看不見的數學家

　　1 活在紙幣上的科學家
　　
　　計算對歐拉來說毫不費力，就像人們呼吸，或者鷹在風中保持平衡那樣。
　　——弗朗索瓦·阿拉戈
　　
　　在一個小國家里誕生一位科學巨匠，這在世界史上并不多見。瑞士數學家、物理學家萊昂納爾·歐拉便是其中最出色的一位。歐拉的肖像被印在瑞士法郎上，與英鎊上的牛頓一起成為至今仍在歐洲流通的紙幣上“活著”的兩位科學家。
　　1707年4月15日，歐拉出生在瑞士西北部鄰近法國的巴塞爾，這座通用法語的城市至今人口仍不足20萬，卻擁有瑞士最早的學府——巴塞爾大學(1460年建校)。1720年秋，年僅13歲的歐拉進入巴塞爾大學，學習神學和希伯來語。牧師家庭出身的歐拉之所以選擇后來的科學道路，與當地一個叫貝努利的數學世家有著密切的關系。
　　貝努利家族的三代人中出過八位極有成就的數學家，其中約翰·貝努利那時在巴塞爾大學擔任數學教授。他講授數學基礎課，還給一些有興趣的學生開設了更高深的數學及物理學講座。小歐拉是約翰·貝努利最忠實的聽眾，后來他在自傳中寫道：“他(約翰教授)允許我每周六下午自由地去找他，他總是和藹地為我解答一切疑難……”小歐拉的數學才能很快引起了約翰的注意，他的兩個兒子尼古拉和丹尼爾(兄弟倆均為數學家)也與歐拉結為摯友。
　　17歲那年，歐拉獲哲學碩士學位，同時面臨對未來職業的抉擇。老歐拉仍固執地希望他成為牧師，幸虧諸位貝努利前輩的熱情勸告和擔保，做父親的才最后放棄自己的主張，數學王國才不至于失去這樣一位偉大的創造者。歐拉雖然沒有做成牧師，但父親篤信的加爾文教賦予了他一顆溫厚、仁慈之心，他畢生為人都十分謙遜。
　　歐拉被公認為是純粹數學的奠基人之一，也是歷史上最卓越、最多產的科學家之一，被同代數學家視為“分析的化身”。此外他在數論、幾何學、拓撲學、力學諸方面均有重大的貢獻。以歐拉命名的數學發現無處不在，并且總是處在各個領域引人矚目的位置，如：歐拉函數和歐拉定理(數論)、歐拉常數(微積分)、歐拉公式(復變函數)、歐拉線和歐拉圓(幾何學)、歐拉圖(圖論)、歐拉示性數(拓撲學)、歐拉角(動力學)、歐拉方程式(流體力學)等等。
　　歐拉還是一位出色的教科書作者。他撰寫的《無限小分析引論》《微分學原理》和《積分學原理》是數學史上里程碑式的著作，在很長一段時間里被當作分析學教材的典范。此外，歐拉還是對數學符號系統貢獻最大的數學家之一，這項工作的意義極其重要，卻容易被人們忽視。歐拉率先用f(x)表示函數，e表示自然對數的底，i表示虛數，s表示三角形的周長，a b c表示三角形的邊，π表示圓周率，∑表示求和，正弦sin、余弦cos和正切tg也是歐拉引入的，這些符號沿用至今，并為我們所熟知。
　　
　　2　和君主們打交道
　　
　　歐洲最偉大的國王希望歐洲最偉大的數學家在他的宮里。
　　——腓德烈大帝
　　
　　拿破侖是結交數學家最多的君王，而歐拉是與君王打交道最多的數學家。讓我們把時光拉回到1727年，那一年牛頓在倫敦去世，而20歲的歐拉則在貝努利兄弟的推薦下被俄國彼得堡科學院聘用，開始了自己的學術生涯。就在歐拉踏上俄羅斯領土的那一天(5月17日)，這個國家的女皇葉卡捷琳娜一世去世了。作為俄國最偉大的君王——彼得大帝的妻子，這位出身卑微的立陶宛女子在許多方面都表現得非常開明。在她僅僅兩年多的在位時間里，實現了丈夫建立科學院的愿望。 葉卡捷琳娜一世死后，權力旁落到一伙粗魯殘暴的家伙手里，他們把科學院看成是可有可無的擺設，甚至考慮取消它。