解中考數學題也可“投機取巧”

解答數學題除了常用的正面進攻的直接法以外，還有其他一些事半功倍的方法，如果在解題活動中能夠發揮方法溝通上的靈活性，即猶如神來一筆，不但提高解題的速度和效率，一些本以為沒辦法解決的問題興許還能起死回生。

一、選擇題(單選題)：驗證法、排除法、特殊值法、圖示法、操作法、工具法。(工具法、操作法對已掌握的同學可用來檢驗，對基礎薄弱的同學提供了一個方法)

1．淘汰法，根據條件，綜合分析四個選項，將錯誤選項逐一淘汰，從而得到正確的選項。

[例1]若函數y=κ／x圖像在第一、三象限內，那么函數y=kx²+bx-2的圖像大致是( )。

A．拋物線開口向上，與y軸交于x軸下方

B．拋物線開口向上，與y軸交于x軸上方

C．拋物線開口向下，與y軸交于x軸下方

D．拋物線開口向下，與y軸交于x軸上方

分析：∵函數y=k／x的圖像在一、三象限，∴k＞0。

∵y=kx²+bx-2的圖像開口向上，排除C、D。

又∴C=-2，拋物線與y軸交于z軸上方，

∴排除A，故選B。

2．特殊值法，將一般問題轉化為特殊問題解答，可按照題目的要求，恰當地選取適合已知條件的某些特殊值進行驗算，判斷選項的正誤，如給出一個二次函數的圖像與坐標軸相交的坐標，求二次函數中未知系數之間的關系，只要將符合題意的特殊值(可以是數字)代入題中即可輕松選擇。

[例2] 對任意實數m，關于x的方程(m²+1)x²+2mx+m²+4=0根的情況是( )。

A．有兩個不相等的正根

B．有兩個不相等的負根

C．有兩個相等的實數根

D．沒有實數根

分析：判斷一元二次方程根的情況，應當用判別式，但△=(-2m)²-4(m²+1)(m²+4)不能明顯得到結論，所以由m為任意數，可以采用特殊值法，不妨取m=0，原方程化為x²+4=0，無實根，排除A、B、C，故選D。

[例3] 多項式a⁴-3a²+1因式分解后可得( )。

A．(a²+a+1)(a²-a+1)

B．(a²-a+1)(a²-a-1)

C．(a²+a+1)(a²-a-1)

D．(a²+a-1)(a²-a-1)

分析：取a=2，分別代入即可知選D。

[例4]若02，x，1／x，1／x²這四個數中( )。

A．1／x²最大，x²最小

B．x最大，1／x最小

C．x²最大，1／x²最小

D．x最大，x²最小

[例5] 實數x，y，z滿足x+y=5，z²=xy+y-9，則x+2y+3z的值為( )。

A．6

B．7

C．8

D．9

[例6] 計算(－2)²ⁿ⁺¹+2(-2)²ⁿ，其結果是( )。

A．2²ⁿ⁺¹ B．-2²ⁿ⁺¹ C．0 D．1

[例7] 任意兩個奇數的平方差必是( )。

A．3的倍數

B．5的倍數

C．8的倍數

D．以上都不對

3．驗證法，將供選擇的答案代人已知條件中檢驗，即可去偽存真，如平面鑲嵌問題，只要驗證同一頂點的正多邊形的內角和是否為三百六十度即可。

[例8]商店出售下列形狀的瓷磚：正三角形、梯形、矩形、正五邊形、正六邊形，若只選購其中一種瓷磚密鋪地面，可供選擇的瓷磚共有( )種。

A．1

B．2

C．3

D．4

[例9] 函數y=(m-1)x^-m-1是反比例函數，則m值為( )。

A．1 B．0 C．2 D．3

解：當m＝1時，x的系數為0，所以排除A，

當m=0時，y=-1／x，所以選B。

[例10] 方程2x(x-3)=5(x-3)的根是( )。

A．x=5／2

B．x=3

C．x₁=3，x₂=5／2 D．x=-3

[例11] 在△ABC中，BC＝14，AC＝9，AB＝13，其內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，那么AF、BD、CE的長為( )。

