引導學生“做數學”一例

案例

從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓(如下圖)。這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米?剩下的鐵皮的面積占原來正方形面積的百分之幾?

我在教學中，結合動手操作活動，從“訓練數學思維、培養數學能力”著眼，安排了以下幾個教學層次。

一、 畫一畫

師：從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上要剪下一個最大的圓，應該怎樣畫?

通過學生討論得出：正方形的兩條對角線的相交點為圓心，正方形邊長的一半為半徑，即r=5（厘米），就能畫出一個最大的圓。

二、算一算

師：你能算出哪些部分的面積呢?

生1：我能算出這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米：3.14×(10÷2)2=78.5(平方厘米)

生2：我能算出這塊正方形鐵皮的面積：102=100(平方厘米)。

生3：我還能算出剩下的鐵皮的面積：102－78．5=21．5(平方厘米)

師：同學們真會動腦筋，那么圓形鐵皮的面積占原來正方形面積的百分之幾呢?

生1：78．5÷102=78．5％

生2：我能求出剩下的鐵皮的面積占原來正方形面積的百分之幾：21．5÷102=21．5％或1-78．5％=21．5％

三、探索一般規律

師：剛才，我們在邊長是10厘米的正方形內畫一個最大的圓，圓的面積占原正方形的78．5％，剩下的鐵皮的面積占原來正方形的21．5％。這條規律是不是具有一般性呢?

學生又進入了熱烈的討論之中。有的通過舉例驗證予以肯定；還有的認為可以設圓的半徑為r，則圓的面積是πr2，原正方形的面積是(2r)2=4r2，所以圓面積占原正方形面積的幾分之幾是：πr2÷4r2=78.5％，剩下的鐵皮的面積占原正方形面積的 1-78.5％=21.5％，說明這條規律是具有一般性的。

四、靈活運用規律

在探索并發現上述規律之后，根據規律的運用和訓練數學思維的要求，我安排了以下一道針對性練習：

題目：有一個正方形的面積是20平方厘米，在它里面畫一個最大的圓，圓的面積是多少?

生：正方形面積是20平方厘米，我們還不知道它的邊長是多少厘米，所以先求出半徑再求面積，顯然是行不通的。

師：那么請同學們討論一下，有沒有其他辦法?

在小組討論中，學生果然又想出了幾種方法：

生1：運用規律，圓面積占原正方形面積的78．5％，20×78．5％=15．7(平方厘米)。

生2：不用上面的規律也可以做，如圖，因為正方形的面積是20平方厘米，用20÷4=5(平方厘米)，這個5平方厘米是圖中小正方形的面積，即r2=5(平方厘米)。因而，S=πr2=3．14×5=15．7(平方厘米)。

師：對呀，不先求出半徑而直接求出r2是多少，也可以求出圓的面積，解法真巧妙!

生3：我發現了一個計算圓面積的新公式：由于r= ，S=πr2=π×（ ）2= πd2，有了這個新公式就能解這道題：已知正方形的面積是20平方厘米，即d2=20平方厘米，所以圓面積S= πd2= ×3.14×20=15.7(平方厘米)。

師：真了不起，你能利用公式的變形，發現圓面積的一個新公式，真可謂是對課本上圓面積公式的一個補充和完善。解法真巧妙!老師和同學們都應該學習你這種探索精神!

反思

1.教學過程充分體現了“做數學”的理念，讓動手操作與數學思維相結合，有利于改善學生的數學學習方式。

上述片段教學，動手操作與數學思維緊密結合，努力構建了“動手操作——形象思維——邏輯思維——數學認識”模式的有效的數學活動。從畫一畫、算一算中探索規律，再從“特殊”推向“一般”，進而引導學生合理、靈活地運用規律解決問題，并注意保護、引導和培養學生的創新思維。如此學習數學的過程不是被動地吸收課本上的現成結論，而是一個學生親自參與的充滿豐富、生動的思維活動，經歷一個實踐和創新的過程。

2.教學過程逐步展現出一個“再創造”的過程，有利于展示學生個性化學習過程，有利于培養學生的創造性思維。

我們把初步創新精神和創新能力的培養作為素質教育的重點內容，在教學中，就是要激發學生的好奇心、求知欲和想象力，培養和發展學生獨立探索、發現和解決問題的能力。如在靈活運用規律的過程中，放手讓學生多角度思考問題。在學生無法求出r是多少的情況下，有的學生利用規律來解；有的學生突破“一般”，能利用已知條件求出r2是多少，進而算出圓面積；還有的想到了公式的變形，自己“創造”出計算圓面積的新公式。學生的思維在“求異”中學會了“創新”，解法新穎而富有創造性，十分有利于培養學生的創造性思維，又真正體現出課程標準所倡導的理念：“學生的數學學習活動是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”