在情境中探究，在樂趣中求知

為了進一步推進張家港市的素質教育進程，張家港市教育局于2005年12月開展了第七屆課堂教學改革經驗交流活動，筆者有幸為全市的初中數學老師上了一節示范課，得到了評課專家的肯定和聽課老師的好評。以下是我開設的《平面直角坐標系》(第一課時)的教學設計，希望得到同行、專家的指教。

1 教學目標

1.1 知識與技能目標

理解平面直角坐標系的有關概念，會正確地畫出直角坐標系，并能在建立的平面直角坐標系中，由點的位置寫出它的坐標，會根據坐標描出點的位置。滲透數形結合、類比轉化的數學思想；揭示人類認識世界是由特殊到一般、具體到抽象、一維到多維等認識規律，發展學生的數形結合意識、合作交流意識，培養學生的發散思維能力和創新能力。

1.2 過程與方法目標

經歷在同一直線上的點可以畫一條數軸來表示，聯想不在同一直線上的點需要畫兩條數軸才能表示，從而構建平面直角坐標系的過程，經歷看電影找座位以及通過舉出更多生活中的例子，而得到要表示平面內點的位置需要兩個有序實數的過程。經歷在平面直角坐標系中由點求坐標，由坐標描點等過程，發展學生的數形結合意識，合作交流意識。經歷游戲活動，使學生更直觀地得到坐標平面內的點與有序實數對的關系，激發學生的興趣，讓學生體會數學的生活化。

1.3 情感態度與價值觀目標

通過學習過程中的感受和體會，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力，培養數學意識，培養學生合作精神和積極參與、勤于思考、勇于創新的意識，讓每個學生都獲得自己力所能及的數學知識，增強學生的自信心，激發學生的學習熱情。

2 教學重點、難點

重點：理解平面直角坐標系的有關概念，由點的位置求坐標，由坐標描點的位置。

難點：構建平面直角坐標系及平面直角坐標系內的點與有序實數對的一一對應關系。

3 教學方法與教學手段

教學方法：這節課我主要采用探索式教學法，引導學生通過獨立思考、自主探索，合作交流等活動方式經歷知識的發生、發展過程，學會獲取新知識的方法，以利于實現本節課的教學目標。另外，我還根據八年級學生的年齡特點，采用了游戲活動法，通過游戲活動，既激發了學生的求知欲，培養了學生學習的興趣，又突破了本節課的難點。

教學手段：采用多媒體，實物投影，練習卷，游戲紙板。

4 教學過程

4.1 回顧舊知，打下伏筆

T：什么叫數軸?

S：規定了原點、正方向、單位長度的一條直線叫數軸。

T：數軸上的點與實數有什么關系?

S：數軸上的點與實數是一一對應關系。

(設計意圖：通過這個活動來復習舊知，為學習新知打下基礎。)

4.2 創設情境，提出問題

T：車站正東100米處有一所學校，正西50米處是少年宮，請問能否在一條數軸上表示出這三者的位置?為什么?

S：能，因為這三者在同一直線上。

T：那么在畫數軸時，為了比較方便地表示這三者，應取誰為原點?多少長為一個單位長度?正東和正西一般取哪個方位在正方向?

S：車站為原點，50米長為一個單位長度，一般取正東在正方向上。

T：下面請一位同學上黑板畫，其余同學在練習卷上畫。

T：如果車站正南150米處有一個圖書館，你能在上述的數軸中表示出圖書館的位置嗎?為什么?

S：不能，因為圖書館和這三者不在同一直線上。

T：那么我們可以想什么辦法才能表示出圖書館的位置呢?(小組討論、全班交流)

S：再畫一條數軸。

T：有道理，那么這條數軸如何畫呢?

S：與原來那條數軸垂直。

T：取誰為原點?多少長為一個單位長度?若取向上為正方向，則正南和正北一般取哪個方位在正方向?

S：還是車站為原點，50米長為一個單位長度，一般取正北在正方向上。

在討論中，老師在黑板上畫出另一條數軸并表示出了圖書館的位置，學生在下面練習卷上畫完。

(設計意圖：讓學生體驗從具體生活發現并得到數學問題，從而認識數學的發展是人對客觀事物認識需要而產生的。)

T：同學們真聰明，這個辦法能把圖書館的位置表示出來，你們可知道，畫兩條數軸來表示不在同一直線上的點的位置的方法，直到1637年以前，才被法國數學家笛卡爾發現。這里有一個資料，我們一起來了解一下，請一位同學朗讀。