A．AF＝4，BD＝9，CE＝5

B．AF＝4，BD＝5，CE＝9

C．AF＝5，BD＝4，CE＝9

D．AF＝9，BD＝4，CE＝5

分析：畫草圖(如圖1)，因為AF＝AE，BD—BF、CE—CD，將四個選項代入只有A項滿足，即AF+BF＝AF+BD＝13，BD+CD＝BD+CE＝14。

4．圖像法，按題意作出圖像，并通過分析圖像找出正確答案，多用于二次函數圖像和幾何圖形的判斷，這需要通過二次函數和幾何圖形的圖像特征和性質進行分析。

[例12] 不論x為何值，二次函數的值恒小于0的條件是( )。

A．a>0，△>0

B．a>0，△<0

C．a<0，△>0

D．a<0，△<0

分析：根據題意畫出草圖(如圖2)，拋物線在x軸下方，即開口向下，與x軸無交點，選D。

[例13] 若a>0，6<0，a+6>0，則下列各式中成立的是( )。

A．a>-b>-a>b

B．a>-b>b>-a

C．一b>a>b>-a

D．-b>a>-a>b

分析：在數軸上先標出a與b的位置，再標出它們的相反數，可知選B。

5．工具法

[例14] 如圖3，有兩個正方形和一個等邊三角形，則圖中度數為30℃的角有( )。

A．1個 B．2個

C．3個 D．4個

分析：一般中考作圖都很精確(不過，如果原題圖形不精確，自己最好畫一個)，可用量角器對銳角進行測量，選D。

[例15] 在平面直角坐標系中，以點(2，3)為圓心，3為半徑的圓與坐標軸的交點個數為( )。

A．1個 B．2個

C．3個 D．4個

分析：在平面直角坐標系中，以點(2，3)為圓心，用圓規畫圓(如圖4)，即可知圓與坐標軸的交點個數為3，選C。

6．操作法

[例16]如圖5，將一張正方形紙片經兩次對折，并剪出一個菱形小洞后展開鋪平，得到的圖形是( )。

分析：可動手折一折，剪出菱形，展開后看折痕，選D。

[例17] 把一個正方形三次對折后沿虛線剪下(如圖6)，則所得圖形大致是( )。

分析：可動手折一折，觀察折痕，如果能允許撕開更直觀清楚。

[例18] 如圖7所示的矩形中，按虛線剪開后，既能拼出平行四邊形和梯形，又能拼出三角形的圖形是

（ )。

A．①②③⑤ B．①②③

C．②⑤

D．②

分析：此題難度比較大，要認真審題，常用直接法和分析驗證法。

[例19] 一副三角板，如圖8所示疊放在一起，則圖中∠a的度數是( )。

A．75℃

B．60℃

C．65℃

D．55℃

分析：(操作法與工具度量結合)可先用一副三角板擺放好，再用量角器度量，選A。

二、填空題：驗證法、操作法、工具法、特殊值法。

1．驗證法

[例20] 已知點P在第二象限，它的橫坐標與縱坐標的和為1，則點P的坐標是( )(寫出符合條件的一個即可)

分析：根據橫坐標與縱坐標的和為1，可先給出橫坐標一個數值，再湊出(或解出)相應的縱坐標的值，比如：橫坐標取1，列式1+0＝1，P(1，0)，如果是此類比較復雜的問題，可通過解方程求解。