也算是不幸中的大幸，貝努利兄弟原先推薦歐拉去的是醫學部，因為科學院只有那兒有空缺，為此歐拉還在巴塞爾大學突擊學習了生理學。科學院混亂的管理正好給了歐拉機會，讓他偷偷溜進了丹尼爾所在的數學部。從此歐拉埋頭于研究，完全沉浸在數學王國里。六年后丹尼爾返回瑞士，歐拉接替了他的數學教授職位。這一年歐拉26歲，在俄羅斯安了家，新娘是彼得大帝西游時帶回來的畫師的女兒，也是歐拉的瑞士同胞。那時俄國有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊萬諾夫娜。雖說在安娜的情夫的間接統治下俄羅斯經受了歷史上最血腥的恐怖時期，但科學院的境況并沒有變得更糟——畢竟像歐拉這樣的數學家對當權者無害。歐拉喜歡孩子，他的兩任妻子(第二個妻子是第一個妻子的同父異母的妹妹)先后生下了13個孩子。歐拉常常一邊抱著嬰兒一邊寫論文，稍長的孩子們則圍繞著他嬉戲。他是在任何地方、任何條件下都能工作的少數幾位大科學家之一。1740年，安娜女皇退位并于當年去世，歐拉遂接受了普魯士國王腓德烈大帝的邀請，到柏林科學院擔任數學部主任。然而歐拉與普魯士國王相處并不愉快，因為國王只喜歡溜須拍馬的大臣，之所以支持數學，只是感到那是一種責任。腓德烈從內心里討厭這門學問，因為他自己的數學很蹩腳，無法與法蘭西皇帝拿破侖相比。后者自稱是個幾何學家，并與同時代所有的巴黎數學家交上了朋友。歐拉在柏林不受歡迎的另一個原因是，他對腓德烈大帝津津樂道的哲學問題一無所知。有一次，法國啟蒙主義思想家伏爾泰來訪，在竭盡所能取悅了國王之后，又拿歐拉逗樂。忠厚老實的歐拉耐著性子忍受了這一切，但國王卻感覺自己丟了面子，他決心物色一位能說會道的數學家來領導他的科學院，結果法國人達朗貝爾被邀請到了柏林。
　　比歐拉年輕十歲的達朗貝爾是偏微分方程的開拓者，并最早寫出了動力學原理的著作。此外，他還是著名的“百科全書”的副主編(主編是哲學家狄德羅)。顯而易見，這樣一位全才更能讓腓德烈大帝的虛榮心得到滿足。沒想到的是，達朗貝爾卻是一位頭腦清醒、判斷力精確的人，他十分坦率地告訴普魯士國王，把任何其他數學家置于歐拉之上都是一種錯誤的行為。可惜的是，這并沒有讓自負的國王改變對歐拉的看法。為了子女的前途，58歲高齡的歐拉帶領全家離開了生活了二十多年的柏林，回到了彼得堡。此時俄羅斯又有了一位新女皇，即葉卡捷琳娜二世，她在位的34年里，完成了彼得大帝未竟的事業，領導俄國全面參與歐洲的政治和文化事業，制訂法典并厲行改革，還奪取了波蘭和克里米亞的大部分領土，故被稱作“葉卡捷琳娜大帝”。在歐拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的規格接待他，撥給他一棟可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一個廚子。
　　
　　3　看不見的數學家
　　
　　學習歐拉吧，他是我們所有人的老師。
　　——拉普拉斯
　　
