借陳出新——類比思想的應用

[摘要]數學本身具有嚴密的邏輯體系，數學內容之間的內在聯系決定了學習數學具有特殊的科學方法。類比方法作為重要的數學方法，在數學學習中起著舉足輕重的作用。本文通過不同角度闡述了類比思想在數學學習中的體現，為學好數學提供了一類行之有效的方法。

[關鍵詞]數學教學 思想方法 應用推廣

數學家波利亞曾說“類比是一個偉大的引路人”。數學是一門邏輯非常嚴密的學科，數學對象之間有著緊密的聯系，讓學生發現數學對象間的聯系并掌握發現的方法，是數學教學的重要一環。在普及素質教育和創新教育的背景下，減輕學生的學習負擔就需要提高學習效率，而這就需要學生掌握一些常見的數學思想方法，從而找到一套高效的數學學習方法。教師可以利用類比推理的思想方法，引導學生進行猜測——提出新問題；探索——提出新思路；證明——發現新結論。以下結合實例作簡要的說明。

一、歸納思路

學生在清楚一元二次方程的兩根同號問題需用根與系數的關系后，對如下問題可能仍感困惑，可以讓學生結合圖像進行分析。

二、類比：推廣結論

比如，奇偶函數圖象對稱性的類比推廣大家非常熟悉，奇偶函數的圖象具有對稱性，偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱，奇偶函數的這種性質可以作類比推廣。注意偶函數的解析式滿足以下條件，即對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，圖象關于直線x=0(y軸)對稱，條件f(-x)=f(x)可以改造成為f(0-x)=f(0+x)，這說明在x=0的兩側與它距離相等的兩點對應的自變量對應的函數值相等，此時對稱軸為直線x=0；現將條件中的0改為字母 ，則條件變為f(a-x)=f(a+x)，易證此時函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱。這里的x=a可以看成 x=a+a[]2；再將條件進一步改變為f(a-x)=f(b+x)，則有函數f(x)的圖象關于直線x=a+b[]2對稱；偶函數中的這種類比推廣在奇函數中也可以實現。對于奇函數f(x)的圖象關于點(a+b[]2，0)對稱，可見，若函數f(x)滿足一些特殊關系式時，函數f(x)的圖象就會有類似奇偶函數一樣的對稱性，能為我們解決實際問題帶來方便。 

又如，正弦函數具有周期性，表現在圖象上就是圖象的重復性，觀察正弦函數的圖象不難發現，正弦函數圖象還具有多條對稱軸和多個對稱中心，并且相鄰兩條對稱軸間的距離是周期的一半；相鄰兩個對稱中心間的距離是周期的一半(如圖5)所示。

正弦函數的這一性質可以類比推廣到一般的函數中去，即：一般地，如果一個函數的圖象具有兩條或兩條以上對稱軸，或具有兩個或兩個以上對稱中心，或者既有對稱軸又有對稱中心，則這個函數是周期函數；并且這個函數的周期為相鄰兩條對稱軸間距離的兩倍，也是相鄰兩個對稱中心間距離的兩倍，也可以是相鄰的對稱中心與對稱軸間距離的4倍。利用這一性質，能夠使一些問題的解答簡化。

例3.定義在（-∞，+∞）上的偶函數f(x)滿足：f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函數，下面關于f(x)的判斷：（1）f(x)是周期函數；（2）f(x)的圖象關于直線x=1對稱；（3）f(x)在［0，1］上是增函數；（4）f(x)在［1，2］上是減函數；（5）f(2)=f(0) . 其中正確的判斷是：。

解:由f(x)是定義在R上的偶函數知，函數f(x)的圖象具有一條對稱軸x=0；又由f(x+1)=－f(x)=－f(－x) =－f(0－x)可得函數f(x)的圖象關于點A(1[]2，0)對稱，由此可知該函數具有周期性，故選項(1)正確；另外，也可由已知條件f(x+1)=－f(x)得， f(x+2)= f［(x+1)+1］=－f(x+1)=－［－f(x)］=f(x)，這里不僅得出函數f(x)是周期函數，而且還知道周期為2；再由條件：函數f(x)在［-1，0］上是增函數知它在［0，1］上是減函數，可見點A(1[]2，0)和直線x=0為函數圖象相鄰的對稱中心和對稱軸，也可得出周期為2；故x=1必為函數圖象的對稱軸，所以，選項(2)成立；由周期性和對稱性不難判斷選項(3)和(4)錯誤；由周期為2立得選項(5)成立。

三、類比：尋找區別

例5.（1）已知函數的值域為［-1，4］，求a的值。

（2）已知函數對定義域內的任意x值，都有-1y4，求a的值。

分析：兩題的含義不同：值域內的每個值都要有x與之對應；而題（2）中的不一定取遍［-1，4］，所以解法有區別。

題（1）利用判別式法及根與系數關系得；a=±4。

題（2）由恒成立，即恒成立 

∴△a2-160，∴-4a4.

總之，類比思想方法的應用，無論是對發現問題，還是提供解決問題的思路，都起著很好的啟發與促進作用。

參考文獻：

［1］朱華偉，張景中．論推廣．數學通報，2005，4．

［2］張志軍．數學中形似質異的問題對．數學教學，2007，3.

（作者單位：云南昆明第一中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。