Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ：一種有效的方向多尺度變換分析方法

摘要：Contourlet變換是對二維圖像域內小波變換的一種新擴展，由不可分的方向濾波器組實現，該變換的基函數分布于多尺度、多方向上，可僅利用少量系數有效地捕捉圖像中的光滑輪廓，而光滑輪廓正是自然圖像的主要特征。討論了Contourlet變換的發展背景、原理和數字實現與實際應用，分析了Contourlet變換存在的問題并指出了進一步研究的方向。

關鍵詞：方向多尺度變換；Contourlet變換；Curvelet變換；小波變換

中圖法分類號：TP3174文獻標識碼：A

文章編號：1001－3695(2006)09－0018－05

隨著圖像處理技術滲入人們的生活，有效的圖像表示和處理受到了極大的重視。表示法的有效性是采用稀疏描述的方法捕捉圖像中視覺信息的能力。自然圖像的視覺信息主要包含在物體邊界的幾何特征中，因此利用幾何特征表示和處理視覺信息成為很多圖像處理任務（圖像重建、壓縮、去噪和特征提取等）的研究熱點。

研究初期，人們認為倘若能預先知道圖像中幾何輪廓的分布就能稀疏地表示圖像。基于該思想，人們提出了很多基于邊緣的算法。Carlsson在1988年提出了基于邊緣的圖像表示[1]，這種方法首先檢測圖像中發生數值跳變的曲線即邊緣，再通過描述相同的邊緣和數值插值計算邊緣間的圖像灰度值來逼近原圖像。基于相似的思想，還有許多其他采用不同的邊緣檢測方式和跳變模型來逼近原圖像基于邊緣的圖像表示方法[2，3]，多尺度邊緣表示的小波模極大值方法[4]和邊緣自適應多分辨率方法[5]則對這些模型進行了改進。在重構主要邊緣結構的過程中，人們還引入了非完備正交簇的Fovel小波和WaveletFootprint[6]等基于邊緣的圖像表示方法。這些方法都需預先計算圖像的幾何輪廓特征，再利用邊緣信息調整算法來逼近原圖像，因此是自適應的。目前，自適應表示法中最具代表性的是Pennec和Mallat提出的Bandlet[7]，據證明Bandlet在某種意義上可達到最優逼近。但所有基于邊緣檢測的算法都存在一個難題：圖像的灰度值突變并不完全等價于邊緣輪廓附近的灰度值突變。一方面，光學衍射產生的平均效果模糊了閉合邊緣上灰度值的不連續性，物體的邊緣可能不會有明顯的灰度值突變；另一方面，許多灰度突變可能起源于紋理信息而不是幾何輪廓，區分確定圖像中灰度值突變的起因至今仍未有很有效的辦法。因此，大部分基于邊緣的自適應算法在實際應用中的逼近效果并不優于可分正交小波變換。

圖像的非自適應表示法無須計算先驗知識，在固定基或框架下逼近圖像，與自適應算法相比具有算法簡單可通用、計算效率高的優點。小波變換是目前廣泛使用的非自適應方法，一維小波無須先驗知道奇異點的分布，能對含點奇異的分段光滑函數達到最優逼近。一維信號的奇異表現為點奇異，而二維情況要復雜得多，奇異點往往不是孤立點，而是聚合成有某些幾何特征的輪廓。二維可分小波是一維小波的簡單張成，各向同性的性質導致方向選擇性差，不能有效地捕捉輪廓信息，是一種“非稀疏”圖像表示法，因此有必要尋求比小波更有效的方法。繼可分小波變換后自適應圖像表示法層出不窮，但是非自適應的稀疏表示法的研究卻成效甚微，直到Candes和Donoho在1999年提出非自適應的Curvelet變換[8]，表明圖像的非自適應稀疏表示是可能的。2002年Do和Vetterli在繼承Curvelet思想的基礎上構造了一種新的非自適應的方向多尺度變換——Contourlet變換[9]。本文討論了圖像稀疏表示的概念、Curvelet變換和Contourlet變換的基本原理以及數字Contourlet變換的構造過程和相關性質及其在圖像處理中的應用，最后分析了Contourlet變換的前景和發展方向。

