宜用反證法證明的命題

〔關鍵詞〕 反證法；否定性命題；唯一性命題

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2007）10（B）—0049—01

Ⅰ.關于否定性的命題

當命題中含有“不存在”、“不可能”之類的否定性結論時，命題可采用反證法.

例1：圓內非直徑的兩弦相交不能互相平分.

已知：弦AB、CD相交于P.

求證：AB、CD不能互相平分.

分析：這個命題的結論是否定的，是“不能互相平分”，它的反面是“能互相平分”.結論的反面比結論本身易證，可用反證法.

證明：假設AB、CD互相平分.

∵AB、CD不是直徑，

∴點P與O不重合.

連接OP，

∵AP=PB，∴OP⊥AB.

同理可證OP⊥CD.

這就是說，過點P有兩條直線AB、CD都垂直于OP，這與“過一點只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.

∴ AB、CD不能互相平分.

Ⅱ.某些唯一性的命題

命題中含有“唯一存在”、“只有一個”之類的結論，宜用反證法.

例2：求證兩直線相交，只有一個交點.

已知：直線a和b交于點O.

求證：直線a和b只有一個交點O.

證明：假設直線a和b相交不只有一個交點O，那么a和b至少有兩個交點O、P.這時，直線a是由O、P兩點確定的直線，直線b也是由O、P兩點確定的直線.這樣，由O、P兩點就確定了兩條直線.這與公理“兩點只能確定一條直線”相矛盾.

∴兩條直線相交，只有一個交點.

Ⅲ.關于“最多”、“最少”之類結論的命題

例3：求證三角形的內角中，最多只能有一個鈍角.

已知：任意一個三角形.

求證：三個內角中，最多只能有一個鈍角.

證明：假設還有一個內角是鈍角，則這兩個內角和大于180°，這與“三角形內角和定理”相矛盾.

∴三角形的內角中，最多只能有一個鈍角.

Ⅳ.難于直接使用已知條件導出結論的命題

例4：一個三角形中有兩個角的平分線相等，則這個三角形是等腰三角形.

已知：△ABC中，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線.且BE=CF.

求證：△ABC是等腰三角形.

證明：假設AB>AC，則∠ACB>∠ABC.

于是∠BCF>∠CBE.

在△BCF和△CBE中，BC= BC，BE=CF，∠BCF>∠CBE，

∴ BF >CE.(1)

作平行四邊形BEGF，則∠1=∠FBE=∠CBE<∠FCE.

而FC=FG，連結CG，則∠FGC=∠FCG.

∴∠2>∠3，∴CE>GE，即BF

故AB>AC不成立.

同理，可證AB

∴只有AB=AC.

Ⅴ.某些起始命題

在各個數學分支中，按照公理化方法，最初建立的僅是數量不多的定義和公理.因此，對于證明某些起始性質或定理的預備知識不夠.直接證明有困難，宜用反證法.

例5：切線性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

已知：直線AT是⊙O的切線，A為切點.

求證：AT⊥OA.

分析：到學切線性質為止，關于切線的知識僅知道兩條：①切線和圓有且只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于半徑.沒有更多的定理可作論證依據，此時，可用反證法.

證明：假設AT與OA不垂直.過O作OM⊥AT，交AT于M.

由垂線段最短，得OM

∵圓心到直線AT的距離小于半徑，∴AT與⊙O相交.這與已知相矛盾.

∴AT⊥OA.

以上幾類命題，用反證法一般都能收到良好的效果.此外，涉及到對象無法一一列舉的命題，如：求證素數有無窮多個，以及某些定理的逆命題不宜用反證法.不過，這在初中階段很少出現，所以這里不再贅述.

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