一題多解 拓展思路

一道好的證明題往往能激發思維，拓寬思路.現舉一例說明，原題如下：已知：如圖所示，∠A+∠ABC+∠C

=360°.

求證：AE∥CD.

證法一：如圖1，連接AC.

因為∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4

=360°，

又因為在△ABC中∠2+∠ABC

+∠3=180°，

所以∠1+∠4=180°.

所以AE∥CD.

證法二：如圖2-1，過點B作BF∥AE，則∠A+∠1=180°.

因為∠A+∠ABC+∠C=360°，

即∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

所以∠2+∠C=180°.

所以BF∥CD.

所以AE∥CD.

或：如圖2-2，過點B作BF∥AE，則∠1=∠A.

因為∠1+∠2+∠ABC=360°，

又因為∠A+∠ABC+∠C=360°，

所以∠1+∠2=∠A+∠C.

因為∠1=∠A，

所以∠2=∠C，

所以BF∥CD.

因此AE∥CD.

證法三：如圖3，在CD上任取一點F，連接AF.

因為在四邊形ABCF中∠3+∠2

+∠ABC+∠C=360°，

又因為∠1+∠2+∠ABC+∠C

=360°，

所以∠1=∠3，

所以AE∥CD.

證法四：如圖4，在AE、CD上分別取點F、G，連接FG.

因為在五邊形ABCGF中，

∠A+∠ABC+∠C+∠1+∠2=540°（五邊形內角和）.

又因為∠A+∠ABC+∠C=360°，

所以∠1+∠2=180°，

所以AE∥CD.

證法五：如圖5，延長AB、DC相交于點F.

因為∠A+∠ABC+∠BCD=360°，∠BCD=∠1+∠F.

所以∠A+∠ABC+∠1+∠F=360°.

又因為∠ABC+∠1=180°，

所以∠A+∠F=180°，

所以AE∥CD.

證法六：如圖6，過點C作CF交AB于點G，交EA的延長線于F.

因為∠BAE=∠1+∠F，且∠1=∠2，

所以∠BAE=∠2+∠F.

因為∠BAE+∠ABC+∠3+∠4

=360°，

所以∠2+∠F+∠ABC+∠3+∠4

=360°.

因為在△ＧＢＣ中∠2+∠ABC

+∠3=180°，

所以∠F+∠4=180°，

所以AE∥CD.

證法七：如圖7，過點B作FG分別交EA、DC的延長線于點F、G.

因為∠BAE=∠F+∠1，∠BCD

=∠2+∠G，

又因為∠BAE+∠ABC+BCD

=360°，

所以∠F+∠1+∠ABC+∠2+∠G

=360°.

因為∠1+∠ABC+∠2=180°，

所以∠F+∠G=180°，

所以FE∥GD，即AE∥CD.

上面介紹了７種證法.證法雖多，但思路只有兩條：一是通過添加平行線，應用平行線的性質和判定；一是通過分割成三角形或多邊形，應用三角形或多邊形的內角和定理.掌握了基本思路，你也一定能想出更多的證明方法.