剖析導數(shù)在高考中的考查熱點

微積分是近代數(shù)學最偉大的成就，中學階段把微積分最核心的導數(shù)內容，列為學習與考試的要求. 由于導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要工具，又有著豐富的實際背景和廣泛的應用，導數(shù)也自然成為了歷屆高考考查的熱門之

一. 縱觀2007年全國各地37份文理卷，有近三分之二的試卷既出現(xiàn)了考查導數(shù)基礎知識的客觀題，又有考查導數(shù)綜合運用的解答題. 在客觀題中，試題主要涉及導數(shù)的計算、求曲線的切線、函數(shù)的單調區(qū)間與函數(shù)的極值等知識點的簡單運用；在解答題中，試題更體現(xiàn)了對導數(shù)綜合運用較高的能力要求. 下面結合2007年高考數(shù)學中的解答題，談談導數(shù)考查時中的幾類主要題型.

一、研究函數(shù)性質

導數(shù)作為研究函數(shù)問題的利刃，常用來解決極值、最大（小）值、單調性等三類問題.在求解這些函數(shù)問題時，要結合導數(shù)的思想與理解性質的基礎上，掌握用導數(shù)方法求解的一般步驟，列表歸納如下：

在熟練運用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質同時，我們要注意比較研究函數(shù)的導數(shù)方法與初等方法，體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性.

點評 此題若用初等方法求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，則十分困難，而采用導數(shù)方法來研究，通過“求導→解不等式→寫單調區(qū)間”這三步，即可簡捷地完成解答. 一般來說，用導數(shù)方法求函數(shù)f （x）的最大（小）值，先求函數(shù)的導數(shù)f ′ （x），再解f ′ （x）=0得到極值點，最后列表分析得出結論.此題的解法，省了列表的繁瑣，直接依據(jù)單調性分析極值點的歸屬，并結合區(qū)間端點值的比較而進行求解.

二、證明不等式成立

證明不等式的方法有許多，導數(shù)作為研究一些不等式恒成立問題的工具，體現(xiàn)了導數(shù)應用上的新穎性以及導數(shù)思想的重要性. 由導數(shù)方法研究不等式時，一般是先構造一個函數(shù)，借助對函數(shù)單調性或最大(小)值的研究，經(jīng)歷某些代數(shù)變形，得到待證明的不等式.

綜上可知，當x>1時，恒有x>1-ln2x-2alnx+1．

點評 觀察第二個問題中待證明的不等式，易發(fā)現(xiàn)與函數(shù)f （x）有著同樣般的“相貌”，結合函數(shù)思想在不等式證明中的作用，將問題轉化為研究函數(shù)

f （x）在（１，＋∞）上的單調性及最小值. 此道高考題主要考查了導數(shù)的概念與計算，以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、極值和證明不等式的方法，這體現(xiàn)了高考中對綜合運用導數(shù)知識解決問題的能力要求．

三、求解參數(shù)范圍

給定含有參數(shù)的函數(shù)以及相關的函數(shù)性質，求解參數(shù)的值或范圍，需要我們靈活運用導數(shù)這一工具，對問題實施正確的等價轉化，列出關于參數(shù)的方程或不等式. 在此類含參問題的求解過程中，逆向思維的作用尤其重要.

例３ （2007年全國Ⅰ卷/文20）設函數(shù)f （x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．

（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?綴［0，3］，都有f （x）＜c2成立，求c的取值范圍．

解析 （1）f ′（x）=6x2+6ax+3b，因函數(shù)f （x）在x=1及x=2取得極值，則有f ′（1）=0，f ′（2）=0，即有

點評 依據(jù)導數(shù)求函數(shù)極值的理論，將極值點轉化為方程f ′（x）＝0的根，由方程思想易求得兩個待定的系數(shù). 解第二個問題的方法與前面證明不等式的思路類似，利用導數(shù)對函數(shù)最大值進行研究，然后將含參不等式恒成立的關系轉化為關于參數(shù)的不等式，解不等式而得到所研究參數(shù)的范圍.

四、研究相切問題

導數(shù)的幾何意義表現(xiàn)為曲線的切線斜率值，從而利用導數(shù)可求曲線y=f（x）的切線，并進一步將導數(shù)融合到函數(shù)與解析幾何的交匯問題中. 解決此類相切問題，一般先求函數(shù)的導數(shù)y=f ′（x），依據(jù)曲線y=f （x）在x=x0的切線斜率為而進行研究. 由于切點具有雙重身份，既在切線上，又在函數(shù)圖像上，從而對切點的研究可作為解決問題的紐帶，特別是在不知道具體切點的情況下，常常設切點坐標并聯(lián)立方程組而求解.

例４ （2007年全國Ⅱ卷/理 22）已知函數(shù)f （x）=x3-x．

點評 依據(jù)切線的斜率等于切點處的導數(shù)值，易輕松完成第一個問題關于切線方程的求解；第二個問題所涉及的三條切線，可等價轉化為方程有三個實數(shù)根的問題，進一步利用導數(shù)對函數(shù)性質的研究，可解決方程實數(shù)根個數(shù)的討論.

五、解決實踐問題

在工農業(yè)生產、生活等實際問題中，常常需要研究一些成本最低、利潤最大、用料最省的問題. 我們先把實際情景翻譯為數(shù)學語言，找出情景中主要的關系，抽象出具體的數(shù)學問題，化歸為研究目標函數(shù)的最大(小)值，從而可利用導數(shù)方法簡捷求解，此類問題稱為優(yōu)化問題.解答此類問題時，需要抓住三個基本步驟：①建立函數(shù)關系；②求極值點，確定最大(小)值；③回歸優(yōu)化方案．

例５ （2007年北京卷/理19）如右圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（2）求面積S的最大值．

解析 （1）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系O-xy（如右圖），則點C的橫坐標為x．

點評 解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù). 此題以鋼板的切割作為背景，綜合了圓錐曲線的運用. 在用導數(shù)工具來研究目標函數(shù)的最大（小）值，也沒有進行列表分析，而是通過對單調性的分析及端點函數(shù)值的比較，得到目標函數(shù)的最大值.

由上可知，導數(shù)思想方法具有程序化、易掌握的顯著特點，它是一種有力的工具，可以作為解決函數(shù)的極值、單調區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大（小）值等基本方法. 導數(shù)的廣泛應用為研究函數(shù)性質、函數(shù)圖像開辟了新的捷徑，成為溝通函數(shù)與數(shù)列、不等式、圓錐曲線等問題的一座橋梁. 我們要意識到導數(shù)工具的重要性，下最大的功夫進行突破，為今后的深入學習與研究打下堅實的基礎.

責任編校 賴慶安

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