談高中物理中的極限問題

在高中物理中常會遇到極限的問題，有關這方面的問題主要包括三個方面的知識：萬有引力、靜電力、閉合電路歐姆定律。

（1）對于萬有引力定律的表達式F=Gm₁m₂/r²，有同學認為當r→0時，F→∞。雖然萬有引力定律適用于一切物體，但公式F=Gm₁m₂/r²計算萬有引力時，卻有一定的適用條件：

嚴格地說，萬有引力定律的公式只適用于計算質點間的相互作用。質點本身就是一個理想化的模型，當兩個物體間的距離比物體本身大得多時，可以認為是質點。認為當r→0時，F→∞的錯誤原因就在于實際情況中根本不可能出現r=0的情況，也就是說，在r→0時，有質量的物體也就不能再看成質點了。

對于萬有引力定律的適用還可以有下面兩種情況：一是當兩物體距離很近時，如果質量都是分布均勻的球體，此時r應是兩球體球心間的距離，二者間距離最小也是在它們接觸時，r為兩球半徑之和，而不是0。二是若為一均勻球體與球外一質點的萬有引力也可用此公式，式中r是球心到質點的距離，此距離最小是球的半徑，也不是0。

（2）對于庫侖定律公式：F=KQ₁Q₁/r²僅適用于真空中（空氣中近似成立）的兩個點電荷間的相互作用，在理解庫侖定律時，常有同學認為：r→0時，得出庫侖力F→∞。

從數學的角度分析，這是正確的結論，但從物理學的角度分析，這一結論是錯誤的，錯誤的原因和對萬有引力錯誤認識是類似的，原因在于當r→0時，兩電荷已經失去了點電荷成立的條件，何況實際電荷都有一定的大小，根本不會出現r=0的情況，也就是說，在r→0時電荷已經不能再看成點電荷了，違背了庫侖定律的適用條件（真空、點電荷），不能再運用庫侖定律計算兩電荷間的相互作用了。

（3）對于閉合電路歐姆定律，根據歐姆定律及串、并聯電路的性質來分析電路中某一電阻變化而引起的整個電路中各部分電學量的變化情況，在分析這一動態電路的基本方法中，可以用極限方法。極限法：因變阻器滑片滑動引起電路變化的問題，可將變阻器的滑動端分別滑至兩個極端去討論。

先用兩個例題來分析：

例1 如右圖所示電路中，已知電源電動勢E=3V，內電阻r=1Ω，R₁=2Ω，滑動變阻器R的阻值可連續增大，求：當R多大時，R₁將消耗的功率最大，且為多少？

解析 由P=I²R知，對于R₁消耗的功率

P₁=I²R₁當I最大時，P₁最大，要使I最大則由I=E/（r+R₁+R）可知應使R=0，當R=0時R₁將消耗的功率最大：P_m= R₁E²/(r+ R₁）² =2W

例2 分析閉合電路路端電壓與電流關系：U=E-Ir ；I=E/（r+R）。（E、r不變）

用極限法來分析是很容易理解的。

如果從數學角度來分析，U與I成一元一次函數關系，很容易得出U與I的圖線：

但從物理角度分析，U與I的圖線不應全部是實線，而是有一部分虛線的，這是因為，當I=0時，由于內阻r不是很大，I=E/（r+R）說明此式分母趨近于∞，即R→∞，電阻R為絕緣體了，電路就相當于斷開了，此時，才有路端電壓等于電源電動勢。但在實際情況中我們分析的是閉合電路，不是斷開的電路。

當U→0，說明E=Ir，也就是R→0，電路中沒有了電阻，相當于短路了，I=E/r就是短路電流了，而在實際電路中我們是不允許電路短路的。因此，在實際閉合電路中U與I線不應該全部是實線的，而應是如圖3情況。