淺析航線選擇中的改進最短路徑算法

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(海軍潛艇學院，山東 青島 266071)

最佳航線選擇不僅是船舶駕駛員經常關注的問題之一，而且還是船舶經營公司時常面臨的重要問題之一。船舶從起始地到目的地之間有多條航線可供選擇，由于自然條件、距離、船舶密度等多種因素的影響，各條航線所含的參數不同。在多條可供選擇的航線中，選擇出一條最佳航線，無疑將會對提高船舶經營公司的競爭力起到至關重要的作用。

對于一個網絡簡單的規劃來說，最短路徑算法具有良好的適用性；但是對于一個較為復雜的交通網絡來說，最短路徑算法在搜索效率上則會大打折扣，因此，需要更為高效的搜索算法。

1 數學模型的建立

船舶最佳航線選擇問題可以描述為：某船從起始港S出發前往目的港E，S、E兩港之間存在多條可供船舶航行的航線，并且這些航線和船舶在航線上的掛靠港或錨地組成了一個交通網絡圖。那么，從起始港S出發前往目的港E，存在一條最佳航線。這里，“最佳”包括有航程最短、時間最省、能耗最少、最安全等內容。若要研究時間最省、能耗最少、最安全等內容時，只需將研究問題中的一些參數作一些必要的變換后，這些問題將會變成最短路徑問題。這里將航程最短作為目標，建立數學模型[2]。

起始港與目的港之間為一交通網絡。無向圖G=(V，E，L)。式中：V為m個節點構成的點集；E為n條邊構成的邊集；L為路權集。同時滿足：

1)G為一個簡單圖，不含環和多重邊；

2) 路權具有可加性。若有路徑νi-νk-νj，則有

l(νi,νj)=l(νi,νk)+l(νk,νj)

求A，B間的最短路徑P*，滿足

2 最短路徑算法

目前最短路徑問題的最成熟算法是Dijkstra算法。先給賦權圖的每一頂點記一個數(稱標號)，臨時標號(T標號)或固定標號(P標號)。T標號表示從始點到這一點還沒有尋找到最短路徑；P標號則表示從始點到這一點已尋找到最短路徑。計算的每一步是把某個點的T標號變成P標號。這樣一旦終點得到P標號，計算就停止。若尋求從始點到每一點的最短路徑，則最多經過N-1步計算，計算就要停止(N是G的頂點數)。

步驟1：給始點v1標上P標號d(v1)=0，給其他各點標上T標號d(vj)=l1j(j=2，3，4，…，N)；

步驟2：取所有T標號中的最小者，如，d(vj0)=l1j0，則把該點的T標號改為P標號；

步驟3：重新計算具有T標號的其他各點T標號：選vj點的T標號與d(vk)+lj中較小者作為vj的新標號。

一般情況下，設：

P={vj|vj具有P標號}

T={vj|vj具有T標號}

VP(V為圖G的頂點集合)

step4：重復上述步驟，直到vN∈P，這時d(vN)是從v1到vN的最短路徑。

3 改進算法

最短路徑問題首先考慮是否將此問題分解多個子問題進行求解。這樣可以降低問題復雜度，符合并行處理思想。Dijkstra最短路徑算法是從起點到終點求最短路徑，同樣也可以表述為從終點到起點求最短路徑。于是考慮最短路徑問題是否可以分解為由起點到終點求解最短路徑和由終點到起點求解最短路徑兩個子問題[3]。

步驟1：開始時，P=?，Q=?，易知vm=v1，vn=vN。P，Q分別是由開始點v1、終點vN開始的擴展點(固定標號)集合，vm,vn分別是集合P，Q的當前擴展點；

式中：d(vm)、e(vn)——起點到vm、終點到vn的最短路徑。

P∪{vm}→P，Q∪{vn}→Q

步驟3：重復步驟2直到P∩Q={vm}且vm唯一時終止；

步驟4：計算最短路徑

l1=d(vm)+e(vn)

l2=d(vx)+e(vy)+l(vx,vy)

式中：l(vx,vy)——vx，vy相鄰兩點的路權值，

l(vx,vy)>0

vx∈P

vy∈Q

最短路徑lmin為：lmin{l1,l2}

算法程序框圖見圖1。

圖1 改進算法程序框圖

4 實例

如圖2所示，若船從起始港S港出發前往目的港E港執行運輸任務，其間有多條航線以及掛靠港或錨地可供船舶駕駛員或船舶經營公司選擇，兩點之間的航線上的權值表示該航線的航程，權值越大，表示航程越大，反之，航程越小。作為船舶駕駛員或船舶經營公司，要在這些航線中選擇出航程最短的航線。

圖2 交通網絡圖

各航線的航程見表1。

表1 航線航程表 n mile

Dijkstra算法搜索過程及結果見表2。

表2 Dijkstra搜索過程

航程最短航線為S→D→C→B→A→E。

改進算法搜索過程及結果見表3。

表3 改進算法搜索過程 n mile

航程最短航線為S→D→C→B→A→E。

比較兩算法：搜索結果相同，但是顯然改進后的算法在效率上較第一種有所提高。在節點較少、邊較少簡單的交通網絡中兩種算法也許沒有太大的區別，但是對于一個較為復雜的交通網絡來說，改進算法就能發揮出優勢。

[1] 龍光正，楊建軍.改進的最短算法[J].系統工程與電子技術，2002(6)：106-108.

[2] 鄧成梁.運籌學(OR)的原理和方法[M].武漢：華中理工大學出版社,1996.

[3] 傅冬綿.交通問路系統中最短路徑的新算法[J].華僑大學學報:自然科學版，2001(2)：139-142.

收稿日期：2007-08-30

修回日期：2007-10-22

作者簡介：蔡文學(1968-)，男，博士，副教授。

研究方向：交通信息化與電子政務、交通地理信息

系統、物流信息系統等。E-mail：jzhf2605@yahoo.com.cn