經(jīng)典永不過時(shí) 好題經(jīng)常研究

彭光焰

摘 要：一些經(jīng)典高考題具有深刻的背景，豐富的內(nèi)涵，這些題目永不過時(shí)，值得我們老師經(jīng)常研究，用好這些素材，開展深度教學(xué)，一題多解，反復(fù)琢磨，可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高教學(xué)效益，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：經(jīng)典;高考題;解法

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0016-05

解三角形問題，形式直觀，背景新穎，創(chuàng)新性強(qiáng)，命題形式活潑多樣，知識(shí)交匯點(diǎn)多，思維方式多變，破解方法多樣，一直是歷年高考與競(jìng)賽命題中的基本考點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，有很好的選拔性與區(qū)分度，倍受關(guān)注.

1 題目呈現(xiàn)

試題 （2005年全國高考數(shù)學(xué)湖北理科第18題）在△ABC中，已知AB=463，cosB=66，AC邊上的中線BD=5，求sinA的值.2 解法探究

視角1 通過作輔助線，利用正余弦定理求解.

利用正余弦定理解三角形是解三角形中最基本方法，通過作輔助線把已知條件化歸到一個(gè)三角形中，然后再來求解.

解法1? 如圖1，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，

則DE∥AB，且DE=12AB=263.

設(shè)BE=x，在△BDE中利用余弦定理，得

BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos∠BED.

即5=x2+83+2×263×66x.

解得x=1，x=-73（舍去）.

故BC=2.

從而AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=283.

即AC=2213.

又因?yàn)閟inB=306，

故2sinA=2213306，解得sinA=7014.

解法2? 如圖2，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，則DE∥BC，且DE=12BC，BE=12AB=263.

設(shè)ED=x，在△BDE中利用余弦定理，得

BD2=BE2+DE2-2BE·DEcos∠BED.

即5=x2+83+2×263×66x.

解得x=1，x=-73（舍去）.

故BC=2DE=2（以下略）.

圖2????????? 圖3

解法3 如圖3，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E使BD=DE.

連接AE，CE，則四邊形ABCE為平行四邊形.

則BE=25.

設(shè)BC=AE=a，AC=b.

由余弦定理，得

b2=a2+（463）2-2a×463×66.①

由于平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊平方和，得

2[a2+（463）2]=b2+20.②

由①和②聯(lián)立，得

a=2，a=-143（舍去）（以下略）.

視角2? 通過構(gòu)造向量，用向量有關(guān)知識(shí)來求解.

在高中新教材中，正余弦定理就是利用向量來推導(dǎo)的，向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)之后，又為我們解決三角形問題提供了一條新途徑.利用向量來解決有兩種方法.

解法4 由圖3可知，

BA+BC=BE.

則（BA+BC）2=（BE）2.

即BA2+2BABCcosθ+BC2=BE2.

又cosθ=cosB=66，設(shè)BC=x，

所以323+2×463×66x+x2=20.

即x2+83x-283=0.

解得x=2或x=-143（舍去）（以下略）.

解法5 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限.如圖4所示.

由cosB=66，得sinB=306.

則BA=（463cosB，463sinB）=（43，453）.

設(shè)BC=（x，0），則BD=（4+3x6，253）.由條件得

BD=（4+3x6）2+（253）2=5.

從而x=2，x=-143（舍去）.

故CA=（-23，453）.

于是

cosA=BA·CABA·CA=-89+809169+809·49+809=31414.

所以sinA=1-cos2A=7014.

視角3 通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析幾何知識(shí)來求解.

解法6 利用解法5所建立的平面直角坐標(biāo)系，由cosB=66，得sinB=306.

故A的坐標(biāo)是（463cosB，463sinB）.

即A（43，453）.

設(shè)C（x，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D（4+3x6，253）.

由兩點(diǎn)間距離公式，得

BD=（4+3x6）2+（253）2=5.

從而x=2，x=-143（舍去）.

下面可用解法1或解法2的方法來求sinA的值（以下略）.解法7 利用解法5所建立的平面直角坐標(biāo)系，由解法6所得A（43，453）和C（2，0），可得AB的直線方程為y=5x，

所以C（2，0），D（53，253），

|AD|=12（43-2）2+（453-0）2=213.

設(shè)點(diǎn)D到直線AB的距離為d，

由點(diǎn)到直線距離公式，得

d=|5×53-253|（5）2+（-1）2=306.

則sinA=d|AD|=306×321=7014.

