怎樣連通線路更短

1877年，法國考古學家薩爾澤，在巴格達東南發掘了美索不達米亞古城拉格什的遺址，發現A、B、C三座神廟之間的地下水道是按圖1的方式連通的.這引起了他的思考.原來，這樣的水道方案是為了節約，也就是說如圖1所示，在三點A、B、C之間鋪設連通的管道，才會使管道長度之和比較小.

這說明，早在四五千年前的蘇美爾人就知道了這樣一個道理：如圖2，在△ABC中，1/2（AB+BC+CA）＜DA+DB+DC＜AB+BC+CA.怎樣證明這個看似繁瑣的不等式呢？

可以先證明1/2（AB+BC+CA）＜DA+DB+DC，再證明DA+DB+DC＜AB+BC+CA.

證明1/2（AB+BC+CA）＜DA+DB+DC很容易，因為AB＜DA+DB，BC＜DB+DC，CA＜DC+DA，將三式兩邊分別相加，再兩邊都除以2即得.

證明DA+DB+DC＜AB+BC+CA就稍困難一些，可先證出DB+DC＜AB+AC，DC+DA＜BC+BA，DA+DB＜CA+CB，然后將三式兩邊分別相加，再兩邊都除以2即得.

現在介紹利用圖3證明DB+DC＜AB+AC的一個方法.延長BD交AC于點E，在△ABE中，BE＜AB+AE，即DB+DE＜AB+AE，在△CDE中，DC＜DE+EC，將這兩式兩邊分別相加得DB+DE+DC＜AB+AE+DE+EC，即DB+DC＜AB+AC.類似地，可以證明DC+DA＜BC+BA，DA+DB＜CA+CB.

以上解決了“什么時候管道較短”的問題，深入一步就是“什么時候管道最短”的問題，也就是在圖2中，點D在什么位置，DA+DB+DC最??？1640年，法國數學家費爾馬向意大利物理學家托里拆利提出了這個問題，托里拆利于1659年圓滿解答，他的結論是，“在圖2中，如果△ABC的每一個內角都小于120°，則當∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°時，DA+DB+DC最小；如果△ABC有一個內角等于或大于120°，則這個角的頂點就是D的位置.”

更進一步，就有“平面上有四個點、五個點以至更多的點，怎樣連通，線段和最小？”目前，這還是一個世界難題.它的解答有著非常重大的意義，因為現代社會有太多太多的線路鋪設工程.

大家有興趣的話，就來研究研究這些問題吧！

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