現代教育技術條件下優化初中數學證明教學

　　數學證明不僅可以使學生進一步深刻理解數學知識，建立新舊知識之間的內在聯系，而且可以使學生體會數學的本質魅力并提高數學交流能力。也正因為如此，數學證明是數學的本質或者說是數學非常有力的部分，在數學和數學教育中有著非常重要的價值和地位。隨著以多媒體技術和網絡技術為主的現代教育技術在數學教學中的深入運用，數學證明及其教學的環境正逐步得到更新與優化。事實上，充分發揮現代教育技術的優勢，不僅可以為數學思想提供可視化的圖像，而且可以為數學證明提供數據組織和分析的有效工具，使得學生在形成正式的數學證明之前能夠做出一些解釋或思路探索，從而有利于認識數學證明的必要性和方法的多樣性，并因此而有利于數學證明教學過程的整體優化。本文擬結合筆者及課題組成員自2003年以來利用現代教育技術優化數學證明教學的有關實踐，談談在現代教育技術條件下，教師應當如何看待數學證明，如何引導學生學習證明，如何發揮數學證明的教育價值等相關問題。
　　
　　一、幫助學生形成數學證明的意識
　　
　　在數學中，只有從邏輯的推論上嚴格地證明了某個命題的結論，人們才能把該命題稱為定理。如果一個幾何學家報告一條他所發現的新定理時，只限于在模型上把它表示出來，那么任何一個數學家都不會承認這條定理是被證明了的。數學證明可以為人們發展和整理對教學現象的認識提供強有力的方法，在數學教育中應當重視對學生數學證明意識的滲透和教育。
　　在小學階段，兒童主要是通過圖形的測量、圖形的位置關系以及圖形的變換等活動來逐步構建空間觀念的。兒童的幾何學習不是以公理體系，而是以已有的經驗為起點；所認知的幾何不是論證幾何，更多的屬于直觀幾何，或者說是經驗幾何或實驗幾何。兒童對數學證明的含義尚不能理解，他們之所以獲得幾何知識并形成空間觀念，更多地是依靠他們的動手操作。這種學習過程和組織策略一直延續到初中，這使得剛跨入初中大門的學生對數學證明的價值尚未有足夠的認識，不少學生常常這樣認為“這個結論在圖形上已經很顯然了，為什么還要證明呢？”顯然，依靠教師的反復告誡和強調并不能使學生形成數學證明的意識。如何對學生進行有效的數學證明的啟蒙教育，使他們逐步認識并體驗數學證明的價值并因此而認真學習數學證明、理解數學證明呢？課題組有一位教師是這樣做的：他利用電腦呈現了圖1的一組幾何圖形，先讓學生認真觀察所給圖形，要求學生分別判斷①～③中兩條線段的長短、④中五條長斜線的位置關系、⑤中兩個中心圓的大小關系，說一說⑥中是否存在標準的圓的圖形。針對學生的回答，這位教師分別運用動態的旋轉、移動、隱藏等技術手段，去除一些具有迷惑性的附加因素后再讓學生觀察圖形并進行相應的判斷或說明。經過這一教學環節，學生終于意識到：眼睛里所看到直觀圖形其實并不總是完全可靠的，許多錯覺可能會欺騙自己的眼睛。為了能識別錯覺，避免錯覺，在幾何學習中，我們要有數學證明的意識。只有經歷必要的數學證明，通過必要的理性分析，我們對圖形的表面知覺才能更加準確和科學。
　　
　　
　　二、幫助學生理解證明的必要性和意義
　　
　　盡管現代教育技術可以為數學教學帶來許多的生機，比如它可以為學生的數學學習提供必要的感性認識條件，營造一種實驗和探索的環境，有利于學生發揮自己的想像力，而教師則可以借此鼓勵學生進行大膽的數學猜想，或者對學生的猜想和直覺進行迅速、準確的反饋和檢驗，并引導學生進行必要的數學反思。但是，這些優勢并不意味著機器證明以及由其所帶來的相對容易的問題解決會削弱數學教學中對數學證明的要求。例如，計算器作為一種方便、易用的現代教學媒體，雖然它的計算功能、圖像功能可使學生避免復雜的計算并有利于學生對函數性質的研究，然而計算器也并非人們所想像的那么完全可靠、完美。事實上，不少計算器還存在著對數據的處理有范圍限制等“先天不足”。機器并不能真正代替人腦的邏輯推理和證明，教師在利用現代教育技術的同時應當引導學生看到數學證明的必要性，深刻理解數學證明的本質意義。
