小議“做數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)化”

　　新的數(shù)學(xué)課程的基本內(nèi)容主要包括“重要的數(shù)學(xué)知識、基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”等。而傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程的基本內(nèi)容主要包括“基礎(chǔ)知識和基本技能”等，即人們常說的“雙基”，兩相比較，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程更強調(diào)規(guī)格和結(jié)果，新的數(shù)學(xué)課程則更突出經(jīng)驗與過程，即所謂的“做數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)化”。
　　由于今天的計算機已可以用人類無法望其項背的高質(zhì)量和高速度，代替我們做許許多多復(fù)雜而繁瑣的工作，人的智力投向就相應(yīng)地發(fā)生了重大的轉(zhuǎn)變。純粹邏輯化、公式化的數(shù)量關(guān)系與空間形式研究已不再是數(shù)學(xué)研究的唯一重點；現(xiàn)代數(shù)學(xué)更加關(guān)注把現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”的過程!正如課程標準所說的：
　　“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程”。
　　把數(shù)學(xué)定義為將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”的過程，當然不是對數(shù)學(xué)的科學(xué)性本質(zhì)的否定，而是對數(shù)學(xué)自身認識的一次空前拓展。著名的“美國2061計劃第一階段數(shù)學(xué)專家小組報告”中提到：我們看到了一個基本的數(shù)學(xué)過程的循環(huán)，它反復(fù)出現(xiàn)，形成了最基本的形式——抽象、符號變換和應(yīng)用。這種循環(huán)不止出現(xiàn)在普通．實驗和數(shù)學(xué)式樣的交界處，而且也在數(shù)學(xué)王國內(nèi)部多次重復(fù)，導(dǎo)致了該學(xué)科更高水平的概括性，從而使它可以具有更強的效能。n．Freudenthal將這一過程稱之為“數(shù)學(xué)化”，即數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程。在這個“做數(shù)學(xué)”的過程中，不僅有計算或演繹，而且涉及觀察、猜測、嘗試、調(diào)控、估計、檢驗等多種方式。
　　[案例]x²=5，x=?
　　簡單嗎?查—查(勤C學(xué)用表)就可以很快地得出精確結(jié)果。但是在今天，數(shù)學(xué)家們卻更加提倡用這樣的方法來解答：
　　當x=2時，x²=4
　　∵4<5
　　∴0>2；
　　當x=3時，x²=9
　　∵9>5
　　∴x<3
　　所以2　　當x=2．5時x²=6．25
　　∵x<2.5；
　　∴所以2　　這是一個不斷趨向精確、不斷逼近真理的過程。數(shù)學(xué)家們之所以提倡讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，是因為這個過程包含了豐富的數(shù)學(xué)思想，蘊藏著更為巨大的數(shù)學(xué)教育價值。與直達結(jié)論不同過程的“查表法”相比，具有更強的普遍適用性和方法論價值。
　　課程標準也列舉了很多“數(shù)學(xué)化”的例子。摘記幾例如下。
　　1．將實際問題數(shù)字化
　　[案例1]你是否喜歡數(shù)學(xué)?如果用具，4，3，2，1分別代表從最喜歡到最不喜歡之間的5種程度，你選哪個數(shù)?說明理由。如果小明選擇2，說明什么?如果小立比較喜歡數(shù)學(xué)，他最可能選幾？
　　[案例2]某校為每個學(xué)生編號，設(shè)定末尾用1表示男生，用2表示女生9713321表示“1997年入學(xué)的一年級三班32號同學(xué)，該同學(xué)是男生”。那么，9532012表示的學(xué)生是那一年入學(xué)的?幾年幾班的?學(xué)號是多少?是男生還是女生?把這些實際問題與數(shù)聯(lián)系起來，就是一種數(shù)感。課程標準在關(guān)于學(xué)習內(nèi)容的說明中，描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)，包括“理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)表達和交流信息；能為解決問題選擇適當?shù)乃惴ǎ荒芄烙嬤\算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋”。這些對數(shù)感的描述，構(gòu)成了義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的主要內(nèi)容。
　　2．實際問題符號化
　　[案例]聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎?
　　這個問題本可以用“余數(shù)問題”的思路列式計算(如下)，從而得出結(jié)論；
　　16÷(3+2+1)=2……4；
　　但課程標準卻提示學(xué)生：可以用A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，并得出如下排列模式，再據(jù)此推導(dǎo)出第16個字母，確定第16個氣球的顏色。
　　AAAB BCAAAB……”
　　或者用厶表示紅氣球，用口表示黃氣球，○用表示綠氣球，將16個氣球悉數(shù)畫出來得到結(jié)果。
　　△△△□□○△△△□□○△△△□。
　　符號表示是人類文明發(fā)展的重要標志之一，數(shù)學(xué)課程的一個任務(wù)就是使學(xué)生感受和擁有使用符號的能力。課程標準強調(diào)發(fā)展學(xué)生的符號感，并指出：“符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q符號所表示的問題。”
　　3．數(shù)形結(jié)合解決問題
　　[案例]小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親看了10分鐘報紙后，用了15分鐘返回家。下面的圖形中那—個表示父親離家的時間與距離的關(guān)系?那—個表示母親離家的時間與距離之間的關(guān)系?
　　
　　將實際問題數(shù)字化、符號化，以及數(shù)行結(jié)合解決問題等，都是“數(shù)學(xué)化”的過程。“數(shù)學(xué)化”已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要目標。因此，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考就形成數(shù)學(xué)化和抽象化的數(shù)學(xué)觀點、運用數(shù)學(xué)進行預(yù)測的能力，以及運用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實問題能力。
　　(責任編輯：張華