在反例中凸顯數學本質

案例：

一位教師在《分數的初步認識——幾分之一》的教學時，采用了均分圓片、折紙、分線段等使學生初步認識到把一個整體平均分成若干份，這一份是它的幾分之一。在整個教學中，教師一直強調要“平均分”，教學進行得很順利。在課末鞏固練習時，我深入到學生間進行觀察，不曾出現“不平均分”的現象。這時我就產生一個念頭：學生是否獲得真知?平均分是分的特例，在生活中所見的分法，不平均分的占多數。于是我把一張長方形紙折為不平均分的4份，指著其中的1份，問：每份占它的幾分之一?答案都是一樣：是它的1／4。我感到驚訝!為什么當出現不平均分時，學生也把每份說成是它的幾分之一呢?

分析：

在課堂上，教師采用先入為主的直觀教學方式，強調“平均分”，學生也能“平均分”，但學生仍然沒有真正理解幾分之一的本質東西。幾分之一必須建立在“平均分”的基礎上，而“平均分”是相對于“不平均分”的。在教學中，如果能夠找出學生在“折”的過程中，有“不平均分”的反例進行討論或設計“平均分”與“不平均分”的案例進行對比，我想學生也就不會出現把不平均分當作平均分的現象。這樣，可以促進學生真正掌握“幾分之一”的意義了。

比較是思維的基礎。通過比較、對比來揭示數學本質性的東西，對于思維處于形象階段并向抽象階段過渡的小學生來說，是非常有必要的。在教材上關于這一方面的內容也有一定的分量。如，對稱圖形中的“重合”與“不重合”；平行線中的“同一個平面”與“不同一個平面”、 “相交”與“不相交”等等。

策略：

1．在練習中對比。這是常用的一種練習方式。在某一個概念、原理、規律等剛形成之后，有意識地組織對比練習，排除概念非本質因素干擾，正確建立數學概念。如在上述的案例中，可以在學生“折”“涂”一張正方形紙的1／4與一張長方形紙的1／8之后，可以設計如下對比練習：

下面圖形的陰影部分能用1／4表示嗎?為什么?

通過比較，其一，讓學生明白把一個整體進行平均分有多種不同的分法，擴展“平均分”的外延；其二，可以讓學生區別“平均分”與“不平均分”的不同點，凸顯“平均分”的內涵，促進學生進一步理解幾分之一的含義。

2．在生成中辨析。當學生在學習中出現反例時，組織學生進行對比辨析，從中分辨出正確認識。如：一位教師在教學《11—20的認識》時，在學生擺小棒、撥計數器認識十幾的數之后，讓學生在計數器上嘗試撥20，學生出現了如下兩種撥法：

這時教師抓這個生成資源，引導學生進行比較：哪種方式表示比較好?接著要求學生寫上數字20，并思考個位上不寫上0行嗎?這樣通過比較思考，突出了滿十進一的本質東西。

3．在反思中例舉。在教學“整除”的含義之后，就讓學生說一說：關于整除的意義你有什么想法?你能例舉出一些是整除與不是整除的算式嗎?學生口頭例舉，教師板書：

是整除的算式

通過學生例舉，歸類整理，使學生進一步明確整除的前提條件是：被除數、除數、商必須是整數而沒有余數。這樣做變原來教師出題學生練習為學生自我出題自我判斷，體現了學生學習的主體性與主動性，促進學生進一步明確“整除”的本質屬性。

(作者單位：福建永春縣教師進修學校，362600)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。