《拋物線及其標準方程》教學設計

　　創 新 點
　　
　　◆ 在新課標思想的指導下，結合前后的知識內容及學生的特點和認知規律，通過類比橢圓、雙曲線的定義，提出猜想，然后，讓學生動手用幾何畫板進行驗證，從而歸納出拋物線的定義，并根據定義推導拋物線的標準方程。
　　◆ 在課堂教學中，充分發揮多媒體的資源優勢，利用計算機作為輔助手段，呈現教學內容，有效地協助完成了師生探究活動。
　　◆ 充分將信息技術和學科教學有機地整合起來，有利于突出重點、突破難點，有利于教學目標的實現，使學生對所學知識得以內化。
　　◆ 充分體現學生的主體地位，讓學生成為學習的主人。
　　
　　教材及學情分析
　　《拋物線及其標準方程》是蘇教版高中數學（選修2-1）中的內容，適用對象是高二年級的學生。學生在初中階段所學的二次函數中，已經初步接觸過拋物線。通過本節課的學習，可以讓學生進一步了解拋物線所形成的幾何本質。在研究橢圓和雙曲線的基礎上，通過類比來研究拋物線的定義和標準方程，讓學生進一步掌握研究曲線的基本方法，并為他們今后學習解析幾何奠定良好的基礎。
　　
　　教學目標
　　結合新課標的思想，從三個維度出發，制定如下的教學目標：由實例感知，通過“類比－猜想－驗證－歸納”得出拋物線的定義，并推導出其標準方程，在實際應用中進一步體會數形結合的思想。
　　教學資源及教學環境
　　教學資源：學生在課前搜集的有關拋物線的圖片；教師用幾何畫板和PowerPoint軟件自制的課件、教案和學案。
　　教學環境：多媒體網絡教室。
　　
　　教學策略
　　在課堂教學中突出學生的主體地位，采用啟發、探究、合作交流等多種教學方法，并利用多媒體進行互動式教學。
　　
　　教學過程實錄
　　1.感知拋物線
　　師：我們知道圓錐曲線家族有三大成員，它們分別是：橢圓、雙曲線、拋物線。前面，我們已經對橢圓、雙曲線的標準方程及相關性質有了比較深入的研究。今天，我們就再一次攜手研究拋物線的標準方程。現在，我們先來看看出現在我們身邊的拋物線。（出示幻燈）
　　圖1：籃球從出手到進入籃框的運動路線呈拋物線；
　　圖2：飛機投彈過程中，子彈運動的路線呈拋物線；
　　圖3：太陽灶軸截面的外輪廓。
　　師：下面是同學們在課前收集的有關拋物線的圖片。（展示學生作品）
　　圖4：噴水池的水柱；橋拱；碗；探照燈的內壁由拋物線旋轉而成。
　　【設計意圖】展示教師和學生課前搜集的有關拋物線的實例圖片，讓學生從感性上認識拋物線。
　　2.認識拋物線
　　（1）回顧初中階段所學過的二次函數的圖像特征。（教師用幾何畫板演示）
　　師：什么是拋物線？大家回想一下，在初中階段，我們在哪部分學習過拋物線？
　　生：二次函數的圖像。
　　師：現在我們以開口向上的拋物線為例，研究其對稱性。它是軸對稱圖形，并且對稱軸過其頂點。現在把拋物線旋轉成開口向右，它仍然是拋物線，依然是軸對稱圖形，對稱軸仍過頂點。（教師操作幾何畫板，點擊出現對稱軸和頂點）
　　（2）類比－猜想－驗證－歸納，得出拋物線的定義。（師生共同操作幾何畫板）
　　師：要給拋物線下定義，我們就要看拋物線上的點有什么共同的特性。所以，我們先來類比一下圓錐曲線中的橢圓和雙曲線的定義：它們都可以用動點（M）到一個定點（F）和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于一個常數來定義，當比值小于1時，動點M的軌跡是橢圓；當比值大于1時，動點M的軌跡是雙曲線。拋物線也是圓錐曲線，那也應該能用動點到定點的距離|MF|與它到定直線的距離d的比值來定義。現在關鍵是這個比值應該滿足一個什么關系呢？（提示：比值小于1時，為橢圓；比值大于1時，為雙曲線）
　　生：比值等于1。
　　師：有道理。比值等于1時，動點的軌跡可能是拋物線。現在，我們就一起動手用幾何畫板來驗證，看我們的猜想是否正確。
　　用幾何畫板操作的步驟：
　　步驟1：找定點和定直線。
　　① 在橢圓和雙曲線中，定點與定直線是位于頂點的兩側的，類比得出，在拋物線中，定點與定直線也是位于頂點的兩側，并且定點應該在對稱軸上。（確定定點）
　　② 因為頂點是拋物線上的點，所以它到定點的距離等于它到定直線的距離。（確定直線）
　　③ 因為頂點是特殊點（滿足條件的定點和定直線很多），所以還要找其他的點再來驗證。（另找一任意點）度量其到定點與定直線的距離；調整定點和定直線，使兩段距離相等；再拖動任意點，進一步驗證在拋物線上任意一點都滿足兩距離相等。
　　步驟2：形成動點的軌跡，驗證了推理是正確的。
　　步驟3：歸納定義。
　　生：平面內到一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。
　　師：還有沒有什么條件？（提示：點F的位置）
　　生：點F不在直線l上。
　　定義：平面內到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。
　　【設計意圖】對拋物線由感性認識上升到理性認識。引導學生通過類比橢圓、雙曲線的定義，猜想拋物線的定義，并和學生一起動手用幾何畫板進行驗證，最后，讓學生根據操作的過程歸納出拋物線的定義，教師再加以完善。這樣比較符合學生的認知規律，能提高學生探索新知的興趣和能力，讓學生體會定義產生的全過程，使學生更進一步地理解拋物線上點的特點。（這部分的處理是一種新的嘗試，與傳統的講授相比有所創新和突破。）
　　（3）推導拋物線方程。（以開口向右的情況為例）
　　步驟1：推導方程。
　　師：我們已經知道了什么是拋物線，那拋物線的方程是什么呢？求曲線方程就是要求出曲線