解法8 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)C（m，n），m>0，n>0，則D（m2，n2）.

由題意，得B（463，0），kBC=-tanB=-5.

故直線BC的方程為y=-5（x-463）.

由于C在BC上，故n=-5（m-463）.①

又BD=5，

即（m2-463）2+n24=5.②

由①和②聯(lián)立，得

m=6，n=303或m=1969，n=-7309.（舍）故tanA=nm=303×16=53.

由tanA=53易得sinA=7014.

視角4 通過作輔助線，利用正弦的差角公式來求解.

解法9 如圖6，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，作BC邊上的高AG.

圖6

則DF=12AG=12AB sinB=12AB1-cos2B

=253.

在Rt△BDF中，設(shè)∠DBF=β，在Rt△BDE中，設(shè)∠DBE=α，故sinβ=DFBD=253×15=23.

由sinβ=23易得cosβ=53.

又sinα=sin（B-β）=sinBcosβ-cosBsinβ=306×53-66×23

=66，

易得cosα=306.

在Rt△BDE中，

BE=BDcosα=5×306=566，

ED=BDsinα=5×66=306.

又AE=AB-BE=463-566=62，

在Rt△ADE中，tanA=EDAE=306×26=53，由tanA=53易得sinA=7014.

視角5 通過作輔助線生成直角三角形，利用解直角三角形的方法來求解.

解法10 如圖7，過點(diǎn)C，D分別作AB的垂線交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則CE∥DF，EF=AF，CE=2DF.

設(shè)BC=a，在Rt△BCE中，

CE=asinB=306a，BE=acosB=66a.

則AE=AB-BE=463-66a，

EF=AF=12AE=263-612a，

DF=12CE=3012a，

BF=EF+BE=263-612a+66a=263+612a.

在Rt△BDF中，由勾股定理，得

BF2+DF2=BD2.

即（263+612a）2+（3012a）2=5.

即a2+83a-283=0.

解得a=2，a=-143（舍去）.

所以DF=3012a=

306，

AF=263-612a=263-66

=62.

在Rt△ADF中，由勾股定理，得

AD=AF2+DF2=（62）2+（306）2

=213.

所以sinA=DFAD=306×321=7014.

解法10完全沒有用高中數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于能力強(qiáng)的初中生就可以解決.

3 類似題再現(xiàn)

題1 （2021年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試·新高考全國Ⅰ卷第19題）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

題2 （2021年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第8題）如圖8，在△ABC中，AB=c，∠A=α（30°<α<45°），∠C=90°，邊AC的中點(diǎn)為M，邊AB上的點(diǎn)P（與AB的中點(diǎn)不重合）滿足PC=c2，PC與BM的交點(diǎn)為D，則CD的長(zhǎng)為（用c，α表示）.

題3 （《數(shù)學(xué)通報(bào)》2021年2月號(hào)問題解答2588題）如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，

BD平分∠ABC，且BD∶AC=2∶3，求證：

∠ABC=60°.

4 總結(jié)反思

應(yīng)該說，這是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的好題，對(duì)于數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生，能找出多種解法，對(duì)于數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生，找一種解法就非常困難，這道題對(duì)于能力強(qiáng)的初中生就能解決.這道題既考查了學(xué)生“數(shù)”方面的基礎(chǔ)（如數(shù)、式的運(yùn)算，坐標(biāo)的假設(shè)等）及“形”方面的基礎(chǔ)（如作輔助線，坐標(biāo)系的建立，勾股定理、正弦定理、余弦定理，向量的三角形法則、平行四邊形法則等），又檢驗(yàn)了學(xué)生的思想方法的掌握與運(yùn)用，例如：如何通過作輔助線將已知的角和邊轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用正弦定理和余弦定理來求解;如何將一個(gè)三角問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)問題;如何將一個(gè)三角問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)解幾問題;如何用坐標(biāo)來表示有關(guān)點(diǎn);如何用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示有關(guān)向量.敘述本題的文字雖簡(jiǎn)潔，但本題內(nèi)涵豐富，思維容量大，解題入口寬，解法眾多，是一道考能力的好題.本題體現(xiàn)了解三角形的本質(zhì)（必須從“數(shù)”與“形”兩方面結(jié)合起來思考），能考查一個(gè)高中學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也能引導(dǎo)教學(xué)，重視基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)思想方法，重視學(xué)生的探索能力的培養(yǎng)，重視學(xué)生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，重視學(xué)生的思維能力的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[責(zé)任編輯：李 璟]