　　課題組的一位教師反復思考的一個問題是：既然我們能夠清楚地認識到現代教育技術（如計算器）的一些功能限制，那么我們是否也應當學會利用這種功能限制并營造數學證明的可教學時刻呢？通過以下的一個教學片斷（取自初三數學課外思維訓練活動）或許可以一窺這位教師利用現代教育技術幫助學生理解數學證明的必要性和意義的可貴探索。
　　問題：探討2ⁿ與n²+2的大小關系，并說明自己是怎么想的。
　　教學中，學生或通過筆算或借助于計算器對具體的n進行了計算，然后進行了比較，易知：當n=1、2、3、4，有2ⁿ＜ n²+2；當n=5時，有2⁵＞5²+2；當n=6時有2⁶＞6²+2……通過連續的計算之后大多數的學生都能猜得：2ⁿ＞n²+2（n≥5）。
　　“誰能向大家說明自己的猜想一定正確呢？”教師試圖讓學生學會理性地思考，說清道理。
　　這下學生可犯了難，因為隨著n的變大，2ⁿ不是一個小數目，再說何時能如此這般地計算、推理到無限？
　　“數學是一門高度嚴謹的學科。計算器使猜想成為可能，猜想可以為問題解決提供方向，但只有嚴謹的證明才能使人最終確認猜想和結論，那么究竟如何證明呢？”教師在引導。
　　學生思考并同桌間相互討論，但沒有任何思路。
　　“能否不直接計算數值，在2⁵＞5²+2的基礎上來證明2⁶＞6²+2？試試看！”教師繼續引導。
　　經過摸索，有學生給出了這樣的證明：∵2⁶=2×2⁵＞2（5²+2）（這是因為2⁵＞5²+2），∴2⁶＞5²+5²+1+3＞（5²+2×5+1）+2=（5+1）²+2=6²+2。立即又有學生嘗試：2⁷=2×2⁶＞2（6²+2）=6²+6²+1+3＞（6²+2×6+1）+2=（6+1）²+2=7²+2。
　　“一般的情況又會是怎樣呢？”不用教師多說，馬上又有學生提起了筆：若2ⁿ＞n²+2成立（n≥5），則2ⁿ⁺¹=2×2ⁿ＞2（n²+2）=（n²+n²+1）+3＞(n²+2n+1)+2=(n+1)²+2。接著，這位學生向老師和同學們提出了自己的一種解題方案——
　　“老師，我們是不是可以營造一個‘循環系統’，讓它自動地、無限制地運作起來，使得n=5→n=6→n=7→n=8→……永無止境地遞推下去？”
　　
　　老師笑了，笑得非常開心，他順著學生的思路繼續往下講……
　　作為并沒有學過數學歸納法的學生，在教師的引導下借助計算器及必要的推理和討論，已經將數學中這種重要的證明方法的雛形活生生地展示出來了。在這個研討過程中，學生已經理解了為什么要對含有自然數n的命題進行證明，以及可以怎樣進行證明，顯然他們建構了數學歸納法的最初意義，也為教師的進一步教學做好了鋪墊。
　　
　　三、幫助學生深入理解數學證明中的內涵實質
　　
　　許多數學概念和數學思想都是在“運動”的情境中表現出來的，比如空間與圖形教學中的不動點問題、線段的定比問題，代數教學中的定值和極值問題等。傳統的教學手段難以實現這樣的“運動”情境，一般只能隨機地抓取運動過程中的某個狀態，再借助于這個特定的狀態討論有關的性質。雖然教師會說明這些性質與狀態的選取是無關的，但由于該性質討論的載體是一個特定的狀態，所以不少學生實際上并不完全理會教師的“提醒”，仍然把該性質作為在這個特定狀態下的性質，而并非一般性質。這種教學很容易掩蓋數學知識的形成過程，也易造成數學證明的過度形式化，當然也不利于學生對證明中數學思想的真正掌握。現代教育技術條件下，在對數學事實的論證過程中，學生可以運用動態方法，通過動與靜的不同方式、宏觀與微觀的不同視角，揭示幾何對象的運動與相互聯系，從而有利于學生深入理解數學證明中的內涵實質。
　　例如，三角形有一個重要的性質：它的重心、垂心和外心共線，且垂心到重心的距離與重心到外心的距離之比為1：2。對于這個性質的教學，可以先利用幾何畫板任意畫一個△ABC及其外心O、重心G和垂心H，再隨意地拖動△ABC的邊或頂點，使學生看到，隨著△ABC的形狀變化，外心O、重心G和垂心H也在做相應的變化，但無論怎么變，這三個點始終位于一直線。再測量出HG和GO的長度，計算出HG和GO長度的比值，并將這些數字顯示出來。再隨機拖動△ABC的邊或頂點，使學生看到隨著△ABC的形狀變化，所顯示的HG和GO的長度在做相應的變化，但無論怎么變化，HG和GO長度的比值始終是2，是個定值。顯然，通過這樣的動態演示，學生比較直觀地看到這個性質對任意三角形都是成立的，而不是針對某個特殊三角形的結論。由此不僅加深了對這個結論的理解，也激發了學生證明該命題的興趣，最終可通過證明△AGH與△DGO相似而分別得到HG＝2GO以及∠AGH＝∠DGO，并因此而得到H、G、O共線（其中D點為中線AG與BC邊的交點，具體證明略）。
