合理設(shè)元 巧妙求解

在初中代數(shù)中，列方程(組)解應(yīng)用題是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。根據(jù)題意，合理地設(shè)置未知數(shù)，常可以方便地找到等量關(guān)系，從而化解難點(diǎn)，本文就如何合理設(shè)元(未知數(shù))巧妙求解舉兩個(gè)例子，相信同學(xué)們通過學(xué)習(xí)、比較，一定能夠舉一反三，觸類旁通。

例1 某廠去年共有男、女工2005人。已知：全體男工和全體女工可用同樣的天數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，則全體男工4天能完成的工作讓全體女工去做需要9天才能完成，該廠去年有男、女工各多少人?

分析：由題中“全體男工和全體女工可用同樣的天數(shù)完成同樣的工作”可知：全體男工一天的工作量：全體女工一天的工作量。為了列式的方便，我們不妨設(shè)一個(gè)男工1天的工作量為y，一個(gè)女工1天的工作量為z．

解：設(shè)該廠去年有男工x人，則有女工(2005-x)人。又設(shè)一個(gè)男工1天的工作量為y，一個(gè)女工1天的工作量為z．由題意得：

答：該廠去年有男工802人，女工1203人。

說明：本題所設(shè)未知數(shù)x叫做主元，y、z叫做輔助元。大家都知道，在一般情況下，方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)不能多于方程的個(gè)數(shù)，否則難以求解(所以往往不敢多設(shè)未知數(shù))。好在本題所列方程組中添設(shè)的輔助元y、z無需求出，仔細(xì)觀察所列兩個(gè)方程的特點(diǎn)，用①除以②便可消去y、z，從而直接求出主元x．

例2 兩條船分別從河的兩岸同時(shí)向?qū)Π堕_去，其速度是固定的。第一次相遇是在距河的一岸800米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后，立即折回，第二次相遇是在距河的另一岸394米處。若船到對(duì)岸掉轉(zhuǎn)方向時(shí)不計(jì)時(shí)間，求河寬。

分析：假設(shè)河寬x米，由題意可知：一船行駛800米所需的時(shí)間：另一船行駛(x-800)米所需的時(shí)間；一船行駛(x-800+394)米所需的時(shí)間：另一船行駛(800+x-394)米所需的時(shí)間。為此，我們不妨假設(shè)兩條船的速度分別為每秒y米和每秒z米，問題便可迎刃而解。

解：設(shè)河寬z米，兩條船的速度分別為每秒2／米和每秒z米。由題意得：

答：河寬2006米。

說明：本題還有另一種更為簡便的設(shè)元求解方法。

分析：假設(shè)河寬x米，又設(shè)兩船首次相遇時(shí)(此時(shí)兩船共航行一個(gè)河寬的路程)所用時(shí)間為t秒，則不難得到：兩船第二次相遇時(shí)所用時(shí)間應(yīng)為2t秒(此時(shí)兩船共航行兩個(gè)河寬的路程，而兩船各自航行的速度又是固定不變的)。由此再根據(jù)兩船各自航行的速度固定不變便可列出如下兩個(gè)方程：