巧用等軸雙曲線性質解競賽題

玻意耳定律指出：溫度不變時，一定質量的氣體的壓強跟它的體積成反比。其數學表達式為pV=恒量。氣體的等溫變化也可用圖線來表示。用直角坐標系的橫、縱軸分別代表氣體的體積V、壓強p，氣體在溫度不變時，壓強p與體積V的關系在p-V圖上是一條關于直線p=V對稱的等軸雙曲線，如圖1所示。而且氣體溫度越高對應的雙曲線離坐標原點越遠。

利用平面解析幾何方法和等軸雙曲線知識解決氣體性質中溫度極值問題相當方便。

例1 （第5屆全國競賽）已知每摩爾單原子理想氣體溫度升高1K時，內能增加1.5R（R為普適氣體常量）。現有（2.008.31）mol的單原子理想氣體，經歷ABCDA循環過程，在p-V圖上是一個圓，如圖2。圖中橫、縱坐標分別表示氣體的體積和壓強。（1）試分析該循環過程中哪一點（H）氣體溫度最高，并求出該溫度值。（2）氣體從狀態C到狀態D過程中，內能增量，外界對氣體做功，氣體吸熱各為多少？

析與解 在p-V圖上理想氣體等溫變化過程是一等軸雙曲線，它關于直線p=V對稱，溫度越高的雙曲線與該直線的交點距坐標原點越遠。ABCDA循環過程中在p-V圖上的各點都可看成是多個等溫線上的點，只有與圓相外切的那只雙曲線才是對應溫度最高的，且切點與圓心的連線必在p=V直線上，即最高溫點H必在直線P=V與圓的遠交點上。

氣體從狀態C到狀態D過程中，是體積減小的壓縮過程，外界對氣體做功在數值上等于p-V圖上CD圓弧下的面積，由熱力學第一定律即可求出此過程中氣體的吸熱問題了。

例2 （第15屆全國競賽）1mol理想氣體緩慢地經歷了一個循環過程，在p-V圖上該過程是一個橢圓，如圖3。已知此氣體處在與橢圓中心O點所對應的狀態時，其溫度為T0=300K。求在整個循環過程中氣體的最高溫度T1和最低溫度T2各是多少？

析與解 由于氣體質量一定，欲求T的最大值最小值，即在橢圓約束下求pV的極值。現已面市的各種資料所給參考解答無外乎參數方程法、橢圓雙曲線（等溫線）相切法、將橢圓坐標變換成圓法三種方法。但這三法中有的數學要求過高（現行中學數學教學大綱中已取消），有的在賽場上臨場發揮時難以想到，即使想到了，數學運算也較煩瑣。而若采用最高溫、最低溫所在的

等溫線（等軸雙曲線）與橢圓相切，且切點在直線p=p0V0V上，也就是說在橢圓與直線P=P0V0V的交點，可極方便地求解。（即使橢圓不在此圖處，通過調整坐標軸標度比例也可實現）。

由圖可寫出此橢圓的方程為

至此，可利用上述方法，得出下面問題的答案了。

0.1mol的理想氣體經歷圖4示的循環過程，由初態A經B到C，最后又回到A。此過程中最高、最低溫度是多少？

(欄目編輯陳 潔)

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