　　再例，在學習平行線的性質時，我們可以打破傳統的先講性質再講應用的慣例，給學生一個探索、發現并深入理解數學證明中內涵的機會。具體可以這樣進行：先讓學生打開幾何畫板，畫出兩條平行線（圖2），過D作垂直于AB的一條垂線段DF。教師可以提出兩個問題：（1）拖動點D，線段DF有何變化？你能得出什么結論？（2）固定點A、B，連接AD、BD，讓點D在直線DD1上運動，觀察△ABD的面積有何變化？你能解釋為什么會有這樣的現象嗎？幾何畫板的動態性可以形象地展示例子，有利于學生總結出“兩條平行線之間距離永遠不變”的性質。同時，這個過程也是一個很好的引導學生進行解釋性證明的過程：證明當點D在直線上運動時，△ABD的面積不變。這種在現代教育技術條件下引導學生進行積極探索的教學方法，不僅有利于證明方法的獲得，更有利于學生深入理解數學證明中的內涵實質。
　　
　　
　　四、及時展示學生數學證明的不同方法
　　
　　學生的數學學習活動總是在一個群體中進行的，學生在數學證明教學中體現出的不同的思維風格、不同的證明方法可以起到互相影響、互相促進、互相補充的作用。面對同一個數學問題，學生齊心協力地思考，一起尋求證明思路，將有利于數學證明過程得以順利進行。傳統的教學媒體難以做到使學生的不同解答得到及時有效的展示和評判，因而不利于數學課堂的互動交流，教師看不到更多學生的聰明才智，學生間也不能真正地實現思維的碰撞、智慧的分享。如今不僅能夠利用網絡在師生、生生之間搭建及時交流各自證明思路或者想法的平臺，而且能夠利用實物展示平臺在數學課堂教學中直接顯示并放大不同學生寫在作業紙上的解答，避免了在黑板上重新畫圖和板書造成的時間浪費。
　　例如，對于問題“已知：在△ABC中，AB=AC，點D為底邊BC上任一點，作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：DE＋DF是定值?！闭n題組中的一位教師是這樣做的：他首先讓學生利用幾何畫板根據給出的條件作圖，并顯示DE、DF和DE＋DF的值（圖3）。接著讓學生進行實驗，尋找證明的思路。學生在BC邊上拖動D點，會發現DE、DF的值都會變，而DE＋DF的值始終不變；當D點與B點重合時，DE=0，DF=DE＋DF。此時DF剛好為腰AC上的高線。于是猜想：DE＋DF這個定值即為一條腰上的高線長。于是這位教師就接著啟發學生作△ABC中AC邊上的高線BH，則原命題中“求證DE＋DF是定值”就轉化為“求證DE＋DF=BH”。他讓學生分組討論如何證明這個結論，之后請各小組利用多媒體計算機的演示功能向大家展示自己的證明方法。結果發現，由于輔助線的添法不同，各組證明的方法也不盡相同，主要的證明思路有：（1）有的學生連結AD（圖4），根據S△ABC=S△ABD＋S△ACD，得到AC×BH=AB×DE＋AC×DF，再由AB=AC，得到DE＋DF=BH。（2）有的學生則通過D點作DG⊥BH交BH于點G（圖5），則四邊形DFHG是長方形，DF=GH，通過證明△BDE≌△DBG，得到DE=BG，從而推出DE＋DF=BH。（3）有的學生則在FD的延長線上作BG⊥FD交FD的延長線于點G（圖6），則四邊形BGFH是長方形，GF=BH，通過證明△BDE≌△BDG，得到DE=DG，從而推出DE＋DF=BH。
　　
　　
　　教學實踐表明，由于有現代教育技術的支持，學生的不同證明可以獲得非常全面的展示。在此過程中，師生通過共同討論、評析，不僅修正了整體上思路正確但表述不當的證明，而且對一些只有一半思路的數學證明進行了完善，使一些沒有自信心的學生看到自己的想法尚有許多閃光的地方，而更多的學生則看到了別人方法的優點以及自己需要努力的方向。在這種民主的學習環境中，學生學習將更為有效。
