速度分解的特殊方法
2007-12-31 00:00:00周世斌
物理教學探討 2007年15期
摘 要：運動的分解是運動合成的逆運算，把一個運動進行分解時，要根據運動的實際效果來確定分運動。在高中階段，對于為什么要把某一些運動分解為一個平動和一個轉動，學生非常困惑，為此筆者根據自己的教學經驗，從發現問題、提出問題、突破難點、例題解析、問題辨析等幾個方面一步一步地展開教學，并總結出了解決此類繩聯問題的特殊方法——繩子速度相等法。
關鍵詞：速度分解；特殊方法；繩子速度相等法
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2007)8(S)-0032-3
運動的分解是運動合成的逆運算，遵守平行四邊形定則，把一個運動進行分解時，要根據運動的實際效果來確定分運動，高中階段一般有兩類分解方式：(1)把一個合運動分解為兩個互相垂直的平動；(2)把一個合運動分解為一個平動和一個轉動。
筆者在教學中，對怎樣讓學生更好地理解第二種分解方式有一點心得，在此與各位交流。為了更好地讓學生學習，把該類問題統稱為繩聯問題，解答方法稱為繩子速度相等法。
1 問題提出
例1 如圖1所示，物體甲以速度v1拉著物體乙前進，乙的速度為v2，甲、乙都在水平面上運
動，求v1∶v2。
解法1 如圖2所示，物體甲、乙沿繩的速度分別為v1和v2cosα，兩者應該相等，所以有v1∶v2=cosα∶1。
解法2 如圖3所示，物體甲沿繩的速度為v1，把v1按豎直和水平方向分解，v1的水平方向分速度就是v2，所以有v1∶v2=1∶cosα。
以上兩種解答在同學中很普遍，且第二種解答很容易與力的正交分解類比，而被同學們廣泛接受。那么，哪種解答是正確的呢?
2 發現問題
如圖4所示，根據運動關系可知，在時間t內物體甲運動的位移為L1-L2，而乙的位
移為L3。由三角形知識易知：L1-L2＜L3，可見v1＜v2，第二種解答肯定是錯誤的。那么，第一種解答是否就是正確的呢?
3 突破難點
3.1 如圖5所示，兩個小球用輕彈簧相連接，沿水平方向向右運動，彈簧處于原長狀態。若后面小球的速度大于前面小球的速度，則彈簧將被壓縮，反之則伸長，要保證彈簧既不壓縮又不伸長，只有兩小球沿水平方向有共同速
度。
3.2 同學們請看下面的情景，如圖6所示，物體M在一根桿OA上，桿可繞O點轉動，物體M可沿桿上下爬，在物體M后系一根不可伸長的輕繩，繩繞過光滑的定滑輪與另一個小物體m相連。
(1)桿繞O點轉動，物體M不動，小物體m也不動，如圖7所示。
（2）桿不動，物體M沿桿上下爬動，小物體m也上下移動；且兩者在相等時間內移動的距離相等。可見，小物體m的移動速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度，如圖8所示。
（3）當桿繞O點轉動，物體M沿桿上下爬動，小物體m也上下移動；此時物體M參與了兩個運動，一是隨桿的轉動，
速度為v⊥，另一個是沿桿的爬行，速度為v∥。此時也可以看到，兩者在相等時間內移動的距離關系是：物體M沿桿爬動的距離等于物體m上下移動的距離?？梢?，小物體m的移動速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度，如圖9所示。
在不計繩的質量和形變、以及摩擦阻力的條件下，根據能的轉化和守恒定律，外力對繩的瞬時功率大小等于繩對被牽引物的瞬時功率大小。如圖10所示，F1拉繩的功率為F1v1，v1為拉繩的速度，F2拉車的功率為F2v2cosα，v2為車前進(即合運動)的速度，由F1v1=F2v2cosα，又F1=F2，故v1=v2cosα。
結論：對于繩聯(或桿聯)問題，由于繩(或桿聯)不可伸長時，繩聯(或桿聯)物體的速度在繩方向上的投影相等。求繩聯物體的速度關聯問題時，首先要明確繩聯物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。
4 例題解析
例1 一半徑為A的半圓形豎直圓柱面，用輕質不可伸長的細繩連接A、B兩球，懸掛在圓柱面邊緣兩側，A球質量為B球質量的2倍，現將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖11。已知A始終不離開球面，且細繩足夠長，若不計一切 摩擦。求A球沿圓柱面滑至最低點時速度的大小。
解析 當A球從圓柱邊緣處沿圓柱面滑至最低點時，走過的路程是1／4圓弧，而月球走過的路程等于1／4圓弧所對應的弦長，設A球滑至最低點時速度大小為vA，此時B球速度大小為vB。有關系：vB=vAcos45°
對整個系統，以圓柱的水平直徑為零勢點，由機械能守恒定律有：
5 問題引伸
例2 如圖12所示，光滑半圓上有兩個小球(可看作質點)，質量分別為m和M，由不可伸長的細繩掛著，今由靜止開始釋放。求小球m沿光滑半圓運動至半圓的最高點C點時的速度是多少 (小球m沿光滑半圓運動至半圓的最高點C點的過程中不脫離半圓。)？
解析 從如圖所示位置由靜止釋放，到B達到半圓頂點這一過程中M受到重力Mg和牽引力F的作用，m將受牽引力F′和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M都將作變加速運動，本題中m走過的圓弧長度始終等于M下降的高度，故二者的速度大小始終相等。當m從半圓邊緣處沿半圓面滑至最高點時，走過的路程是1／4圓弧，而M下降的高度也等于1／4圓弧長。
對整個系統，以半圓的水平直徑為零勢點，由機械能守恒定律有：
(欄目編輯鄧 磊)
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