1圖像的稀疏表示

在圖像壓縮、圖像去噪、圖像重建等圖像處理任務中，圖像表示法的稀疏性是關鍵。某種表示方法是“稀疏的”表明：一些數值較大的系數集中（濃縮）了圖像的大部分能量和信息，這意味著使用少量的比特數就能達到表示圖像的目的。

1．1稀疏表示的要素

對一維分段光滑信號，如一幅圖像的掃描線，小波已被證明在某種程度上達到最優表示。自然圖像并非是一維光滑掃描線的堆積，由于物體的光滑邊界，自然圖像中的不連續點常以分段連續曲線的形式表現。二維可分小波是一維小波的簡單張量積，其基函數具有方形的支撐域，表現出各向同性（Iso－tropy）的性質，僅能捕捉有限的方向信息（水平、垂直和對角線方向）。圖1(a)給出了二維可分小波基逼近曲線奇異的過程。二維可分小波的多分辨率性質通過使用具有不同尺度方形支撐域的基函數來實現，隨著分辨率升高，尺度變細，最終表現為使用眾多的“點”來逼近曲線。在尺度j時[10]，小波基的支撐域邊長近似為2-j，變換域內幅值超過2-j的小波系數的數目至少為O(2j)階，即支撐域尺度變細時，非零小波系數的數目呈指數增長，產生大量不可忽略的系數。因此，二維可分小波非線性逼近輪廓細節較多的圖像時，誤差衰減極為緩慢，最終表現為不能稀疏逼近原圖像。

圖1(b)對同一曲線奇異給出了一種更為有效稀疏的表示法，該變換的基函數的支撐域為不同規格的長條形且每個長條形的方向與包含于該區域內曲線的走向大體一致。顯然分辨率相同時，圖1(b)使用的長條形少于圖1(a)中的方形，尤其在分辨率高的情況下，數目相差更為懸殊，即圖1(b)可使用少得多的基函數稀疏逼近曲線。與二維可分小波基方向支撐域的各向同性不同，長條形的支撐區間與曲線方向的一致性是多方向的一種體現，稱之為各向異性（Anisotropy）。

Olshausen和Field對人類視覺系統的研究實驗表明[11]：人類視覺系統能自動調節以使用最少的視覺神經細胞來捕捉自然場景的本質信息，即意味著對自然場景最稀疏地編碼。人類視覺系統中視覺皮層可接受域具有局域性、方向性和帶通特性。綜合人類視覺系統的研究成果和自然圖像的統計特性以及圖像表示法稀疏性的分析，一種稀疏的圖像表示方法應該滿足下列性質：

①多分辨率。實現從低分辨率到高分辨率逐步逼近原始圖像。

②局部性。基函數在空間域和頻域都能局部定位。

③臨界采樣。對壓縮等應用，提供臨界采樣的基或框架。

④方向性。提供多方向信息，即包含各個方向上的基。

⑤各向異性。根據曲線走向敷設多方位角的長條形基以描述圖像中的平滑連續輪廓。

二維可分小波滿足以上性質中的前三個，后兩個性質尤其是各向異性，小波變換完全不能滿足，因此有必要尋找滿足以上條件的稀疏表示法。

1．2稀疏性的衡量

2Curvelet變換與Contourlet變換

Curvelet變換是由Candes在其博士論文[16]中提出的Ridgelet變換演變而來的。Ridgelet變換對含有直線奇異的多變量函數有很好的逼近效果，能稀疏地表示包含直線邊緣的分片平滑圖像。但是對含有曲線奇異的圖像，Ridgelet變換的逼近性能只與小波變換的性能相當。

Curvelet變換由Ridgelet變換演變而來，其基本思想是：對曲線奇異加窗分割，使包含于每個子窗內的曲線段幾乎是直的，對分割后的線段進行局部Ridgelet變換則能得到很好的逼近效果。簡言之，Curvelet變換通過對圖像濾波并對帶通圖像加窗局部實現Ridgelet變換，分為以下三個步驟實現[17，18]：

