一種新的圖像圓環點坐標求解方法

摘要：提出了一種求解等邊三角形及其內切圓的圖像圓環點坐標新方法。通過提取模板圖像的角點，利用高等幾何中的拉蓋爾定理及其推論來計算其圖像圓環點坐標，實驗數據證實了該方法的有效性。利用該方法求得的坐標值可以用于攝像機的標定等領域。

關鍵詞：圓環點； 射影變換

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A

文章編號：1001－3695(2008)03－0945－02

攝像機標定是從二維圖像中獲取三維物體幾何信息的前提，是完成許多視覺工作必不可少的步驟，被廣泛應用于三維重建、導航、視覺監控等領域。隨著攝像機的普及，需要有一種簡易、靈活的標定方法來幫助人們完成與視覺有關的工作。

孟曉橋等人[1]提出的標定方法采用了一種基于圓環點的標定模板，即一個圓和通過圓心的若干直線。該方法僅要求攝像機在三個(或三 個以上)不同方位攝取模板的圖像，即可線性地求解攝像機的全部內參數。此外，它遵循圓環點標定的思路，給出了多種類型的模板均適用于標定的結論。除此之外，國內還有其他學者也提出了基于圓環點的攝像機標定方法[2~4]。

本文提出了一種新的圖像圓環點坐標求解方法，詳細討論了如何計算平面模板的圖像圓環點坐標，并對退化情形進行了分析，給出了實驗數據。

1平面上的圓環點

1．1交比及其性質

交比（cross ratio）是基本的射影不變量。點的交比是指共線四點P1、P2、P3、P4所成的兩個單比的比值，記為（P1P2，P3P4），即

（P1P2，P3P4）=（P1P2P3）/（P1P2P4）=P1P3/P2P3：P1P4/P2P4(1)

其中：P1、P2叫做基點偶；P3、P4叫做分點偶。

直線的交比是指共點四直線p1、p2、p3、p4的比值，即

(p1p2，p3p4)=(p1p2p3)/(p1p2p4)=

sin(p1p3)/sin(p2p3)：sin(p1p4)/sin(p2p4)(2)

其中：p1、p2叫做基線偶；p3、p4叫做分線偶。

交比的基本性質：

a)基點偶與分點偶互換，交比不變；

b)基（分）點偶的兩字母互換，交比為原交比的倒數；

c)交換中間或兩端字母，交比為1減原交比值。

如果（P1P2，P3P4）=-1，則稱點偶P3、P4調和分離點偶P1、P2，或稱點偶P1、P2與點偶P3、P4調和共軛，也稱P4為P1、P2P3的第四調和點，交比值-1叫做調和比。

1．2圓環點及圓環點的像

在三維攝影空間中，無窮遠直線上的兩個共軛復點I(1，i，0，0)，J(1，-i，0，0)被稱為圓環點。平面上任一個圓與該平面的無窮遠直線必定交于兩個圓環點。根據透視變換的性質，在圖像平面上，圓的像與無窮遠直線的像的交點是圓環點的像[1]。

1．3迷向直線

迷向直線（isotropic line）又稱為極小直線，指通過圓環點的任意虛直線。虛直線為迷向直線的充要條件是它上面任意兩個不同的有窮點的距離為零。顯然，任意迷向直線與無窮遠直線的交點是圓環點。

1．4拉蓋爾定理

設兩條非迷向直線l1、l2的交角為θ，這兩條直線與過它們交點的兩條以i、-i為斜率的迷向直線m1、m2所成的交比為μ，則

μ=(l1l2，m1m2)=e2iθ(3)

或θ=1/（2i） ln μ(4)

結論式（3）（4）被稱為拉蓋爾定理（Laguerre theorem）。

從拉蓋爾定理中可以看出，兩條直線垂直的充要條件是這兩條直線上的無窮遠點與圓環點調和共軛。該結論被稱為拉蓋爾定理的推論[5]。

2確定平面模板的圖像圓環點坐標

2．1求解原理

平面模板如圖1所示，A′B′C′是一個等邊三角形，⊙O′是它的內切圓，則O′是△A′B′C′的中心。從而，D′是B′C′的中點，A′D′⊥B′C′。同理，E′是A′B′的中點，C′E′⊥A′B′。

避免退化情形（退化情形的詳細討論見2.2節），拍攝平面模板所得到的圖像如圖2所示。在圖2中，設O是模板中O′的像點；P1、P2分別是線段DG、BC上無窮遠點的像點；P3、P4分別是線段EF、AB上無窮遠點的像點；P1、P2、P3、P4的坐標分別為（u1，v1）、（u2，v2）、（u3，v3）、（u4，v4）。由于一條線段被它的中點和這直線上無窮遠點調和分離，攝像機的透視變換具有同位素對應和保交比不變的性質，故有

2．2退化情形

有五種典型的退化情形：

a)當平面模板與圖像平面平行時，O是EF、DG的中點，D是BC的中點，E是AB的中點。式（11）～（18）中分母為0。

b）圖像平面的u或v軸與D′G′平行時，O是DG的中點。式（11）（12）中分母為0。

c）圖像平面的u或v軸與△A′B′C′中的B′C′平行時，D是BC的中點。式（13）（14）中分母為0。

d）圖像平面的u或v軸與E′F′平行時，O是EF的中點。式（15）（16）中分母為0。

e）圖像平面的u或v軸與△A′B′C′中的A′B′平行時，E是AB的中點。式（17）（18）中分母為0。

當退化情形出現時，無法求得無窮遠點的像素坐標。因此，在實際應用中，應該避免退化的發生。

2．3算法描述

綜上所述，計算平面模板的圖像圓環點坐標的算法總結為：

a）打印一個包含等邊三角形及其內切圓的平面模板；

b）避免退化情形，攝取模板的圖像；

c）在圖像上分別檢測角點、橢圓和直線；

d）聯立橢圓和直線的方程，計算各個交點的像素坐標；

e）利用式（11）～（18）計算無窮遠點的像素坐標；

f）利用式（27）（28）計算x1、x2、y1、y2；

g）根據式（29）～（31）確定圖像圓環點坐標。

3實驗結果

在真實圖像實驗中，利用本文提出的方法來計算平面模板的圖像圓環點坐標。實驗采用 Cannon PowerShot A75型數碼相機，圖像分辨率為1 600×1 200。用激光打印機打印出平面模板把它貼在墻壁上，在不同的方位拍攝了三幅圖像（圖3），計算結果如表 1 所示。

4結束語

本文提出了一種新的圖像圓環點坐標求解方法，理論上的推導證明了它的正確性，真實圖像的實驗數據表明了它的

有效性。用該方法求得的坐標值可以用于攝像機的標定等場合，具有一定的實用價值。

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