賭徒的謬誤

韓雪濤

投擲一枚均勻的硬幣，在連續擲得9次正面的情況下，第10次擲得正面的可能性為多少?

回答這個問題時，一種可能的觀點是：前面9次都是正面，第10次也應不會例外，因此做出可能性超過一半甚至有人可能會給出90％的回答。另一種可能的觀點是：本來出現正、反面的可能性是一樣的，現在，9次都是正面，第10次不可能是正面了，于是做出可能性低于一半甚至有人可能會給出10％的回答。

類似的例子比比皆是。

如：在一個賭徒連賭連贏之后，有些賭徒會認為“他正走運呢”，打賭他還會贏；另一些賭徒卻認為。他應該要輸了，這樣輸贏才能平衡。而在一個賭徒連賭連輸之后，同樣的有些賭徒會認為“他太背運了”，打賭他會繼續輸；另一些賭徒卻認為，“機會很快會變得對他有利”、“他的運氣要改變”，他應該贏了，這樣輸贏才能平衡。

再如：許多人潛心研究彩票中獎號碼的規律，并且做了許多圖表，試圖發現利用已知數據預測中獎號碼的方法。根據圖表，一方主張：在上一輪中剛剛產生的號碼是比較“熱”的號碼，在下一輪中這些號碼再次出現的概率較高。另一方提出針鋒相對的觀點：“風水輪流轉”，那些在最近沒有出現過的號碼在下一輪中出現的概率才更高。

再比如：一對已生了4個女兒的夫婦，在計劃生第5胎時，會相信既然前面4個孩子都是女孩，那第5個應該是男孩了。當然，也有人會認為，這對夫婦就是生女兒的命，從而斷定他們第5胎還是女兒。

如果接受上面例子中提出的觀點，那你就陷入了賭徒的謬誤。在給出正確結論之前，我們先對賭徒的謬誤總結并進一步分析一下。

在賭徒的謬誤中，一種是認為前面經常發生的事件，在后面仍會發生。在理論上，當假定比如說硬幣是均勻無偏的情況下，這種觀點是錯誤的。不過，在現實生活中，這種看法有某種合理之處。比如我們拋擲一枚具體的硬幣，它前9次的結果都是正面朝上，此時我們確有很強的理由懷疑這是一枚有偏的硬幣，或者說它并非均勻的。這種情況下，倒是真的可以相信，第10次拋擲時出現正面朝上的概率大于1／2。對此，我們可以舉個有趣的例子。

這個例子發生在賭城蒙特卡羅。1873年，一家名為“純藝術”的賭場發生了一次令賭場瞠目結舌的事件。一個名叫約瑟夫，賈格斯的英國工程師讓他的助手提前一天到賭場，記錄下當天出現的所有數字。賈格斯仔細研究這些數字后發現，第六臺輪盤賭機上有9個數字被選中的概率遠遠高出一般概率。第二天他來到賭場。在那臺賭機上專押這9個數字。結果，到第4天結束時，他已經贏了30萬美元。賈格斯之所以交好運，并不是贏在數學上，而是贏在物理學上。那臺輪盤賭機上有一條小裂縫，正是這條小裂縫讓那9個數字出現的頻率高于統計學的估算。從那以后，蒙特卡羅賭場里的輪盤賭機每天都要由專業質量管理人員檢查調試，以確保所有數字被選中的概率相同。

賭徒的謬誤中，另一種觀點是相信：某一偶然事件出現得越是頻繁，它再次出現的可能性就越小。這種觀點似乎有一種很強的理論根據：平均數定律。以拋硬幣為例。假定硬幣是無偏向的，那么它出現反面與出現正面的可能性是一樣的。因此，許多人相信既然已經連續出現了9個正面，那么這種不平衡狀況應在下一次的結果中得到補救，即第10次應出現反面，這樣才能使出現正面與反面的可能性接近1／2。這種關于“平均數定律”的神話，其實是對概率概念的誤解。概率是從總體上考察現象發生的可能性，而不是說明下次將要發生什么。事實上，硬幣沒有記憶。它不知道前9次的結果是正面，不能在下次擲的時候想辦法得個反面來平衡。當然，長期下來真的會達到平衡。但其道理在于：在擲了比如說10000次后，頭9次的結果就無足輕重了，這不是被“補救”，而是被后來擲的9991次的結果淹沒了。

總而言之，賭徒的謬誤錯在：誤認為過去發生的和將要發生的兩個獨立事件之間存在著某種聯系，從而把兩個原本相互獨立的事件，誤看作前一個事件的結果會影響后一個事件結果發生的概率。

(一滴水摘自《從驚訝到思考》)