4.3 閱讀資料，了解歷史

S：早在1637年以前，法國數學家、解析幾何的創始人笛卡爾受到了經緯度的啟發，地理上的經緯度是以赤道和本初子午線為標準的，這兩條線從局部上可以看成是平面內互相垂直的兩條直線，所以笛卡爾的方法就是在平面內畫兩條原點重合、互相垂直且具有相同單位長度的數軸建立平面直角坐標系，從而解決了用一對實數表示平面內的點的位置的問題。

(設計意圖：從走科學家探索之路可讓學生體驗數學從生活中產生的過程，培養學生的探索精神，使學生產生一種成就感，激發學習興趣。)

T：通過以上學習，我們明確了要表示平面內不在同一直線上的點的位置，必須要建立平面直角坐標系，本節課就來研究這個內容。(板書課題：《平面直角坐標系》)

T：下面我們先來學習平面直角坐標系的有關概念。

4.4 師生互動，學習新知

T：由剛才的學習可知，要建立平面直角坐標系，在平面上必須畫幾條數軸?

S：兩條。

T：這兩條數軸要滿足哪些條件?

S：互相垂直、原點重合且具有相同單位長度。

通過學生的回答，老師進行多媒體演示平面直角坐標系的建立。然后結合圖形，通過老師引導、提問，師生共同討論，多媒體逐步顯示的方式，依次學習：橫軸(x軸)、縱軸(y軸)，正方向、坐標原點、坐標平面、四個象限，坐標軸上的點不屬于任何象限等有關概念。

T：剛才我們學習了平面直角坐標系的有關概念，那么利用它如何來表示平面內點的位置呢?是像在數軸上表示點的方法：用一個實數來表示點的位置，還是需要用幾個實數呢?帶著這個問題我們先來看下面的活動4。

4.5 再創情境，探索問題

T：你到電影院里看電影，假設你只記得自己的座位是第9排，你能很快找到自己的座位嗎?

S：不能。

T：假設你只記得自己的座位是第6座，你能很快找到自己的座位嗎?

S：不能。

T：由這兩個問題說明，要很快找到自己的座位，需要幾個實數?

S：兩個。

T：那么，僅有兩個實數行不行?我們來看下面這個問題。

T：你認為6排9座和9排6座是同一張座位嗎?

S：不是。

T：由這個問題說明這兩個實數還要有順序，否則還是不能很快找到自己的座位。由此得出，要很快找到自己的座位，需要兩個有序實數。下面我們再來看活動5。

T：你還能舉出在現實生活中，需要用兩個有序實數才能確定平面內物體位置的例子嗎?(小組討論，全班交流)

S：到某教室找一位同學的座位需要知道幾排幾座，到某學校找一個教室需要知道幾年級幾班，了解課程表上的某一節課需要知道星期幾第幾節，棋盤上棋子的位置需要知道第幾行第幾列，找親戚家的房子需要幾幢幾號，雷達探測地面或海上某個物體的位置需要知道經緯度，布置書上的數學作業需要知道第幾頁第幾道等等。

(設計意圖：通過創設看電影找座位這個學生非常熟悉的情境，更能激發學生內在的心里體驗。再通過學生交流更多的例子，使學生更加直觀、清晰地認識到：確定平面內點的位置，需要用兩個有序實數。)

師生共同總結：通過以上學習，我們知道了要表示平面內點的位置，首先要建立平面直角坐標系，然后用兩個有序實數表示才行。

T：下面我們就來學習具體如何表示平面內點的位置。

4.6 指導應用，鞏固新知

T：在平面直角坐標系中，有一點M，(多媒體顯示)如何找出表示點M的兩個有序實數?

S：3和2。

T：你是如何知道的?

S：看出來的。

T：目測往往是有誤差的，可以通過什么辦法正確得到呢?(小組討論，全班交流)

S：過點M作橫軸的垂線，垂足對應的數是3，過點M作縱軸的垂線，垂足對應的數是2，得出這兩個數是3和2。(老師在這里強調畫垂線用虛線)。

T：因為3在橫軸上，所以3叫點M的橫坐標，2在縱軸上，所以2叫點M的縱坐標，依次寫出點M的橫坐標和縱坐標，得到一對有序實數(3，2)，稱為點M的坐標，記作：M(3，2)。這里有一個書寫坐標的口訣：“橫坐標在前，縱坐標在后，中間加逗號，兩邊加括號。”

T：根據求點M的坐標的經驗，你會求點N的坐標嗎?

S：過點N作橫軸的垂線，垂足對應的數是2，2叫做點N的橫坐標；過點N作縱軸的垂線，垂足對應的數是3，3叫做點N的縱坐標；因此，點N的坐標是N(2，3)。

T：同學們，我們來比較點M和點N的坐標，發現表示這兩個點的坐標的兩個實數完全相同，但它們的順序不同，而它們在圖中的位置也不同，即它們不是同一個點，聯系前面學習的看電影找座位中6排9座和9排6座也不是同一張座位，這進一步說明了什么?

