奇妙的楊輝三角

它的組成法則是：最外側的兩個數字是1，中間的數字等于其肩上(上一行)的兩個數字之和。這個規律給我們計算二項展開式提供了很大方便。楊輝三角是我國古代數學的一項輝煌成就，它解決了開方運算和解高次方程的計算問題。

二項式定理不是高考的重點內容，但隨著能力考查要求的提高，近幾年出了不少有趣的難題，要求同學們在新的情境中試驗、猜想、探索、研究，體現了高考改革的新方向?，F舉幾個例子加以說明。

例1 (2007年湖南卷)將楊輝三角形中的奇數換成1，偶數換成0，得到如下圖所示的0～1三角數表。從上往下數，第一次全行的數都為1的是第一行，第二次全行都為1的是第三行，……，第n次全行都為1的是第_______行；第61行中1的個數是________。

這道題不太好做。首先按楊輝三角的構成規律多寫幾行，例如添加到第10行，再仔細觀察，可以看到以下規律：

(1)第2行，第4行，第8行，……只有頭尾兩個1，其余全為0，可以猜想第2ⁿ行也只有頭尾兩個1，其余均為0；

(2)第3行，第7行的數字全為1，猜想第2ⁿ-1行的數字全為1；

(3)第2行，第6行，……第2ⁿ-2行的數字應是1，0相間，即呈1010…101的形式；

(4)仿此，第2ⁿ-3行的數字應是1100相間，即呈110011…0011的形式。

這樣，本題的答案為：第n次全行為1的是第2ⁿ-1行。

又∵61=2⁶-3，它由62個數字組成，呈11001100…0011的形式，故“第61行中1的個數是32”，(0的個數是30)。

證明以上猜想也不困難，因為二項式(x+1)²ⁿ展開式的系數為C^k_2n，由組合數的計算公式可以看出除首尾兩項的系數是1外，其余全為偶數，根據題目要求，記為0；抓住這一點，由楊輝三角的組成法則，(2)，(3)，(4)的證明就迎刃而解了。

例2 (2004年上海卷)若在二項式(x+1)¹⁰的展開式中任取一項，則該項系數是奇數的概率是_________。(結果用分數表示)

這個題目容易，把例1表中的行添加到第10行，數一數其中的1，就得到其概率p=4/11。

當然，像這樣完全基于直觀的解答仍屬于猜測的范疇，并沒有從根本上解決問題，即任給一個n，(x+1)ⁿ展開式中系數為奇數的項究竟有多少個?為此我們對例1作進一步的分析：

∵61=32+16+8+4+2+1=2⁵+2⁴+2³+2²+2+1 (1)

(x+1)⁶¹=(x+1)³²·(x+1)¹⁶·(x+1)⁸·(X+1)⁴·(x+1)²·(x+1) (2)

按照原題的約定，系數是奇數的記為1，系數是偶數的記為0，則(2)的展開式應為

(x³²+1)(x¹⁶+1)(x⁸+1)(x⁴+1)(x²+1)(x+1) (3)

這樣，展開式中系數為奇數的項就是(3)式中的系數和，令X=1代人(3)即得第61行中1的個數是：2x2x2x2x2=2⁵=32(個)。

這里有一個奇妙的現象，(1)式就是61的二進制表示法，即

61=(11111)₂，

(x+1)⁶¹展開式中系數是奇數的項共有2^1+1+1+1+1=2⁵=32(個)。

例3(X+1)²⁰⁰⁸展開式中系數是奇數的項有_________個。

2008=1·2¹⁰+1·2⁹+1·2⁸+1·2⁷+1·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰(11111011000)₂，

∴系數是奇數的項共有2⁷=128(個)。

例4 (上海綜合測試)若在二項式(x+1)ⁿ的展開式中任取一項，則該項的系數是奇數的概率是_____。

這個題目就比較難了?；谝陨纤悸?，首先把n表示成以下形式(即二進制表示)：

n=α_k2^k+α_k-12^k-1…+α₁2+α₀2⁰=(α_kα_k-1…α₀)₂，

其中α_k=1，α₁=0或1，(i=0，1，…，k)。

沒有想到楊輝三角經命題者的精心設計，變得如此巧妙，真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，這是一道很好的探索研究題。