(1)對圖像進行濾波，分解得到一系列圖像子帶；

(2)基于每個子帶的中心頻率實施加窗，分割成尺度合適的子塊；

從傅里葉變換逼近誤差衰減率O(M-1/2)到小波逼近誤差衰減率O(M-1)，再到Curvelet達到的O((logM)/2M-2)，Curvelet變換的逼近性能相對小波變換的提高可與小波變換對Fourier逼近的提高相媲美。盡管Curvelet變換在理論上已被證明是漸近最優的，但其數字實現還存在一些需要解決的問題，Ridgelet變換和Curvelet變換都定義于連續域上，在離散域的實現是非平凡的。數字Curvelet算法的計算復雜度非常高，而且冗余度高達16J+1[18，19]（J是Curvelet的尺度分解層次），這與Curvelet變換對圖像稀疏表示的初衷相背離。盡管Curvelet的數字實現不盡如人意，但絲毫不能掩蓋蘊涵于其中的先進思想方法，可以說該變換的意義在于證明了通過固定基的非自適應變換稀疏地表示含有平滑曲線奇異的圖像的可能性。

在繼承Curvelet變換的各項異性尺度關系的基礎上，2002年，Donoho和Vetterli提出一種新的圖像二維表示方法：Con－tourlet變換[9]，也稱為塔形方向濾波器組（PyramidalDirectionFilterBank，PDFB）。Contourlet變換是小波變換的一種新擴展，是一種多分辨率的、局域的、多方向的圖像表示方法，其圖像基分布于多尺度、多方向上。Contourlet變換的優點在于能夠僅使用少量系數有效地表示平滑輪廓，而平滑輪廓正是自然圖像中的重要特征。

2．1塔形方向濾波器組PDFB

Contourlet變換繼承了Curvelet變換的各向異性尺度關系[8]，在一定意義上它是Curvelet變換的另一種實現方式。Curvelet、小波等許多其他變換最初都提出于連續域，然后才有對離散取樣數據的數字實現；而Contourlet的提出首先是在離散域的數字變換，其后才被推廣到連續域并分析其性質的。類似于小波基從濾波器組導出的方式，Donoho和Vetterli利用不可分濾波器組構造離散域上多分辨率、多方向的基函數，由于利用類似于輪廓段的基本結構靈活的多尺度、多方向局部地表示圖像，因此被稱為Contourlet變換。

Contourlet變換的基本思想是首先用一個類似小波的多尺度分解捕捉邊緣奇異點，再根據方向信息將位置相近的奇異點匯集成輪廓段。Contourlet變換選用Burt和Adelson于1983年提出的拉普拉斯塔式濾波器結構（LaplacianPyramid，LP）[21]對圖像多分辨率分解來捕捉奇異點。LP分解首先產生原始信號的一個低通采樣逼近及原始圖像與低通預測圖像之間的一個差值圖像，對得到的低通圖像繼續分解得到下一層的低通圖像和差值圖像，如此逐步濾波得到圖像的多分辨率分解。相比臨界采樣小波方案，LP分解在高維情況下每層僅產生一個帶通圖像，避免了擾頻現象（因為LP濾波器組僅對低通圖像進行了下采樣）。倘若利用正交濾波器組實現LP分解能得到框架界為1的緊框架，這也是Contourlet變換中采用LP分解的原因之一。

Bamgerger和Smith于1992年提出了最大抽樣條件下可完全重建（PerfectReconstruction，PR）的二維方向濾波器組[20](DirectionalFilterBank，DFB)，DFB濾波器組對圖像進行l級二叉樹狀結構分解，將頻域劃分為2l個鍥形（WedgeShape）子帶。在繼承DFB濾波器多方向分解理論的基礎上，Donoho提出了一種新的DFB構造方法[22]，這種方法使用扇形結構的共軛鏡像濾波器組以避免對輸入信號的調制，同時將l層二叉樹狀結構的方向濾波器變成了2l個并行通道的結構。