　　如同創作不朽旋律的貝多芬雙耳先后失聰一樣，從事數學研究的歐拉雙目也先后失明，但這絲毫不影響他的創造力。歐拉一生完成了八百多篇(部)論文和著作。從1907年歐拉誕辰200周年開始，瑞士開始編輯《歐拉全集》，那是72卷大四開本的巨著，至今尚未完成。 　 歐拉的失明并非由于遺傳，第一次災難降臨時他只有28歲。為贏得一項天文學的大獎，他連續工作三天三夜，把當時認為需要幾個月才能解決的難題攻克了。結果引發了一場疾病，歐拉從此失去了右眼的視力。歐拉的左眼患上白內障時已經快60歲了，但他卻能夠泰然處之。在完全失明之前，他努力嘗試用粉筆把公式寫在大石板上，然后讓兒子或秘書抄下來，他再口述對公式的說明和其他文字。這樣一來，他寫作的效率非但沒有降低，反而提高了。 　 與許多失明者一樣，歐拉有著非凡的記憶力。他把那個時代幾乎所有的數學結果銘記于心，還長于心算。更讓人不可思議的是，歐拉能背出古羅馬大詩人維吉爾的12卷史詩《埃涅阿斯紀》每一頁的首句和末句。或許，歐拉從優美的詩句中獲得了某種共鳴，他的數學發明總是以優美的形式呈現。在完全失明的17年間，最讓他得意的是發現了月球的運動規律，那曾是唯一使牛頓頭痛的問題，卻被歐拉通過復雜的心算推導出來了。 　除了失明以外，歐拉一生還遭遇了許多不幸：八個孩子先后夭折；晚年的一場大火雖然沒有奪走他的生命和手稿，卻把他的房子和藏書全毀了。葉卡捷琳娜二世獲悉發生火災的消息后馬上補償了全部損失，使歐拉很快又投入了工作。值得一提的是，俄國還有一位女皇伊麗莎白(她是彼得大帝的女兒)，她在位的20年間，歐拉一直生活在柏林，盡管如此，她還是照付給他院士津貼。有一年俄羅斯軍隊入侵柏林遠郊，歐拉的農場遭到了搶劫，伊麗莎白知道后加倍賠償了他的損失。可以說，歐拉的一生得到了俄國四位女皇的垂青。
　　1783年9月18日，一個晴朗的秋日下午，歐拉和家人一起吃晚飯，談論著新近發現的天王星。那會兒，在德國中北部的布倫瑞克，一座離柏林不到兩百公里的小城里，園丁的兒子高斯才6歲，卻已充分顯露出了數學神童的天賦。晚餐后，歐拉一邊喝著茶一邊和小孫女玩耍，突然間煙斗從他手中掉了下來……“歐拉停止了生命和計算”，這句出自法國哲學家兼數學家孔多塞的悼詞，常常使我想起歐拉喜愛的維吉爾的詩句：“錨拋下去，飛馳的船停住了。”
　　歐拉涉足的研究范圍十分廣泛，例如畢達哥拉斯時代遺留下來的完美數和友好數問題，以他的貢獻最大；再如費爾馬大定理，歐拉也有出色的貢獻，但最終的解答直到上個世紀末才得出；又如哥德巴赫猜想，是歐拉和哥德巴赫通信時提出來的。哥德巴赫的故鄉在普魯士的哥尼斯堡，誕生于這座城市的“七橋問題”是拓撲學的出發點，而把這個世俗問題抽象到數學高度的正是歐拉……　 盡管如此，由于歐拉既不像牛頓那樣建立起一門新科學(微積分學)和完整的力學體系，也不像后來的高斯那樣建立起一個數學學派(哥廷根學派)，加上他來自小國家，為人謙和，其公眾知名度并不很高。但在同行眼里，他無疑是一位卓有成就的數學家，還有不少數學史家把他與阿基米德、牛頓和高斯并列為有史以來最偉大的四位數學家。這四個人擁有一個共同點，即在創建純粹理論的同時，還把自己發明的數學工具用以解決大量天文、物理和力學等實際問題。他們不斷地從實踐中吸取營養，同時又不滿足于解決具體問題——他們把宇宙看成一個有機的整體，力圖揭示出它的內在奧秘和規律。 　關于歐拉的地位，“數學王子”高斯這樣說過：“對于歐拉工作的研究，將仍然是數學人能上的最好的學校，并且沒有任何別的可以替代它。”
　　
　　作者簡介：蔡天新，浙江大學數學系教授、博士生導師，著名詩人。15歲上大學，24歲獲博士學位，31歲做教授，33歲成為“東方之子”，行走過80多個國家，代表作有詩集《幽居之歌》，隨筆集《數字和玫瑰》，旅記《南方的博爾赫斯》《與伊麗莎白同行》