規律：從正三角形延伸到正多邊形

正三角形中的一些特殊規律延伸到正多邊形中是否依然適用呢？現舉幾例，與同學們一起探究.

一、角度變化規律的延伸

例1如圖，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于點P．

(１)求圖1-1中，∠APD的度數；

(2)圖1-2中，∠APD的度數為，圖1-3中，∠APD的度數為；

(3)根據前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況?若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由.

分析：(1)本題可把∠APD看成△ABP的一個外角，使其轉化為∠ABP

+∠BAE，然后利用△ABE≌△BCD，把∠BAE轉化為∠CBD即可；(2)同第(1)小題的思路；(3)經過前面兩小題的探究，運用由特殊到一般的思想方法，可歸納出推廣的問題和結論.

解：(1)因為△ABC是等邊三角形，

所以AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°.

又因為BE=CD，

所以△ABE≌△BCD．

所以∠BAE=∠CBD，

所以∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°.

(2)按(1)的思路可得：圖1-2中，∠APD的度數為90°；圖1-3中，∠APD的度數為108°．

(3)能.如圖1-4，點E，D分別是正n邊形ABCM…中以C為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數為■．

二、面積比規律的延伸

例２如圖２-1，圖２-2分別是兩個相同正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處.

(1)求圖２-1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比；

(2)求圖２-2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比(直接寫出答案)；

(3)根據前面探索和圖２-3，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況(n為大于2的偶數)?若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

分析：(1)、(2)兩小題，如圖２-4，連接BO、CO，則重疊部分面積可以分別轉化為△OBＣ的面積.如圖２-5，連接BO、DO，則重疊部分面積可以轉化為四邊形OBCD的面積.求重疊部分面積與陰影部分面積之比，即分別求S△OBC∶S陰影和

S四邊形OBCD∶S陰影.

(3)將前面兩小題的結論進行歸納、猜想，做出推理.

解：(1)由已知得：在△OFB和△OEC中，

∠FBO=∠EＣＯ=45°，BO=CO，∠FOB=∠EOC=90°-∠BOE，

所以△OFB≌△OEC.

所以S重疊部分∶S陰影=S△OBC∶S陰影=1∶3.

(2)同理，S重疊部分：S陰影=S四邊形OBCD：S陰影=1∶2.

(3）能.推廣問題：兩個相同的正n(n為大于2的偶數)邊形，其中一個正n邊形的頂點在另一個正n邊形外接圓圓心處，求重疊部分面積與陰影部分面積之比.結論：（n-2)∶(n+2)

三、線段相等規律的延伸

例３問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：

①如圖３－1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BＯＮ＝60°，則BM=CN.

②如圖３-2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN.

然后運用類比的思想提出了如下的命題：③如圖３-3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．

任務要求：

(1)請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；

(2)請你繼續完成下面的探索：如圖３-4，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，ＢＭ與CN相交于點Ｏ，問當∠BON=108°時，結論BM=CN是否還成立?

若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

分析：本題是一道典型的幾何探究題，引導同學們由易到難，很好地體現了從一般到特殊的數學思想方法．(1)要證明BM=CN，根據圖形的特征很容易分析出就是要證明這兩條邊所在的兩個三角形全等．(2)在圖形的變化過程中，BM、CN所在的兩個三角形的全等關系沒有改變，這是題目的本質所在．所以，當∠BON

=108°時，結論BM=CN成立．

解：(1)若選命題①，

證明：在圖３-1中，因為∠BON=60°，所以∠CBM+∠BCN=60°．

因為∠BCN+∠ACN=60°，所以∠CBM=∠ACN．

因為BC=CA，∠BCM=∠A=60°，所以△BCM≌△CAN，所以BＭ=CN．

若選命題②或③，同理證△BCM≌△CDN．

(2)結論BM=CN成立.

證明：如圖３-5，連接BD、CE，在△BCD和△CDE中，因為BC=CD，∠BCD

=∠CDE=108°，CD=DE，

所以△BCD≌△CDE.所以BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．

因為∠OBC+∠OCB=∠BON=108°，∠OCB+∠OCD=∠BCD=108°，

所以∠OBC=∠OCD.

又因為∠DBC=∠ECD=■（1８０°－108°）＝36°，所以∠DBM=∠ECN.在△BDM和△ECN中，∠DBM=∠ECN，BD=CE，∠EDB=∠AEC=72°．

所以△BDM≌△ＣEN，所以BM=CN．

即∠BON=108°時，結論BM=CN仍然成立．