本質上DFB僅適用于圖像的高頻分量，這是因為方向濾波器組可能將圖像的低頻分量泄漏于幾個方向性子帶中。方向濾波器本身并不能提供稀疏表示，應用之前需要將圖像的低頻部分移除，這促使多分辨率分解模塊LP與方向分解模塊DFB的結合：圖像每次經LP子帶分解產生的高通子帶輸入DFB后，逐漸將點奇異連成線形結構，從而捕獲圖像中的輪廓。LP與DFB結合形成雙層濾波器組結構，稱為塔形方向濾波器組PDFB，由于該變換以輪廓段形式的基函數逼近原始圖像，因此也稱為離散Contourlet變換。圖2給出了離散Contourlet變換的濾波器組結構圖，原始粗糙圖像經PDFB結構多層分解可得到多尺度多方向的子帶圖像。圖3則給出了一個可能Contourlet頻域分解圖，在實際應用中，方向數一般隨著尺度增大而增多。

2．2Contourlet變換的性質

Contourlet變換是LP結構和DFB結構結合而成的二層濾波器組結構，因此既有源于LP和DFB的性質，也有組合結構的特有性質，Contourlet變換的一些重要性質如下。

定理1在塔形方向濾波器組PDFB中，下列性質成立[15]：

(1)若LP和DFB都使用完全重建濾波器，則PDFB能夠完全重建原始圖像，即能提供一個框架。

(2)若LP和DFB都用正交濾波器實現，則PDFB提供框架界為1的緊框架。

(3)PDFB結構的冗余來源于LP且與LP的冗余度相同，上限為4/3。

(4)若將LP第j塔層分解得到的高通子帶輸入lj級二叉樹DFB結構（j＝1，2，…，J，其中j＝1對應最小尺度），得到的PDFB基圖像的支撐集寬為2j且長為2j+lj-2。

(5)若采用有限沖激響應（FIR）濾波器，PDFB對N像素圖像的計算復雜度為O(N)。

Contourlet變換的目的是對包含曲線奇異的分片光滑圖像提供有效的稀疏表示，Donoho和Vetterli給出了如下條件以保證Contourlet表示的稀疏有效性：

(1)拋物線式尺度關系（ParabolicScaling）。width∝length，即源于Cuvelet變換中的各向異性尺度關系。拋物線式尺度關系能保證具有線形或矩形支撐集的基沿著曲線敷設，僅用少量系數就能有效地逼近平滑奇異曲線（類似于圖1(b)）。在Contourlet變換中，要滿足各向異性尺度關系只需PDFB塔式結構中，尺度每精細兩層，方向數翻一番，即第j＋2層上的方向數lj+2是第j層上方向數lj的兩倍（j=1，2，…）；推廣到任意第j和第j0層，不妨假設j≤j0，則相應的方向數應滿足lj=lj0-(j-j0)/2」。

(2)方向消失矩（DirectionalVanishingMoment，DVM）。一維小波稀疏逼近分段光滑信號意味著只有較少的小波基函數在不連續點附近能發覺奇異性，相應系數的幅值較大。小波變換的關鍵在于設計頻率選擇性好的濾波器，這要求小波基有足夠的消失矩，即低通濾波器在ω=π時有足夠多的零點。二維分片光滑圖像中，奇異點既有空間特性也有方向特征，稀疏表示要求只有位于曲線奇異附近且方向與曲線方向一致的基能夠發覺奇異性，即在某方向上有足夠多的消失矩，稱為方向消失矩。Contourlet變換提供稀疏表示的條件之一是有足夠多的方向消失矩。

圖4給出了一些小波和Contourlet的基函數，可見Con－tourlet的基函數能提供更豐富的方向和形狀，這有助于捕捉圖像中的幾何結構。離散Contourlet分解非線性逼近圖像的本質為圖像中的平滑區域通過小尺度的低通圖像表示，而圖像的平滑邊緣則通過一些局部的方向系數來有效表示。已有實驗表明，滿足以上稀疏性條件的Contourlet基函數表示圖像時得到的變換域的系數相當稀疏，幅值較大的系數集中于邊緣附近且與邊緣方向一致的子帶中。圖5給出了Contourlet變換的一個例子，圖像Peppers經三級LP分解，最細致層上方向數為32的Contourlet分解圖。

