一種新的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)求解方法

摘要：提出了一種求解等邊三角形及其內(nèi)切圓的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)新方法。通過(guò)提取模板圖像的角點(diǎn)，利用高等幾何中的拉蓋爾定理及其推論來(lái)計(jì)算其圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證實(shí)了該方法的有效性。利用該方法求得的坐標(biāo)值可以用于攝像機(jī)的標(biāo)定等領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：圓環(huán)點(diǎn)； 射影變換

中圖分類號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001－3695(2008)03－0945－02

攝像機(jī)標(biāo)定是從二維圖像中獲取三維物體幾何信息的前提，是完成許多視覺(jué)工作必不可少的步驟，被廣泛應(yīng)用于三維重建、導(dǎo)航、視覺(jué)監(jiān)控等領(lǐng)域。隨著攝像機(jī)的普及，需要有一種簡(jiǎn)易、靈活的標(biāo)定方法來(lái)幫助人們完成與視覺(jué)有關(guān)的工作。

孟曉橋等人[1]提出的標(biāo)定方法采用了一種基于圓環(huán)點(diǎn)的標(biāo)定模板，即一個(gè)圓和通過(guò)圓心的若干直線。該方法僅要求攝像機(jī)在三個(gè)(或三 個(gè)以上)不同方位攝取模板的圖像，即可線性地求解攝像機(jī)的全部?jī)?nèi)參數(shù)。此外，它遵循圓環(huán)點(diǎn)標(biāo)定的思路，給出了多種類型的模板均適用于標(biāo)定的結(jié)論。除此之外，國(guó)內(nèi)還有其他學(xué)者也提出了基于圓環(huán)點(diǎn)的攝像機(jī)標(biāo)定方法[2~4]。

本文提出了一種新的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)求解方法，詳細(xì)討論了如何計(jì)算平面模板的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)，并對(duì)退化情形進(jìn)行了分析，給出了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

1平面上的圓環(huán)點(diǎn)

1．1交比及其性質(zhì)

交比（cross ratio）是基本的射影不變量。點(diǎn)的交比是指共線四點(diǎn)P1、P2、P3、P4所成的兩個(gè)單比的比值，記為（P1P2，P3P4），即

（P1P2，P3P4）=（P1P2P3）/（P1P2P4）=P1P3/P2P3：P1P4/P2P4(1)

其中：P1、P2叫做基點(diǎn)偶；P3、P4叫做分點(diǎn)偶。

直線的交比是指共點(diǎn)四直線p1、p2、p3、p4的比值，即

(p1p2，p3p4)=(p1p2p3)/(p1p2p4)=

sin(p1p3)/sin(p2p3)：sin(p1p4)/sin(p2p4)(2)

其中：p1、p2叫做基線偶；p3、p4叫做分線偶。

交比的基本性質(zhì)：

a)基點(diǎn)偶與分點(diǎn)偶互換，交比不變；

b)基（分）點(diǎn)偶的兩字母互換，交比為原交比的倒數(shù)；

c)交換中間或兩端字母，交比為1減原交比值。

如果（P1P2，P3P4）=-1，則稱點(diǎn)偶P3、P4調(diào)和分離點(diǎn)偶P1、P2，或稱點(diǎn)偶P1、P2與點(diǎn)偶P3、P4調(diào)和共軛，也稱P4為P1、P2P3的第四調(diào)和點(diǎn)，交比值-1叫做調(diào)和比。

1．2圓環(huán)點(diǎn)及圓環(huán)點(diǎn)的像

在三維攝影空間中，無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的兩個(gè)共軛復(fù)點(diǎn)I(1，i，0，0)，J(1，-i，0，0)被稱為圓環(huán)點(diǎn)。平面上任一個(gè)圓與該平面的無(wú)窮遠(yuǎn)直線必定交于兩個(gè)圓環(huán)點(diǎn)。根據(jù)透視變換的性質(zhì)，在圖像平面上，圓的像與無(wú)窮遠(yuǎn)直線的像的交點(diǎn)是圓環(huán)點(diǎn)的像[1]。

