一種測地線活動輪廓模型的快速算法

摘要：為了完成測地線活動輪廓模型在圖像分割中的平滑預處理和圖像梯度的計算，給出水平集方法以實現中符號距離函數的構造。通過對Gaussian函數以及差分運算的討論，提出了一種基于Sobel算子圖像預處理方法，并利用同心圓擴散方法計算符號距離。得出將圖像平滑與梯度計算結合為Sobel算子的處理，一種計算符號距離函數的快速計算方法。通過實驗比較，Sobel算子既可以完成平滑處理，又降低了差分計算梯度的時間復雜度，而同心圓擴散方法能夠提高模型算法的執行效率。

關鍵詞：水平集； 測地線活動輪廓； Gaussian函數； Sobel算子； 符號距離函數

中圖分類號：TP301文獻標志碼：A

文章編號：1001－3695(2008)06－1765－03

0引言

G ．Sapiro[1]提出的測地線活動輪廓模型（GAC）是目前基于偏微分方程（PDE）方法圖像分割的最基本的活動輪廓模型之一。該模型將圖像分割問題歸結為極小化一個封閉曲線的能量泛函，并利用變分法將極小化能量泛函轉換為關于封閉曲線的梯度下降流；然后利用PDE方法完成曲線演化，并使演化過程在對象邊緣處停止，從而完成對圖像的分割。為提高該模型的分割效果以及算法的執行速度，本文主要進行了如下兩方面的工作：

a)由于該方法在實現過程中，需要計算圖像的梯度模，而實際的圖像往往存在噪聲或偽邊緣，會使得計算出的梯度模比較雜亂，對后續的曲線演化結果影響較大。有必要在計算之前對圖像進行一定的平滑預處理，以消除噪聲或偽邊緣的影響。本文采用Gaussian函數進行圖像的平滑處理，然后再利用中心差分計算梯度，并將兩者結合為Sobel算子，利用該算子可同時進行平滑預處理和梯度計算。

b)在GAC模型的水平集方法實現中，為保持水平集函數（通常選擇符號距離函數SDF）的特性，在每次迭代后需要對SDF進行初始化。初始化方法的實現效率將對整個模型的實現過程產生重要的影響。SDF的構造需要計算圖像各像素點到閉合曲線（水平集曲線）的符號距離，如果直接計算，計算復雜度為O（MN）[1]。其中：M為C上總點數；N為圖像的總像素數，可見計算量很大。Malladi提出的快速步進法(fastmarching method)生成的SDF[1]，計算量為O（N ln M)。本文首先對每個像素點鄰近區域曲線形狀進行分析，快速確定曲線的內外點；再對圖像像素點之間的距離特征進行分析，并構造距離表（該距離表在以后曲線演化的每一步不再改變）；然后對每一個像素點通過以該點為圓心的同心圓不斷向外擴散，找到與曲線相切的同心圓，該同心圓的半徑就是圓心像素點到曲線的距離；最后查找距離表，即得圓心點到曲線的距離。該方法計算像素點到曲線距離的計算復雜度為O（N），而且此算法的計算復雜度與閉合曲線所含點數無關。

1測地線活動輪廓模型

G ．Sapiro在文獻[1]中提出了如下的能量泛函：

4實驗比較

圖8和9是對同一幅圖像分別沒有經過Sobel算子預處理和使用Sobel算子預處理后的分割結果。從分割結果可以看出，進行預處理后，對對象輪廓的定位比較準確。

5結束語

本文給出了一種利用Sobel算子對測地線活動輪廓模型進行預處理的方法。該方法很好地消除了噪聲或偽邊緣對曲線演化結果的影響。由于將預處理和計算梯度兩個工作結合為一個算子，使得處理過程容易實現，提高了運算速度。同時，借助于同心圓擴散方法構造符號距離函數，也使得曲線的演化速度大大提高，從而為基于PDE的圖像分割方法提供了有力的支持。

參考文獻：

［1］SAPIRO G．Geometric partial differential equations and image analysis[M].New York: Cambridge University Press， 2001．

[2]陸金甫，關治．偏微分方程數值解法[M].北京：清華大學出版社， 2004.

[3]SETHIAN J A．Level set methods and fast marching methods: evolving interfaces in computational geometry， fluid mechanics， computer vision and materials science [M]． Cambridge， United Kingdom: Cambridge University Press， 1999．

[4] SETHIAN J A .Curvature and the evolution of fronts [J].Communication of Mathematical Physics，1985，101(4):185－197．

[5]COHEN L， KIMMEL R. Globel minimum for active contour models: a minmal path approach[J].International Journal of Computer Vision，1997，24(17):57－78.

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