定理2假如滿足拋物線式比例關系且方向消失矩足夠多，Contourlet變換對含有C曲線奇異的分片C光滑的圖像的M階非線性逼近誤差衰減滿足下面的關系[15]：

Contourlet變換O((logM)3M-2)的逼近誤差衰減速率與Curvelet變換O((logM)/2M-2)的誤差衰減率非常接近，都遠遠優于小波變換的逼近程度O(M-1)。其根本原因在于這兩種變換均滿足各向異性關系，彌補了小波變換方向信息有限的缺陷。針對含有C曲線奇異的分片光滑圖像，沒有任何方案可以達到比O(M-2)更好的誤差衰減率。從這種意義上說，Con－tourlet變換對含有C曲線奇異的分片光滑函數達到了漸近最優逼近。

2．3Contourlet變換的應用分析

小波變換是目前通用的圖像處理手段，但小波變換對圖像中曲線奇異的平滑性視而不見，影響其實際應用。在Contourlet變換之前，人們已提出很多其他多尺度、多方向的幾何圖像表示方法，如二維Gabor變換[23]、Cortex變換[24]、SteerablePyramid[25]、二維方向小波[26]、Brushlet[27]及ComplexWavelet復小波[28]等，這些變換與Contourlet變換的主要不同在于這些方法或者只能提供有限方向上的分解，或者采樣冗余度龐大。Contourlet變換不僅提供任意方向上的信息，且采樣冗余度小（冗余度至多達到4/3）。Contourlet變換使用迭代濾波器組可實現高效計算，若使用有限激勵響應濾波器，逼近N像素圖像的計算復雜度為O(N)，遠低于數字Curvelet變換的計算復雜度。Contourlet的諸多優點使其在圖像去噪、紋理檢測和壓縮編碼等方面有很好的應用前景。

（1）基于Contourlet變換的圖像去噪。

Contourlet變換不具備平移不變性質，因此直接采用Contourlet對圖像去噪會引入類似于偽Gibbs現象的視覺誤差。基于CycleSpinning的Con－tourlet去噪方案[29]通過平移、去噪、再求各平移復位后圖像的平均圖像克服了缺乏平移不變性的缺陷，能對被加性高斯噪聲（高斯噪聲的方差范圍可以很大）損壞的圖像達到很好的去噪性能。實驗結果表明：基于CycleSpinning的Contourlet去噪在視覺效果上和PSNR性能上均優于平移不變小波，尤其對包含大量精細紋理和輪廓的圖像去噪效果更佳。對自然圖像的Contourlet變換域數據的統計分析表明，使用隱馬爾可夫樹可以有效地對Contourlet系數建模[30]，使用ContourletHMT模型對圖像去噪的效果優于小波HMT，而且該模型應用于紋理檢測方面相比小波HMT的效果也有所提高。

（2）基于Contourlet變換的圖像直接編碼。

基于該編碼[31]的代價分為兩部分，即對圖像在Contourlet變換域內的量化系數的編碼和對各系數的位置映射的編碼。Contourlet變換域內幅值較大的系數在位置上比小波系數的分布更集中，因此對位置映射編碼所需的比特數更少，但由于在LP分解過程中未對高頻分量下采樣，造成了一定的冗余度(Contourlet變換的固有冗余度上限為4/3)，直接編碼的PSNR性能未必優于小波編碼的PSNR性能。然而，Contourlet變換擅長于表示紋理和輪廓信息，能很好地保留自然場景中的紋理和細節。因此，在一定比特率范圍內對含有大量紋理和振蕩模式的圖像，Contourlet直接編碼與小波編碼的PSNR性能相當，且視覺效果更佳。