[例21] 寫出一個以x=0.y=7為解的二元一次方程組：( )。

分析：利用方程組的定義構造方程組。

先利用0、7列一組算式，比如：0+7=7，2×0-7=-7然后用0=x，7=y代換，得0+7=7，2×0-7=-7

2．操作法

[例22] 用兩個全等的三角形，最多可以拼成( )個不同的平行四邊形。

分析：可用兩個全等的含30℃角的三角板(允許的情況下可撕出兩個全等三角形)拼圖，答案為3

3．工具法

[例23] 如圖9，P是∠AOB的平分線上的一點，PC上OA于C，PD⊥OB于D，寫出圖中一組相等的線段(只需寫出一組即可)。

分析：可用刻度尺度量法，PD=PC。

4．特殊值法

[例24] 將一副三角板如圖10放置，則上下兩塊三角板面積A₁:A₂之比等于( )。

分析：“同底”三角形面積比等于其高的比，可賦特殊值，設含30℃角的直角三角形的短直角邊的長為1，則45℃角的直角三角形的高為3／2，答案：2／3:3。

三、解答題：可借助于操作法、工具法、特殊值法等幫助分析、猜想、探究。

1．操作法(折紙、翻動等)

[例25]印刷一本書，為了使裝訂成書后頁碼恰好為連續的自然數，可按如下方法操作：先將一張整版的紙，對折一次為4頁，再對折一次為8頁，連續對折三次為16頁，……然后再排頁碼，如果想設計一本16頁的畢業紀念冊，請你按圖11-1、圖11-2、圖11-3(圖中的1，16表示頁碼)的方法折疊，在圖11-4中填上按這種折疊方法得到的各頁在該面相應位置上的頁碼。

2．工具法(探索線段之間、角之間的數量關系)

[例26] 征方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連結BE、DG 。

(1)觀察猜想BE與DG之間的大小關系，并證明你的結論；

(2)圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形?若存在，請說出旋轉過程；若不存在，請說明理由，

分析：可用刻度尺度量BE與DG的大小。

[例27] 已知y=-x²+5x+n過點A(1，0)，與y軸交于點B。

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P在坐標軸上，且△ABP是等腰三角形，求P點的坐標。

分析：第(2)問可先作圖，再用圓規度量，觀察到滿足要求的P點有5個。

[例28]△ABO中，OA=OB，C是AB中點，0分別交OA、OB于點E、F。

(1)若OF—FB，∠B30℃，求證：AB是O的切線；

(2)若(三)0經過點C，在△ABO腰上的高等于底邊的一半，且AB=4，求ECF的長。

分析：第(2)問，如果知道求弧長需知圓心角的度數，即便不會推理，亦可通過度量得到圓心角的度數，計算出弧長，也能得一步分。

3．特殊法(有些幾何猜想問題可借助于特，殊值或特殊位置猜想)

[例29]

已知△ABC是等邊三角形，將一塊含30℃角的直角三角板DEF如圖15放置，讓三角板在BC所在的直線ι上向右平移―當點E與點B重合時，點A恰好落在三角板的斜邊DF上。

問：在三角板平移過程中，圖中是否存在與線段EB始終相等的線段(假定AB、AC與三角板斜邊的交點為G、H)?如果存在，請指出這條線段，并證明；如果不存在，請說明理由，(說明：結論中不得含有圖中未標識的字母)

分析：(測量法)由于圖形規范，可測量檢驗；(操作法)可畫一個邊長等于三角板斜邊上的高的等邊三角形，讓三角板移動，觀察；(特殊法)可從特殊位置人手分析，當點E與點B重合時，此時EB=GH=0；可畫幾個不同位置的圖形分析。

觀察易發現，與線段EB相等的線段只可能是AH，或GH，在此基礎上，進行探究性的推理。

先把有關能直接得到的角的度數直接在圖形上標出來，例如，∠CFH一30℃，∠BCH一60℃，便可發現：∠CHF一30℃，于是，CF=CH，其次，由條件“點A恰好落在三角板的斜邊DF上”、“三角形是含30℃角的直角三角板”和“△ABC是等邊三角形”出發，設DE=a，則DF=2a，EF=3a，AB=AC=BC=3／2a；在這兩個結論的基礎上，便可發現：EB+CF＝CH+AH＝3／2a，于是就有EB＝AH。