奇怪的車廂號

這天有兩位青年科學家不約而同地搭乘火車去看望從前的恩師。這位老師在中學時曾擔任過他倆的數學課，對他們進行過有益的思維訓練，給他們留下深刻的印象，所以后來在各自的科學領域中才能有所建樹。

其實兩人事先并沒約好，只是在下車后才在車站上相遇，所以大家十分驚喜與激動：因為他們的目的地都是同一位老師的家。

這列火車的每節車廂都編有不同的八位數車號。有的號碼是以0為首位的，不過全部數字當然不可能全是0。

兩位科學家分別從首節車廂及末節車廂下車，在交談中還驚奇地發現：兩個車廂號的8個數字都出現過相同的次數；不僅如此，首節車廂號竟然還等于末節車廂號的平方！

來到恩師家后，他們發現老師年事已高，但精神仍然旺盛，反應也十分敏捷，使他倆佩服不已。

當老師聽說他們在途中的這樁奇遇時，不等他倆報出車廂號，就很快利用計算器說出來了。這更使他倆嘆為觀止，急于詢問老師何以能如此神速推斷出這不可思議的結果來的。

老師侃侃而談：“這事并不復雜，如果某個八位數的每個數字都出現過相同的次數，那么要么出現過八次，要么分別出現過四次、兩次，甚至只出現過一次，你們說對不對？”

兩人同時點頭稱是。于是老師又說：

“如果八個數字都僅出現過一次，那它們必然各不相同，例如abcdefgh就是；如果每個數字都出現過兩次，那就只會有4種數字，例如aabbccdd；如果每個數字都出現過四次，那就只有2種數字，例如aaaabbbb；如果出現過八次，那就只能是aaaaaaaa這樣的數啦。”

“老師，您的分析能力不減當年哇！”兩位科學家齊聲說。

“我們不妨假定末節車廂號是abcdefgj，屬于第一種情況。就算首位數字是0，可以忽略不計，那它至少也是個七位數，它的平方（也就是首節車廂號）就絕對不可能是八位數了，至少得是13位！這是不可能出現的。”

“我懂了，老師，第二種情況也得排除，”當年的學生接口說，“因為這時0最多只會出現兩次，所以末節車廂號也最多是六位數，它的平方不會小于十一位呢。”

而另一個學生也說：“第四種情況同樣不可取。事實上，如果它是某個aaaaaaaa，又不可能都是0。當它們都不是0時，它的平方豈不要有15位了嗎？”

作為古稀老人的老師說：“所以我們只剩下第三種情況啦：顯然它只能是aaaabbbb這樣的數，而且a=0，否則又將重復前面的錯誤。這樣的bbbb的平方才有可能是八位數呢。

我們知道bbbb是能化為1111×b的，它的平方等于(1111×b)2=1234321×b2。由于b只可能是1、2、3、4、5、6、7、8、9中的某一個，所以用計算器很快就能算出當b=7時，它的平方就是60481729，符合第一種情況。所以首節車廂號就是60481729，而末節車廂號是00007777了。”

老師的分析入情入理，有根有據，也證明一個人如果頭腦能得到經常的鍛煉，不但不會退化，而且還能老有所為呢。