（3）Contourlet變換與小波變換結合的編碼。

小波理論自提出發展至今得到了一系列成熟的理論、算法，并已被JPEG2000標準采納。在對Contourlet的研究應用中，十分有必要借鑒使用小波已有的成果。基于小波的Contourlet變換（WaveletbasedContourletTransform，WBCT）[32]采用小波變換取代LP濾波器結構實現多分辨率分解，小波分解得到的帶通圖像輸入方向濾波器以滿足各向異性尺度關系。該方法除去了LP濾波器結構引入的數據冗余，形成兩級非冗余且完全重構的濾波器組，因此整體是非冗余和完全重建的，能夠有效地逼近包含輪廓和震蕩模式的圖像。采用類似于小波編碼的SPIHT算法來考慮空間方位樹（即零樹）能有效地對包含較多紋理和輪廓的圖像進行編碼。仿真結果表明，該方法與小波編碼的PSNR性能相當，在視覺效果上優于小波SPIHT算法。Contourlet和小波變換迭代編碼算法[33]是另外一種具有代表性的混合編碼方案，自然圖像在低頻域分布的能量更多，在較粗糙尺度使用小波變換有利于控制冗余度，在細致尺度上使用Contourlet變換則能很好地捕捉輪廓信息。數字實驗表明：該算法優于單獨的Contourlet變換和小波變換。至于如何分配Contourlet和小波的分解層次以及DEB的方向數目，理論上可通過計算變換域的迭代投影過程中圖像域的量化誤差使其最小而得到[33]。

3總結與展望

本文主要討論了一種有效的多尺度方向變換——Contourlet變換及其原理和濾波器的結構，Contourlet變換在任意尺度上能實現2的任意次方數目的方向分解，擅長于描述圖像中的輪廓和紋理信息，在圖像去噪、壓縮編碼、圖像增強、特征提取等方面有很好的應用前景。

Contourlet繼承了Curvelet的各向異性尺度關系，但是走的卻是一條與Curvelet變換截然相反的技術路線，Contourlet變換先是直接定義于數字域中，再推廣到連續域并進行理論分析，其數學基礎還有待進一步完善[34]。相對于Curvelet變換，Contourlet變換能夠提高高效計算；但與小波變換相比較，小波變換對N×N像素圖像的計算復雜度為O(NlogN)，Contourlet變換則為O(N)，仍有一定的不足。Contourlet能否在許多方面取代小波變換成為新一代的逼近方法在很大程度上取決于其是否具有高效算法，這將是人們進一步研究的方向之一。

在允許一定冗余度的情況下，擴大基函數集合可以使變換更加靈活、完善地表示圖像信息，無下采樣的Contourlet變換[36](NonsubsampledContourletTransform，NSCT)就是一個平移不變、多尺度、多方向的超完備變換，實驗證明NSCT在圖像加強、圖像去噪等領域非常有效。冗余變換有利于圖像去噪等方面，但對圖像壓縮編碼則成為一個不利的因素，Contourlet具有源于LP結構的冗余度是一種冗余變換。Lu和Do提出了一種無冗余多尺度、多方向的濾波器組結構[35]，這種結構在頻率域的劃分類似于Contourlet變換，可以看作是原始的Contourlet變換的臨界采樣版本（CriticallySampledVersionoftheOriginalContourletTransform，CRISPContourlet）。CRISPContourlet和NSCT是Contourlet變換的兩種具有代表性的擴展，可預見根據不同的圖像處理目的構造冗余度不同的Contourlet濾波器結構將成為人們研究的熱點之一。此外，設計具備一定方向消失矩條件的離散域最優濾波器也是目前的一個難點。

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作者簡介：

易文娟(1982)，女，碩士研究生，主要研究方向為多媒體信息處理、計算機應用；

郁梅(1968)，女，教授，博士，主要研究方向為多媒體信號處理、編碼、計算機視覺及其應用；

蔣剛毅(1964)，男，教授，博導，博士，主要研究方向為多媒體信息傳輸與信息安全、圖像處理與視頻信號編碼、基于視覺的智能控制。