　　
　　五、啟發學生對數學證明的問題做進一步的探究
　　
　　在數學新課程改革過程中，探究教學是一個亮點。比如，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》就強調指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式?！庇捎谌鄙佻F代教育技術的支持，以往數學證明的探究教學往往流于形式。事實上，教師只是更多地注意“定理證明”這個唯一的教學環節，并不太考慮學生的直接感性經驗和直覺思維，使得不少學生難以真正理解幾何的概念與幾何的邏輯，很難自主地產生問題、形成假說并進行相應的數學實驗和反思證明。隨著信息技術的發展，計算機和科學計算器為數學證明中的探究教學提供了有力的工具，有效地改變著學習數學的探究方式。比如，學生可以利用幾何畫板等認知工具積極展開數學實驗，從動態中去觀察、探索和發現數學對象之間的數量變化關系與空間結構關系，在此基礎上形成一定的假說，并通過必要的資料整合得出一些數學結論，再進行驗證、反思、證明與評價。由此可見，借助現代教育技術之力，數學證明中的探究教學可以由外在的形式不斷地向內在的實質切入。
　　
　　例如，對于問題“已知：如圖7，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，A、B分別是切點，⊙O1與⊙O2外切于點P，連接PA、PB。求證：AP⊥BP?！闭n題組的一位教師是這樣利用幾何畫板引導學生做進一步探究的。第一步，引導證明：先利用幾何畫板的“度量”工具測出∠APB的度數為90°，再引導學生證明該結論。第二步，反思提問：若改變兩圓的位置是否會有類似的結論？第三步，學生探究：學生分小組利用幾何畫板進行實驗、猜測、探究。比如，有小組的學生通過拉動圖7中一個圓的位置，使兩圓位置發生各種變化，并對有關角進行測量。通過反復實驗、討論，他們提出了“當兩圓相交或相離（圖8、圖9）時，有AP1 ⊥BP2，即有與上題類似的結論AP’⊥BP’”的猜想。第四步，回顧總結：教師對“實驗——猜想——論證”總體思路進行了補充說明，并對學生中較好的證法及時進行了表揚。
　　
　　
　　由于課堂內的時間畢竟是有限的，因而對數學證明的探究不一定局限于課內進行，還可以引導學生由課內向課外延伸，鼓勵學有余力的學生對課本中的例題、習題進行深入探究。例如，當在課內完成了問題“已知：如圖10，矩形ABCD，四個頂點的角平分線分別交于G、F、E、H。求證：四邊形EFGH為正方形”的證明，還可以引導學生在課外做如下的探究：（1）如果原四邊形發生變化，比如矩形變為平行四邊形、菱形、正方形、等腰梯形時，EFGH又會是怎樣的圖形？（2）如果題中的角平分線變為與對邊中點的連線，那么又會有怎樣的結論？（3）如果將題中的矩形變為一個折四邊形，那么結論又會是怎樣的呢？有學生在課后利用TI圖形計算器對教師提出的問題進行了認真的探究。實踐表明，學生利用TI圖形計算器對待探究的數學問題理解得更深入，他們不僅獲得了一系列的結論，優化了發散思維品質，而且由于成功的探究使自己獲得了滿足感，能享受到自我創造的快樂，進一步增強數學探究的興趣和信心。
　　
　　筆者最后想要指出的一個事實是，通過筆者及課題組成員對近30所初中數學教育教學實踐的有關情況調查表明，目前不少的初中數學教師對在數學證明教學中是否運用現代教育技術以及如何運用等問題還存有許多誤解，許多不恰當運用更是令人心憂。正因為如此，積極探索現代教育技術條件下數學證明教學中有價值的問題應是時代賦予數學教育工作者的一項重要使命。
　　
　　參考文獻
　　中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2001.3.
　?。ㄗ髡邌挝唬航K泰州師范高等專科學校）