S：表示點的坐標的兩個實數是有順序的。

T：我們把兩個有順序的實數簡稱有序實數對，從而得出點的坐標是“有序實數對”。

T：請同學們來求點Q的坐標?

S：點Q的坐標是點Q(-2，0)。

T：為什么點Q的橫坐標為-2？

S：因為它就在橫軸上的-2處。

T：為什么點Q的縱坐標為0？

S：因為它在橫軸上。

T：那你怎么得出在橫軸上的點的縱坐標為0？

S：過點Q向縱軸作垂線，垂足在原點，即對應的數是0，因此縱坐標為0。

T：講得很好，由此可以得出，在橫軸上的點的縱坐標是0。

T：請同學們再來求點P的坐標?

S：點P的坐標是點P(0，4)。

類似的方法也得出，在縱軸上的點的橫坐標是0。

(設計意圖：（1） 本題中設計了求四個點的坐標，其中兩個點在象限內，兩個點在坐標軸上，目的是讓學生明確求不同位置下點的坐標的方法。（2） 其中設計點M和點N這兩個點，目的是讓學生更好地理解點的坐標是“有序實數對”。)

T：通過剛才的學習，你們會求點的坐標了嗎?下面我們來練一練。

T：例1 已知點在坐標平面內的位置，求點的坐標。練一練：求出下圖中A、B、C、D、E、F、G、H、M各點的坐標。

觀察你所求出的這些點的坐標，回答下列問題：

(1) 這些點分別位于哪個象限或坐標軸?

(2) 請仔細觀察你所寫出的這些點的橫、縱坐標的符號，回答在四個象限內和兩條坐標軸上的點的橫、縱坐標各有什么特征?(小組討論、全班交流)

求各點的坐標及第(1)題請學生完成在練習卷上，然后老師請學生依次回答，老師板書。

第(2)題等學生討論后，請學生交流，老師板書。

T：剛才我們學習了已知點的位置，求點的坐標。那么反過來，已知點的坐標，如何描出點的位置呢?

T：例2 已知點的坐標，在坐標平面內描出點的位置。

描出A(4，3)、B(2，-3)、C(-4，-1)、D(-2，2)、E(3，0)、F(0，-2)。

T：請同學們思考如何描出點A(4，3)的位置?

S：在橫軸上找到4，過4這個點作橫軸的垂線；在縱軸上找到3，過3這個點作縱軸的垂線；兩條垂線的交點即為點A的位置。

T：方法很好，這里請同學們同樣把垂線畫成虛線。請同學們在練習卷上完成后面的5個點。

待學生在練習卷上完成后，利用實物投影，請學生上臺交流完成情況。

(設計意圖：（1） “學數學而不練，猶如入空山而空返”(華羅庚語)。適當的鞏固性、應用性練習是學習新知識、鞏固新知識所必不可少的。（2） 通過例1讓學生表示平面直角坐標系內各象限內及坐標軸上點的過程，經歷平面直角坐標系內有—個點，就有唯一的一對有序實數與之對應。通過例2在平面直角坐標系內描點的方法，經歷在平面直角坐標系內，一對有序實數就有唯一的點與之對應。為后繼學習打下基礎。（3）例1的第2題是為接下來的游戲活動和第二課時的學習服務的。)

T：同學們，剛才我們學習了已知點在坐標平面內的位置，求點的坐標。反之，已知點的坐標，在坐標平面內描出點的位置。下面老師想和你們一起玩一個游戲，想不想啊?

S：想。(異口同聲)

4.7 組織游戲，深化新知

T：設每位同學都表示平面內的一個點，讓居中橫、縱向同學建立平面直角坐標系，舉起老師發的游戲紙板，橫向的同學表示x軸，縱向的同學表示y軸，紙板上的數字分別表示x軸、y軸上的坐標。

游戲活動1：請同學根據老師說的坐標站起來。

游戲活動2：老師報同學的姓名，請被報到姓名的同學站起來，先說出自己表示的點所在的象限或坐標軸，再說出點的坐標。

T：請同學們做好準備，看清自己在這個平面直角坐標系中處在哪個象限或坐標軸上?自己這個點表示的坐標是多少?

游戲活動結束。

T：通過這個游戲活動，我們可以看到：對于坐標平面內的任意—點，有唯一的有序實數對與它對應：對于任意有序實數對，坐標平面內有唯一的一點與它對應。聯系前面復習的數軸上的點與實數的關系，你們能得到什么結論?