1．3迷向直線

迷向直線（isotropic line）又稱為極小直線，指通過(guò)圓環(huán)點(diǎn)的任意虛直線。虛直線為迷向直線的充要條件是它上面任意兩個(gè)不同的有窮點(diǎn)的距離為零。顯然，任意迷向直線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)是圓環(huán)點(diǎn)。

1．4拉蓋爾定理

設(shè)兩條非迷向直線l1、l2的交角為θ，這兩條直線與過(guò)它們交點(diǎn)的兩條以i、-i為斜率的迷向直線m1、m2所成的交比為μ，則

μ=(l1l2，m1m2)=e2iθ(3)

或θ=1/（2i） ln μ(4)

結(jié)論式（3）（4）被稱為拉蓋爾定理（Laguerre theorem）。

從拉蓋爾定理中可以看出，兩條直線垂直的充要條件是這兩條直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與圓環(huán)點(diǎn)調(diào)和共軛。該結(jié)論被稱為拉蓋爾定理的推論[5]。

2確定平面模板的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)

2．1求解原理

平面模板如圖1所示，A′B′C′是一個(gè)等邊三角形，⊙O′是它的內(nèi)切圓，則O′是△A′B′C′的中心。從而，D′是B′C′的中點(diǎn)，A′D′⊥B′C′。同理，E′是A′B′的中點(diǎn)，C′E′⊥A′B′。

避免退化情形（退化情形的詳細(xì)討論見(jiàn)2.2節(jié)），拍攝平面模板所得到的圖像如圖2所示。在圖2中，設(shè)O是模板中O′的像點(diǎn)；P1、P2分別是線段DG、BC上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的像點(diǎn)；P3、P4分別是線段EF、AB上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的像點(diǎn)；P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)分別為（u1，v1）、（u2，v2）、（u3，v3）、（u4，v4）。由于一條線段被它的中點(diǎn)和這直線上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和分離，攝像機(jī)的透視變換具有同位素對(duì)應(yīng)和保交比不變的性質(zhì)，故有

2．2退化情形

有五種典型的退化情形：

a)當(dāng)平面模板與圖像平面平行時(shí)，O是EF、DG的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)。式（11）～（18）中分母為0。

b）圖像平面的u或v軸與D′G′平行時(shí)，O是DG的中點(diǎn)。式（11）（12）中分母為0。

c）圖像平面的u或v軸與△A′B′C′中的B′C′平行時(shí)，D是BC的中點(diǎn)。式（13）（14）中分母為0。

d）圖像平面的u或v軸與E′F′平行時(shí)，O是EF的中點(diǎn)。式（15）（16）中分母為0。

e）圖像平面的u或v軸與△A′B′C′中的A′B′平行時(shí)，E是AB的中點(diǎn)。式（17）（18）中分母為0。

當(dāng)退化情形出現(xiàn)時(shí)，無(wú)法求得無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的像素坐標(biāo)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)該避免退化的發(fā)生。

2．3算法描述

綜上所述，計(jì)算平面模板的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)的算法總結(jié)為：

a）打印一個(gè)包含等邊三角形及其內(nèi)切圓的平面模板；

b）避免退化情形，攝取模板的圖像；

c）在圖像上分別檢測(cè)角點(diǎn)、橢圓和直線；

d）聯(lián)立橢圓和直線的方程，計(jì)算各個(gè)交點(diǎn)的像素坐標(biāo)；

e）利用式（11）～（18）計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的像素坐標(biāo)；

f）利用式（27）（28）計(jì)算x1、x2、y1、y2；

g）根據(jù)式（29）～（31）確定圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在真實(shí)圖像實(shí)驗(yàn)中，利用本文提出的方法來(lái)計(jì)算平面模板的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)。實(shí)驗(yàn)采用 Cannon PowerShot A75型數(shù)碼相機(jī)，圖像分辨率為1 600×1 200。用激光打印機(jī)打印出平面模板把它貼在墻壁上，在不同的方位拍攝了三幅圖像（圖3），計(jì)算結(jié)果如表 1 所示。

4結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新的圖像圓環(huán)點(diǎn)坐標(biāo)求解方法，理論上的推導(dǎo)證明了它的正確性，真實(shí)圖像的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明了它的

有效性。用該方法求得的坐標(biāo)值可以用于攝像機(jī)的標(biāo)定等場(chǎng)合，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

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