨立完成，這也體現了學生的奇思妙想與驚人的創造力，敢于大膽猜想 ，積極嘗試.

在解答該高考題第（2）小問的過程中，我們不難發現，第（2）小問的解答方法比第（1）小問來得簡單，只需將所給條件c=10代入a2=b2+12c2，并用余弦定理結合cosC=14，聯立方程組就可以得到a和b的解，因此很多數學學習能力中等甚至偏下的學生都能獲得該小題的分數，反而那些中等偏上的學生卻因為對第（1）小問感到束手無策的同時也直接放棄了第（2）小問，后來筆者對這些學生都做了一些詢問，原來中等偏上的學生對整個大題產生了思維定勢，而中等偏下的學生抱著試試看的心態，觀察發現第（1）問與第（2）問沒有直接聯系，就放棄了第（1）小問，直接解答第（2）問，這也不失為好路徑，好心態！記得有一年的高考題，出題者故意打亂難易題目的順序，將難題放置于前，簡單題置后，考完后心態好的考生取得了好成績，心態不好的自然就沒能取得理想的成績，在2018年的浙江省數學高考試卷中，出題者一反常態，將最基本的三角函數基礎知識考于第一大題，而將數列壓軸改為函數壓軸，這給那些平時專攻數列壓軸題的優等考生來了個措手不及，而對于那些平時心態好的考生自然而然就能取得良好的高考成績了.

為加深學生對本節課所學知識的掌握程度，讓學生能夠將數學知識內容及其形態內化為認知經驗，使新舊認知充分碰撞，使所獲得的新認知具有心理意義，從而進一步提升學生的數學思維素養，提升解題的驅動力和數學學科的綜合素養，筆者給出了如下試題以供學生練習.

例2 （1）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B），試判斷△ABC的形狀.

（2）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2sin（A-B）=asinA-bsinB，a≠b.

（1）求邊c;

（2）若△ABC的面積為1，且tanC=2，求a+b的值.

3 解題反思

在對題目進行求解之后，我們應該讓學生進行自我解題反思，特別是進行實踐基礎上的理性反思，反思如何發現問題以及采取什么方法去解決問題，反思這其中運用了哪些基本的思想方法和技能技巧以及會發生怎樣的錯誤和原因，而在給學生平時的試題訓練中，也應當立足通性通法的考查，講究題型新穎，重在本質，以此來區分學生的數學核心素養，盡量給學生以“眼前一亮，煥然一新”的感覺.浙江省近幾年的數學高考命題設計大致也是從數學問題本身出發，構造含樸實的素材和豐富內蘊的試題，充分體現了數學的內在本質與現實背景，回歸教材，堅持出基礎題，考靈活題，突出對考生綜合能力的考查. 因此，我們教師的教學需要合理定位，立足教材，精選習題，在平時數學教學中充分認識學生的個體水平差異性，讓每位學生主動學自己的數學，正確應對每位學生的學習要求，給予學生充足的思考求解時間，準確定位高考目標，強調對運算能力和思維能力的培養，讓學生形成良好的思維品質，同時，在平時的課堂訓練與高考模擬中，也應該強調心態的重要性， 讓學生學會調整心態，從而應對紛繁復雜的高考試題.

4 感悟小結

新高考的改革對我們數學教師也提出了新的要求，特別是在平時的教學中，教師應當注重知識與發展的過程，通過一題多解，幫助學生理清知識的發展邏輯和知識網絡結構，通過變式拓展領悟知識的發生和發展規律，每一位數學教師都應該深入鉆研教材編排的意圖，研究教材中教學目標與教學內容，進而確定相應的教學方法和教學策略，提升自己的思想修養、文化素養和專業技能，加強數學知識發展的延續性與連貫性，突出知識點之間本身存在的內在聯系，增強數學教學的本質，關注概念的理解和運用，有意識地啟發學生多角度思考問題，引導學生學會比較方法的繁簡，培養學生透過現象看本質的眼光，拓展學生的數學理性思維，引導學生學會自主探究、自主鉆研，提升學生分析問題的能力以及解決問題的能力，幫助建立良好的認知結構，充分實現知識與能力的結合，讓學生理解數學知識的本質，積累數學思想和實踐的基本活動經驗，形成良好的數學學科核心素養.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]