S：坐標平面內的點一一對應有序實數對。

(設計意圖：（1） 通過游戲活動，激發學生的學習熱情，使整個課堂氣氛達到高潮。（2） 使學生體會數學來源于生活，生活中處處體現數學。（3） 增進了師生間、生生間的合作，友誼。（3） 使學生能輕松、直觀地歸納出坐標平面內的點與有序實數對的關系。)

4.8 學有所得，交流收獲

T：通過本節課的學習，說說你有哪些收獲?(小組討論，全班交流)

(設計意圖：通過學生之間討論、交流，對所學的內容做全面的小結，使學生的知識與技能、思想與方法得到提煉和升華。)

4.9 感謝學生，饋贈寄語

T：同學們，每個人的人生就是一個以時間為橫軸，人的價值為縱軸的平面直角坐標系：我相信同學們一定能用自己的勤奮和智慧在這個坐標系中畫出一個個光彩奪目的點。感謝同學們今天的配合!

(設計意圖：利用平面直角坐標系設計寄語，既體現了數學與生活的緊密相連，使學生感覺到學習本節內容的重要性，同時又激發了學生學習的熱情，表達了老師對學生配合的感謝和良好的祝愿，充分體現了師生平等、和諧的合作伙伴關系。)

5 教學設計說明

《平面直角坐標系》是《函數及其圖像》這一章的重要內容，它是學習下一節《一次函數》的重要基礎，平面直角坐標系概念的引入，標志著數學由常量數學向變量數學的邁進，這是學生數學知識的一個飛躍。而平面直角坐標系是研究函數的工具，所以本節內容十分重要。下面就這節課特點作如下說明：

5.1 切入自然

從學生已有的知識與經驗出發進行教學是數學教學的基本規律，也是數學新課程大力提倡的。前蘇聯著名數學家辛欽曾有這樣一段話：“我想盡力做到在引進新概念、新理論時，學生先有準備，能盡可能地看到這些新概念、新理論的引進是很自然的，甚至是不可避免的。我認為只有利用這種方法，在學生方面才能非形式化地理解并掌握所學到的東西。”這段話很精辟，它說出了引入新知識的一個重要原則——由自然到必然。本課無論是“平面直角坐標系的建立”的引入，以及“用兩個有序實數來表示坐標平面內點的位置”的引入，還是“坐標平面內的點與有序實數對的關系”這一難點的突破上都體現了這一原則。

5.2 形式多樣

多樣化的學習方式能引發學生的情趣活動，是實現綜合化、多元性數學教學目標的關鍵。本課靈活運用了多種教學方法，既有教師的引導、講解，又有小組討論、全班交流；既有例題演練，又有游戲活動等。調動了學生學習的積極性，充分發揮了學生的主體作用。通過游戲活動讓學生再次感知點和數的對應關系，然后上升到理性，從而突破了難點，效果很好，體現了新課程的理念。課堂拓展了學生學習空間，給學生充分發表意見的自由度。

5.3 過程開放

適度開放有利于思維發散，有利于反思，有利于成果交流，也有利于培養能力。本課每個環節體現了互動性特點，給了學生自由學習的時間和空間，為學生思維自由馳騁奠定了基礎。教師的作用是引導、點撥、激勵，學生成了學習的主體。

5.4 本課設計了“學有所得，交流收獲”和“感謝學生，饋贈寄語”通過學生之間討論、交流，不僅讓學生自己歸納了知識點，還注重了數學思想方法在課堂中的滲透。拓寬了學生的知識面，使學生的知識與技能得到提煉和升華。利用平面直角坐標系設計寄語，既體現了數學與生活的緊密相連，又充分體現了師生平等、和諧的合作伙伴關系。

5.5 本課通過設計“已知點的位置，求點的坐標”和“已知點的坐標，描點的位置”這兩類例題，再通過游戲活動的開展目的是讓學生看到平面直角坐標系的引入，架起了數與形之間的橋梁，充分理解了坐標平面內的點與有序實數對的一一對應關系。

5.6 本課采用了“回顧舊知，打下伏筆”到“感謝學生，饋贈寄語”這樣九個教學過程這樣的學程使學生不僅獲得了書本上的知識，而且展示了知識形成過程及對知識理解以及各個知識間相互聯系，幫助學生形成了知識體系，完善了認知結構，拓展知識應用。這樣的教學不僅使學生理解了學習內容，而且使學生掌握了學習的方法，更好地利用所學知識解決問題。

在整個教學過程中，我始終結合教材內容，由課題引入到問題解決自始至終向學生滲透數學應用意識，培養了學生應用數學的能力，揭示了數學來源于生活，又高于生活，數學與人們日常生活息息相關。